知面積求k值

由反比例函數的表達式y = [kx]（k ≠ 0）可知k = xy，而反比例函數圖像上的任意點到x軸和y軸的距離分別為[y]和[x]，故k的幾何意義為：經過反比例函數圖像上任意一點向x軸和y軸作垂線段，垂線段和坐標軸所圍成的矩形面積即為[k]；連接矩形對角線可得兩對全等三角形，面積均為[k2]. 反比例函數中，已知面積，要求利用k的幾何意義求k值是近年中考試卷上的常見題型，下面舉例介紹.

原題呈現

例 如圖1，矩形ABCD的邊AB平行于x軸，反比例函數y = [kx]（x gt; 0）的圖像經過點B，D，對角線CA的延長線經過原點O，且AC = 2AO，若矩形ABCD的面積是8，求k的值.

破解策略

策略1：已知面積求k值，聯想到反比例函數表達式中k的幾何意義；已知線段的比，聯想到相似三角形. 如圖2，過雙曲線上的點B，D向坐標軸作垂線，得到△CAB ∽ △COG，由△CAB的面積可得△COG的面積，再由△CAB ∽ △AOH可得△AOH的面積，進一步求出矩形ABGH和矩形BGOF的面積，即得[k].

解：如圖2，延長CB交x軸于點G，則BG ⊥ x軸，延長DA交x軸于點H，則AH ⊥ x軸，延長BA交y軸于點F，則AF ⊥ y軸.

由矩形ABCD的面積是8，

得△ABC的面積是4.

由△CAB ∽ △COG且AC = 2AO，

得其相似比為2∶3，

∴其面積比為4∶9，∴S△COG = 9.

由△CAB ∽ △AOH且AC = 2AO，

得其相似比為2∶1，

∴其面積比為4∶1，

∴S△AOH = 1，∴S△AOF = 1，

∴S矩形ABGH = S△COG - S△CAB - S△AOH = 9 - 1 - 4 = 4，

∴S矩形BGOF = S矩形ABGH + S△AOF + S△AOH = 4 + 1 + 1 = 6.

∵k gt; 0，∴k = 6.

策略2：先過反比例函數圖像上的點B，D向坐標軸作垂線（如圖3），再設點坐標. 關于設點坐標介紹兩類方法如下：一是利用反比例函數表達式設出點D坐標，由△AOH ∽ △COG表示出線段OG的長度，即得點B 的橫坐標，再由反比例函數表達式表示出點[B]的縱坐標；二是用兩個未知數表示出反比例函數圖像上的點D和B的坐標，利用△AOH ∽ △COG表示相關線段長度，此過程中設了兩個未知數，但設而不求，采用整體思想求解. 最后用面積作等量關系列方程求k值.

解法1：如圖3，延長CB交x軸于點G，則BG ⊥ x軸，延長DA交x軸于點H，則AH ⊥

x軸.

設D（a，[ka]），則xA = a.

由△AOH ∽ △COG且AC = 2AO，

得其相似比為1∶3，

∴OG = 3OH = 3a，∴xB = 3a.

設B（3a，[k3a]），∴yA = yB = [k3a]，

∴AB = xB - xA = 3a - a = 2a，AD = yD - yA = [ka] - [k3a] = [2k3a]，

∴S矩形ABCD = AB·AD = 2a·[2k3a] = [4k3] = 8，

∴k = 6.

解法2：如圖3，延長CB交x軸于點G，則BG ⊥ x軸，延長DA交x軸于點H，則AH ⊥

x軸.

由△AOH ∽ △COG且AC = 2AO，

得其相似比為1∶3，

則OH∶OG = AH∶CG = 1∶3.

設xD = xA = a，則xB = 3a，

設yA = yB = b，則yD = 3b，即D（a，3b），B（3a，b），

∴AB = xB - xA = 3a - a = 2a，AD = yD - yA = 3b - b = 2b，

∴S矩形ABCD = AB·AD = 2a·2b = 4ab = 8，

∴ab = 2，∴k = 3ab = 6.

方法歸納

解決此類問題有兩種策略. 第一種是由已知圖形的面積求出能用[k]表示的圖形的面積，從而求出k，但這種策略只適用于解部分此類問題.

第二種適用于所有此類問題，歸納為三步：

（1）作垂線，過反比例函數圖像上的點向坐標軸作垂線段；

（2）設坐標，設出反比例函數圖像上的點的坐標；

（3）列方程，用面積作等量關系列方程求k值.

解題過程中會用到相似三角形、借助點坐標表示線段長度等知識.

拓展訓練

1. 如圖4，在平面直角坐標系中，△AOC的邊OA在y軸上，點C在第一象限內，點B為AC的中點，反比例函數y = [kx]（x gt; 0）的圖像經過B，C兩點. 若△AOC的面積是6，則k的值為 .

[x][y][C][B][A][O] [y][x][D][O][A][B] [y][x][D][O][A][B][C]

圖4 圖5 圖6

2.如圖5，在平面直角坐標系中，△AOB的邊OB在y軸上，邊AB與x軸交于點D，且BD = AD，反比例函數y = [kx]（x gt; 0）的圖像經過點A，若S△OAB = 1，求k的值.

3.如圖6，在平面直角坐標系中，[?]OABC的頂點A，B在第一象限內，頂點C在y軸上，經過點A的反比例函數y = [kx]（x gt; 0）的圖像交BC于點D. 若CD = 2BD，[?]OABC的面積為15，求k的值．

4.如圖7，點A是反比例函數[y=kx]（[xgt;0]）的圖像上一點，過點A作AC ⊥ x軸，垂足為點C，延長AC至點B，使BC = 2AC，點D是y軸上任意一點，連接AD，BD，若△ABD的面積是6，則k = .

答案：1. 4 2. 2 3. 18 4. 4

（作者單位：沈陽市渾南區第一初級中學）