基于變時域策略的線性系統事件觸發預測控制

摘要：針對具有加性擾動的約束連續線性時不變系統，提出一種基于變時域策略的線性系統事件觸發模型預測控制方案. 首先，基于最優狀態軌跡與實際狀態軌跡之間的偏差設計無Zeno行為的事件觸發機制，以減少求解優化問題的頻率. 其次，為了降低實際狀態趨近終端集時求解優化問題的計算復雜度，設計一種更為高效的指數收縮形式的自適應預測時域更新機制. 再次，基于雙模控制策略，提出自適應事件觸發模型預測控制算法，并給出了保證算法可行性和閉環系統穩定性的充分條件. 最后，基于質量-彈簧-阻尼系統驗證了所提算法的有效性.結果表明本文方案能夠在不損失控制性能的前提下有效降低系統資源消耗和求解優化問題的計算復雜度.

關鍵詞：線性系統；模型預測控制；事件觸發；自適應預測時域

中圖分類號：TP273 文獻標志碼：A

模型預測控制（model predictive control， MPC）作為一種滾動優化求最優解的方法，由于其能有效處理時域復雜約束以及多目標優化問題，因而在工業控制系統等領域應用越來越廣泛［1-3］. 基于MPC的理論研究成果在不斷產出，李志軍［4］、何德峰等［5］通過充分利用控制輸入的約束范圍，從而減少控制行為的保守性，提升了算法執行效率，提高了系統的控制性能. 楊世忠等［6］、Vozák等［7］和蔡宏斌［8］提出了魯棒模型預測控制器的設計方法，其具有極強的處理不確定性和外部干擾的能力，使得在與現有方法有相同初始可行域的前提下，只需確保優化問題初始可行就能夠保證閉環系統實現穩定. 近年來，MPC已經在眾多領域中得到應用，如飛行控制［9］、污水處理［10］、列車自動駕駛［11］、建筑節能［12］等. 然而，傳統的MPC由于在每個采樣時刻都需要在線求解相同時域的優化問題，對于采樣間隔較小以及資源有限的實際系統，會導致計算和通信資源的過度消耗.

事件觸發控制作為一種有效且研究充分的非周期采樣控制策略［13-15］，其核心思想是預先設計一種事件觸發機制（event-triggered mechanism， ETM）并設定觸發閾值，從而達到減少資源消耗并確保滿意的系統控制性能的目的. 相比于時間觸發控制，事件觸發控制可以通過使用更小的平均采樣率以獲得更好的控制性能［16］. 因此將ETM與MPC相結合可以顯著降低系統通信和計算負載.

在此背景下，事件觸發MPC（event-triggeredMPC， ET-MPC）得到了廣泛的關注和研究，并取得了突出的成果［17-21］. 目前，針對該方向的研究主要包括連續系統和離散系統，對于連續系統，Li等［17］研究了連續時間非線性系統的魯棒MPC問題，設計了一種基于事件觸發方案的MPC算法，有效減少了系統優化問題的在線求解次數，降低了在線計算量. Liu等［18］針對具有有界擾動的約束連續時間非線性系統，通過考慮系統的真實狀態與其最優預測狀態之間的誤差來設計觸發機制，同時在優化問題中引入時變收緊狀態約束，以滿足魯棒約束. Luo等［19］ 研究了具有輸入約束和有界干擾的線性時不變（lineartime-invariant， LTI）系統的ET-MPC，通過實際計算與最優狀態軌跡之間的偏差來設計ETM以減少計算負載. 對于離散系統，Hu等［20］研究了受有界擾動的離散線性時不變系統的魯棒ET-MPC，基于線性矩陣不等式，通過計算實際狀態軌跡與最優狀態軌跡之間的偏差來設計ETM以減少計算負載. Deng等［21］研究了具有有界擾動的線性離散時間系統的事件觸發魯棒MPC問題，提出了一種隨機觸發機制，考慮了基于管的MPC和基于線性矩陣不等式的MPC，與所設計的隨機觸發機制具有互補的優點.

通過對以上眾多研究的總結，可以得出結論，現有的ET-MPC策略通過設計合理有效的ETM可以在保證系統控制性能的同時有效減少通信和計算資源的過度使用，但仍然無法有效降低求解優化問題的計算復雜度. 具體來說，在標準ET-MPC框架中通常預先選擇固定的預測時域，由此使得優化問題在每個觸發時刻具有幾乎相同的計算復雜度，即使當系統狀態逐漸接近或已經到達終端區域，也仍需要求解計算復雜度高的優化問題. 在此背景下，基于自適應預測時域的ET-MPC 得到了進一步的研究.苑守正等［22］基于ETM和MPC，設計了一種船舶自動靠泊控制器，為了提高求解速度，提出了一種基于事件觸發的自適應時域MPC方案，并進行了穩定性分析. Cao等［23］設計了一種預測時域收縮策略，隨著實際狀態接近終端集，求解最優控制問題的計算復雜度逐漸降低. Wang等［24］提出了一種自適應預測時域更新策略，其中預測時域隨著狀態進入終端集而逐漸減小，從而有效地降低了觸發時刻求解優化問題的計算復雜度. 因此，研究設計更高效的預測時域收縮策略以更有效地降低MPC控制器求解優化問題的計算復雜度是非常必要的，特別是對于當前實際應用中所廣泛關注和研究的連續時間線性系統.

基于以上論述，本文針對具有輸入約束和有界擾動的連續LTI系統，基于自適應預測時域收縮機制和雙模控制策略提出一種新的ET-MPC算法，通過設計事件觸發機制，在保證遞歸可行性和穩定性的同時，降低優化問題的計算頻率和求解復雜性. 本文主要貢獻闡述如下：

1）針對受擾線性系統，建立有限時域約束優化問題，采用魯棒性約束以處理系統加性擾動；基于實際狀態和最優狀態之間的誤差設計事件觸發機制，并給出保證無Zeno行為的條件；設計一種更為高效的指數形式預測時域收縮機制，其具有更大的收縮范圍，使得系統狀態在接近終端區域過程中預測時域得到更高效的收縮，有效降低在觸發時刻求解優化問題的計算復雜度.

式中：w為系統加性擾動，滿足w ≤ η；系統質量Mc = 1.5 kg；線性彈簧系數k = 0.25 N/m；阻尼器系數hd =0.42 N?s/m. 系統初始狀態設定為x0 =[ 0.85，-0.25]T，控制輸入和狀態分別滿足-0.25 ≤ u （t） ≤ 0.25 和-1 ≤ x（t） ≤ 1. 基于引理1，選擇優化問題中的權重矩陣為Q = [1.0 0 ；0 1.0]和R = 0.1，狀態反饋增益為K = [ -0.845 6 -0.944 4 ]， 權重矩陣P =[1.613 6 0.733 4；0.733 4 1.405 0]，魯棒終端集設定為 Ω （ε） = {x| x（t） ≤ 0.19}，即 ε = 0.19. 優化問題初始預測時域設定為T0 = 4.5 s，仿真時間為15 s.根據定理2，計算擾動上界為η ≤ 1.2 × 10-3. 最后，選擇β = 0.01和η = 1.0 × 10-3，以保證定理3中的穩定性條件.

在系統參數配置相同的情況下，將所提算法1與時間觸發MPC 和標準自適應預測時域ET-MPC（SAT ET-MPC）［24］進行仿真對比，其中SAT ET-MPC的預測時域更新機制設計成線性收縮形式，即Tk + 1 = Tk - μk （Tk - T * k ）. 圖1和圖2分別為系統狀態軌跡和控制輸入軌跡對比，由圖1和圖2可知，算法1與其他2種方法的控制效果基本相似，可以在滿足約束的情況下使系統平穩地穩定到原點.

圖3 描述了算法1 和SAT ET-MPC［24］的觸發情況，縱坐標“1”表示觸發，縱坐標“0”表示未觸發. 由圖3可知，算法1相比于SAT ET-MPC［24］不僅觸發次數減少，而且觸發間隔變大，由此說明算法1在減少優化問題求解頻率方面具有一定的優勢.

為了更直觀地展示算法1相比于其他兩種方法的優勢，表1給出了在狀態進入魯棒終端集之前3種控制方法所求解優化問題的觸發次數以及相應的性能提升對比. 在相似條件和控制性能下，與時間觸發MPC和SAT ET-MPC［24］相比，算法1分別減少86.7%和50.0%的觸發次數.

圖4和表2描述了算法1和SAT ET-MPC［24］的預測時域收縮情況對比.由圖4和表2可知，SAT ETMPC［24］的預測時域平均收縮值為0.225，算法1的預測時域平均收縮值為0.9，本文所設計的預測時域收縮機制相比于傳統形式具有更大的收縮范圍，從而在降低每個觸發時刻求解優化問題計算復雜度方面具有更突出的效果.

綜上所述，本文所提算法不僅可以在降低系統資源消耗和保持預期控制性能之間實現更有效的平衡，而且可以有效降低系統計算復雜度，驗證了算法的有效性.

5 總 結

本文研究了具有加性擾動的約束線性系統事件觸發模型預測控制問題， 構建了有限時域約束優化問題，并采用魯棒性約束處理系統加性擾動，設計了事件觸發機制和一種新的指數收縮形式的預測時域更新機制，基于雙模控制策略提出了自適應事件觸發魯棒MPC算法，通過嚴格的理論分析給出了保證算法迭代可行性和閉環系統穩定性以及無Zeno行為的充分條件. 仿真試驗結果表明，與事件觸發MPC和SAT ET-MPC方法相比，所提策略可以分別降低86.7%和50.0%的資源消耗，并通過更高效預測時域收縮有效地降低了求解優化問題的計算復雜度，節省了計算時間. 然而，由于采用ET-MPC技術的網絡化控制系統可能會遭受潛在的網絡攻擊，因此未來有必要對所提出的自適應ET-MPC策略的網絡安全問題進行進一步深入分析.

參考文獻

［1］ RICHALET J， RAULT A， TESTUD J L， et al. Model predictiveheuristic control： applications to industrial processes ［J］.Automatica， 1978， 14（5）： 413-428.

［2］ 王獻忠，杜維．模型預測控制發展概況［J］．自動化與儀器儀表， 1999（4）： 6-11．

WANG X Z，DU W．General situation of model predictive controldevelopment［J］．Automation amp; Instrumentation，1999（4）：6-11．（in Chinese）

［3］ 席裕庚，李德偉，林姝．模型預測控制：現狀與挑戰［J］．自動化學報， 2013， 39（3）： 222-236．

XI Y G，LI D W，LIN S． Model predictive control： status andchallenges［J］．Acta Automatica Sinica，2013，39（3）：222-236．（in Chinese）

［4］ 李志軍．約束模型預測控制的穩定性與魯棒性研究［D］．北京：華北電力大學，2005．

LI Z J．Research on stability and robustness of constrained modelpredictive control［D］． Beijing：North China Electric PowerUniversity，2005．（in Chinese）

［5］ 何德峰，薛美盛，季海波．約束非線性系統構造性模型預測控制［J］．控制與決策，2008，23（11）：1301-1304．

HE D F，XUE M S，JI H B．Constructive model predictive controlfor constrained nonlinear systems［J］． Control and Decision，2008，23（11）：1301-1304．（in Chinese）

［6］ 楊世忠， 任慶昌．基于在線優化的魯棒模型預測控制［J］．信息與控制， 2013，42（6）：742-749．

YANG S Z，REN Q C．Robust model predictive control based ononline optimization［J］． Information and Control，2013，42（6）：742-749．（in Chinese）

［7］ VOZáK D，VESELY V. Robust model predictive controllerdesign［J］. IFAC Proceedings Volumes， 2014， 47（3）： 7443-7448．

［8］ 蔡宏斌．魯棒模型預測控制的研究與應用［D］．西安：西北工業大學，2019．

CAI H B． Research and application of robust model predictivecontrol［D］. Xi’an：Northwestern Polytechnical University，2019．（in Chinese）

［9］ 李正強，張怡哲， 鄧建華， 等．基于模型預測控制的非線性飛行控制系統研究［J］. 飛行力學， 2009， 27（1）： 27-30．

LI Z Q， ZHANG Y Z， DENG J H，et al. Design scheme ofa nonlinear flight control system based on model predictivecontrol［J］. Flight Dynamics，2009， 27（1）： 27-30．（in Chinese）

［10］ 錢湖海．基于自組織模糊神經網絡的污水處理多目標模型預測控制研究［D］．北京：北京工業大學，2016．

QIAN H H. Research on multi-objective model predictivecontrol of sewage treatment based on self-organizing fuzzy neuralnetwork［D］. Beijing：Beijing University of Technology，2016．（inChinese）

［11］ 張維剛，張朋，韋昊，等．一種基于LTVMPC改進的無人駕駛汽車路徑跟蹤控制算法［J］．湖南大學學報（自然科學版），2021，48（10）： 67-73．

ZHANG W G，ZHANG P，WEI H，et al． An improved pathtracking control algorithm for autonomous vehicle based onLTVMPC［J］． Journal of Hunan University （Natural Sciences），2021， 48（10）： 67-73．（in Chinese）

［12］ ZENG T T， BAROOAH D P. An adaptive MPC scheme forenergy-efficient control of building HVAC systems［J］. Journal ofEngineering for Sustainable Buildings and Cities， 2021， 2（3）：1-10.

［13］ CHENG F， HAO F. Event-triggered control for linear descriptorsystems［J］. Circuits，Systems， and Signal Processing， 2013，32（3）： 1065-1079．

［14］ GAO Y F，LIU L． Lyapunov-based triggering mechanisms forevent-triggered control［J］． International Journal of Control，Automation and Systems， 2020， 18（6）： 1392-1398．

［15］ 孫洪濤， 張鵬飛， 彭晨， 等．基于狀態感知的UGV H∞事件觸發路徑跟蹤控制［J］．湖南大學學報（自然科學版）， 2022，49（10）： 34-42．

SUN H T， ZHANG P F， PENG C，et al． State-sensitive basedevent-triggered H∞ control for path tracking of unmanned groundvehicle［J］． Journal of Hunan University （Natural Sciences），2022， 49（10）： 34-42．（in Chinese）

［16］ ?STR?M K J， BERNHARDSSON B M. Comparison of Riemannand Lebesgue sampling for first order stochastic systems［C］//Proceedings of the 41st IEEE Conference on Decision and Control，December 10-13， 2002. Las Vegas， NV， USA： IEEE， 2002.

［17］ LI H P， SHI Y. Event-triggered robust model predictive controlof continuous-time nonlinear systems［J］. Automatica， 2014，50（5）： 1507-1513.

［18］ LIU C X，GAO J，LI H P，et al．Aperiodic robust model predictivecontrol for constrained continuous-time nonlinear systems：anevent-triggered approach［J］．IEEE Transactions on Cybernetics，2018， 48（5）： 1397-1405．

［19］ LUO Y，XIA Y Q，SUN Z Q． Robust event-triggered modelpredictive control for constrained linear continuous system［J］．International Journal of Robust and Nonlinear Control， 2019，29（5）： 1216-1229．

［20］ HU Y J， FAN D， PENG K， et al. A novel linear matrixinequality-based robust event-triggered model predictive controlfor a class of discrete-time linear systems［J］. InternationalJournal of Robust and Nonlinear Control， 2021， 31（9）： 4416-4435.

［21］ DENG L， SHU Z， CHEN T W. Event-triggered robust modelpredictive control with stochastic event verification ［J］.Automatica， 2022， 146： 110638.

［22］ 苑守正， 劉志林， 鄭林熇， 等．基于事件觸發自適應時域MPC的船舶靠泊方法［J］．控制與決策，2024， 39（1）： 336-344．

YUAN S Z，LIU Z L，ZHENG L H，et al．Ship berthing based onevent-triggered adaptive horizon MPC［J］．Control and Decision，2024，39（1）： 336-344．（in Chinese）

［23］ CAO Q，XIA Y Q，SUN Z Q，et al．Fusion event-triggered modelpredictive control based on shrinking prediction horizon［J］．Assembly Automation，2022，42（6）：721-729．

［24］ WANG P B， REN X M， ZHENG D D． Robust nonlinear MPCwith variable prediction horizon：an adaptive event-triggeredapproach［J］． IEEE Transactions on Automatic Control， 2023，68（6）： 3806-3813．

［25］ CHEN H，ALLG?WER F． A quasi-infinite horizon nonlinearmodel predictive control scheme with guaranteed stability［C］//1997 European Control Conference （ECC）， July 1-7， 1997.Brussels，Belgium： IEEE， 1997： 1421-1426．

［26］ XIE H H，DAI L，LU Y C，et al. Disturbance rejection MPCframework for input-affine nonlinear systems ［J］. IEEETransactions on Automatic Control， 2022， 67（12）： 6595-6610．

［27］ LAMPERSKI A， AMES A D. Lyapunov theory for Zenostability［J］. IEEE Transactions on Automatic Control， 2013，58（1）： 100-112．

［28］ MAGNI L，RAIMONDO D M，SCATTOLINI R． Regional inputto-state stability for nonlinear model predictive control［J］．IEEETransactions on Automatic Control，2006，51（9）：1548-1553．

基金項目：國家自然科學基金資助項目（61903291）， National Natural Science Foundation of China（61903291）；國家重點研發計劃資助項目（2022YFC3802702）， National Key Research and Development Program of China（2022YFC3802702）；陜西省重點研發計劃資助項目（2022NY-094）， Key Research and Development Program of Shaanxi Province（ 2022NY-094）