二次函數中與角度有關的問題探討

［摘 要］在二次函數問題中，常涉及特殊角度、倍角等，要求學生求解點的坐標或者判斷其存在性。文章結合四個例題，對二次函數中與角度有關的四類問題進行分析探討，旨在為師生專題復習提供啟示。

［關鍵詞］二次函數；角度；問題

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2025）02-0017-03

在二次函數問題中，常涉及特殊角度、倍角等，要求學生求解點的坐標或者判斷其存在性，解答時需充分利用幾何圖形關系、函數圖象的性質，必要時還需分類討論，具有一定難度。基于此，筆者將二次函數中與角度相關的問題歸納為四種類型并進行分析探討，以期為師生專題復習提供啟示。

一、與60°角有關的問題

在解決二次函數中與60°角有關的問題時，可先將其轉化為垂直或平行問題，再利用函數的圖象與性質求解。

［例1］如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線[y=ax2+bx+9]與[x]軸交于點[A（-23，0）]，[B（63，0）]，與[y]軸交于點[C]。已知點[D]為[y]軸上一點，且[OD=3OA]。（1）求拋物線的表達式；（2）如圖2，將原拋物線沿[x]軸向左平移[43]個單位得到新拋物線[y′]，新拋物線[y′]交[x]軸于點[A′]，[B′]，點[N]為新拋物線[y′]的對稱軸與[x]軸的交點，點[G]為新拋物線[y′]上一動點，使得[∠GND+∠A′DN=60°]。請直接寫出所有滿足條件的點[G]的坐標。

lt;G：＼2025-3月數據＼A 加急3-15＼中學教學參考·理科版202501 系統里沒有＼Z24.epsgt;lt;G：＼2025-3月數據＼A 加急3-15＼中學教學參考·理科版202501 系統里沒有＼Z25.epsgt;

圖1" " " " " " " " " " " " " " " " "圖2

解：（1）拋物線的表達式為[y=-14x2+3x+9]（過程略）。

（2）當點[G]在[A′D]上方時，設[A'D]交[GN]于點[K]，如圖3，將拋物線[y=-14x2+3x+9=-14（x﹣23）2+12]沿[x]軸向左平移[43]個單位得到新拋物線[y′=-14（x+23）2+12]，∴新拋物線的對稱軸為直線[x=-23]，∴[N（-23，0）]。在[y′=-14（x+23）2+12]中，令[y'=0]得[0=-14（x+23）2+12]，解得[x=-63]或[x=23]，∴[A'（-63，0）]，∴[OA'=63]，∵[OD=3OA=6]，∴[A'D=OA'2+OD2=12]，∴[OD=12A'D]，∴[∠DA'O=30°]，∵[∠GND+∠A′DN=60°]，∴[∠A'KN=60°]，∴[∠A'NK=90°]，∴[GN⊥A'N]，∴點[G]為新拋物線[y′=-14（x+23）2+12]的頂點，∴點[G]的坐標為（-2[3]，12）。當點[G]在[A′D]下方時，如圖4，∵[A'（-63，0）]，[D（0，6）]，[N（-23，0）]，[DN=ON2+OD2=43]，∴[A'N=DN=43]，∴[∠DA'N=∠A'DN=30°]，∵[∠GND+∠A′DN=60°]，∴[∠GND=30°]，∴[∠GND=∠A'DN]，∴[A'D]∥[NG]，由[A'（-63，0）]，[D（0，6）]得直線[A'D]的表達式為[y=33x+6]，設直線[NG]的表達式為[y=33x+t]，將[N（-23，0）]代入得[0=-2+t]，解得[t=2]，∴直線[NG]的表達式為[y=33x+2]，聯立[y=33x+2，y=-14（x+23）2+12，]解得[x=-83+21113，y=-2+2373，]或[x=-83-21113，y=-2-2373]（在第三象限，舍去），∴[G-83+21113]，[-2+2373]。綜上所述，點[G]的坐標為（[-23]，12）或[-83+21113，-2+2373]。

評析：本題以二次函數為背景，探究了兩個角的和為60°時，動點[G]的位置。分兩種情況進行討論：第一種情況，由兩個角的和為60°，推導出一個直角三角形，從而確定點[G]為拋物線的頂點；第二種情況，由兩個角的和為60°，得到一組平行線，通過解方程組求得直線與拋物線的交點[G]的坐標。

二、與15°角有關的問題

在解決二次函數中與15°角有關的問題時，關鍵在于細致觀察圖形。要從函數圖象與坐標軸的交點坐標入手，識別出等腰直角三角形或者含30°角的直角三角形。

［例2］如圖5，已知頂點為C（0，-6）的拋物線[y=ax2+b]（[a≠0]）與[x]軸交于[A]，[B]兩點，且[OC=OB]。（1）求點[B]的坐標；（2）求二次函數[y=ax2+b]（[a≠0]）的解析式；（3）作直線[CB]，問拋物線[y=ax2+b]（[a≠0]）上是否存在點[M]，使得[∠MCB=15°]。若存在，求出點[M]的坐標；若不存在，請說明理由。

解：（1）∵C（0，-6），∴[OC=6]，∵[OC=OB]，∴[OB=6]，∴點[B]的坐標為（6，0）。

（2）∵拋物線[y=ax2+b]，[a≠0]，過點B（6，0），點C（0，-6），∴[b=-6，36a+b=0，]解得[a=16，b=-6，]∴二次函數的解析式為[y=16x2-6]。

（3）存在。如圖6，分以下兩種情況：①若點[M]在點[B]上方，設[M1C]交[x]軸于點[D]，∵[OC=OB]，∴[∠OCB=45°]，∵[∠M1CB=15°]，∴[∠OCD=30°]，∴[OD=OC·tan30°=6×33=23]，∴點[D]的坐標為（2[3]，0）。設直線[DC]的方程為[y=k1x-6]，代入點[D（23，0）]，可得[k1=3]，∴直線[DC]的方程為[y=3x-6]，聯立兩個方程可得[y=3x-6，y=16x2-6，]解得[x1=0，y1=-6，]（舍去）[x2=63，y2=12，]∴[M1（63，12）]。②若點[M]在點[B]下方，設[M2C]交[x]軸于點[E]，∵[∠OBC=∠OEC+∠M2CB]，∴[∠OEC=45°-15°=30°]，∴[∠OCE=60°]，∴[OE=OC·tan60°=63]。設直線[EC]的方程為[y=k2x-6]，代入點[E]（6[3]，0）可得[k2=33]，∴直線[EC]的方程為[y=33x-6]，聯立兩個方程可得[y=33x-6，y=16x2-6，]解得[x1=0，y1=-6，]（舍去）[x2=23，y2=-4，]∴[M2（23，-4） ]。綜上所述，點[M]的坐標為[（63，12）]或[（23，-4）]。

評析：本題以二次函數為背景，探究了與15°角有關的存在性問題。雖然15°角的三角函數值非常規數值，但通過與等腰直角三角形中的45°角相結合，就巧妙構造出了兩個含30°角的直角三角形，而30°角的三角函數值則是學生熟知的。在最后一個問題中，求動點[M]的坐標實際可以轉化為求兩個函數圖象的交點坐標，這一轉化使得問題迎刃而解。

三、與二倍角有關的問題

在解決二次函數中與二倍角有關的問題時，關鍵在于將二倍角轉化為等角，進而構造出特殊的幾何圖形，如等腰三角形等。利用這些特殊圖形的性質，便能有效解決問題。

［例3］拋物線[y=-14x2+bx+c]交[x]軸于[A]，[B]（[A]左[B]右）兩點，交[y]軸于點[C]且[OA=OB=OC]。（1）如圖7，求拋物線的表達式；（2）如圖8，[P]為第四象限拋物線上一點，連接[CP]，將線段[CP]沿著[y]軸翻折，得到線段[CQ]，連接[BQ]，設點[P]的橫坐標為[m]，[△QBC]的面積為[S]，求[S]與[m]的函數關系式；（3）如圖9，在（2）的條件下，[E]是第一象限拋物線上的一點，[QH⊥x]軸交[PA]的延長線于點[M]，垂足是[H]，過點[E]作[EG]∥[y]軸交[x]軸于點[G]，交直線[MC]于點[F]，連接[FB]，[∠PMF=2∠BAP]，求點[P]的坐標。

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圖7" " " " " " " " " " " " 圖8" " " " " " " " " " 圖9

解：（1）拋物線的表達式為[y=-14x2+4]（過程略）。

（2）點[P]在拋物線上，則[Pm，-14m2+4]，∵[P]，[Q]關于[y]軸對稱，∴[Q-m，-14m2+4]，如圖10，作[QH]垂直[x]軸于點[H]，∴[tan∠ABQ=14m2-44+m=tan∠OBD=OD4]，則[OD=m-4]，∵[OC=4]，∴[CD=m]，∴[S△BCQ=12CD·（OB+OH）=12m2+2m]。

（3）設[∠BAP=α]，如圖11，過點[P]作[PK]垂直[x]軸于點[K]，并延長與[MF]的延長線交于點[I]，連接[PQ]，則[∠APK=90°-α]，∵[∠PMF=2∠BAP=2α]，[∠I=180°-（90°-α）-2α=90°-α]，∴[∠I=∠APK]，∴[MI=MP]，由（2）知[CD=m]，∵[CD]∥[PI]，由軸對稱可知點[D]是[MP]的中點，∴[CD]是[△MPI]的中位線，∴[CD=12PI]，[PI=2m]，∴[IW=WP=m]，[tan∠WPM=2]，∵[Pm，-14m2+4]，∴[tan∠WPM=AKKP=m+414m2-4=2]，解得[m=6]或4（舍去），∴點P（6，-5）。

評析：本題以二次函數為背景，探究了二倍角時點[P]的坐標問題。通過二倍角關系，構造出等腰三角形[MPI]，由此獲得銳角的正切值，再根據銳角的正切值建立方程求得點[P]的坐標。本題看似復雜，但是因為拋物線關于[y]軸對稱以及[CP]，[CQ]關于[y]軸對稱，所以圖形中出現了多個中點或等長線段，為解題提供了便利。

四、與三倍角有關的問題

在解決二次函數中與三倍角有關的問題時，可以構造兩個等腰三角形。具體地，在一個角內構造兩個等腰三角形，使得較大等腰三角形的一個外角是最小角的三倍。

［例4］如圖12，已知拋物線[y=ax2+bx-3]（[a≠0]）與[x]軸交于[A]，[B]兩點（點[A]在點[B]的左邊），與[y]軸交于點[C]，頂點[D]的坐標為（1，-4），連接[AD]。直線[y=-12x+c]經過點[B]，且與[y]軸交于點[E]。（1）求拋物線的表達式及[c]的值；（2）點[F]為線段[BE]上一點，點[G]為線段[OB]上一點，連接[FG]，[FG]的延長線與線段[AD]交于點[H]，當[∠EFG=3∠ABE]，且[GH=2FG]時，求點[F]的橫坐標。

解：（1）拋物線的表達式為[y=（x-1）2-4=x2-2x-3]，[c=32]（過程略）。

（2）如圖13，在[BE]上選一點[F]，在[OB]上選一點[M]，使得[FM=MB]，則[∠FMG=2∠ABE]。在[OB]上點[M]的左側取一點[G]，使得[FG=FM]，則[∠EFG=∠FGM+∠ABE=∠FMG+∠ABE=3∠ABE]。移動點[F]，當[GH=2FG]時，點[F]即為所求。過點[F]作[FP]垂直[x]軸于點[P]，過點[H]作[HQ]垂直[x]軸于點[Q]，則[GP=PM]，[△FPG ]∽[△HQG]。∴[FPHQ=GPGQ=FGHG=12]。設[Fm，-12m+32]，則[OP=m]，[FP=-12m+32]，∴[HQ=2FP=-m+3]，易得[PB=2FP]，∴[FM=BM=PB-PM=2FP-PM]。由勾股定理得[FP2+PM2=FM2]，即[FP2+PM2=（2FP-PM）2]，∴[PM=34FP=34-12m+32=-38m+98=GP]，∴[OG=OP-GP=m--83m+98=118m-98]，[GQ=2GP=-34m+94]，∴[OQ=GQ-OG=-178m+278]，∴[H178m-278，m-3]。易求得直線[AD]的表達式為[y=-2x-2]，將[H178m-278，m-3]代入，得[m-3=-2178m-278-2]，解得[m=3121]。故點[F]的橫坐標為[3121]。

評析：本題以二次函數為背景，探究了三倍角時點[F]的橫坐標求解問題。通過將三倍角轉化為兩個等腰三角形的幾何構造，利用等腰三角形的性質得出線段之間的數量關系；由線段之間的二倍關系推導出相似三角形的相似比，將問題轉化為用含[m]的代數式表示點[H]的坐標，最后代入直線的表達式求得點[F]的坐標。

綜上，在解決二次函數中與角度有關的問題時，要了解條件與結論之間的關聯，把握圖形之間的架構及其背后隱藏的數學模型等。通過抽絲剝繭、步步深入地分析，掌握必要的解題技巧，形成嚴謹治學的態度，培養靈活思維的能力。

（責任編輯" " 黃春香）