反比例函數和一次函數的綜合應用

一、反比例函數圖像與一次函數圖像的交點問題

例1 如圖1，一次函數[y=k1x+b]的圖像與反比例函數y = [k2x]的圖像相交于A，B兩點，其中點A坐標為（-1，4），點B坐標為（4，n）.

（1）根據圖像，寫出關于x的不等式k1x + b gt; [k2x]的解集；

（2）求這兩個函數的表達式.

分析：本題是反比例函數圖像與一次函數圖像的交點問題，熟練運用圖像上的點的坐標滿足圖像的解析式即可解答問題.

解：（1）根據一次函數圖像在反比例函數圖像的上方，過交點A，B分別作x軸的垂線，它們連同y軸把平面分為四部分，據此可求x的取值范圍.

∵點A的坐標為（-1，4），點B的坐標為（4，n）.

∴滿足k1x + b gt; [k2x]的x的取值范圍是x lt; -1或0 lt; x lt; 4.

（2）將點A，B坐標代入兩個解析式求解即可.

∵反比例函數y = [k2x]的圖像過點A（-1，4），B（4，n），

∴k2 = -1 × 4 = 4n，∴n = -1，k2 = -4，

∴B（4，-1），反比例函數的解析式為y = -[4x].

∵一次函數y = k1x + b的圖像過點A，B，

∴[-k1+b=4，4k1+b=-1，]解得[k1=-1，b=3.]

∴一次函數的解析式為[y=-x+3].

二、以雙曲線與直線的交點、坐標軸上的點為頂點的圖形面積問題

例2 如圖2，直線[y=kx+b]與雙曲線[y=mx]（[xgt;0]）相交于A（1，2），[B]兩點，與[x]軸交于點C（4，0）.

（1）分別求直線和雙曲線對應的函數解析式；

（2）連接[OA]，[OB]，求△AOB的面積.

分析：求△AOB的面積有多種方法.

方法1：求出線段AB的長度，過點O作△AOB的高OM，在△DOC中利用面積法得到OM·CD = OC·OD，求出OM，進而得解.但此方法運算量大，不推薦.

方法2：分別過點A，B作x軸的垂線，垂足分別為P，Q，則S△AOB = S△AOP + S梯形APQB - S△BOQ，求出相應圖形面積即可.

方法3：不添加輔助線，利用S△AOB = S△DOC - S△AOD - S△BOC.

當然，本題還有其他方法，在此不一一列出.

解：（1）將A（1，2），C（4，0）代入y = kx + b，

得[k+b=2，4k+b=0，]解得[k=-23，b=83.]

∴直線AC的解析式為[y=-23x+83].

將A（1，2）代入[y=mx]（[xgt;0]），得m = 2，

∴雙曲線的解析式為[y=2x]（[xgt;0]）.

（2）∵直線AC：[y=-23x+83]與y軸交于點D，∴點D的坐標為[0，83].

∵直線AC：[y=-23x+83]與雙曲線[y=2x]（[xgt;0]）相交于點A（1，2），∴[B3，23]，

∴[S△AOB=S△DOC-S△AOD-S△BOC=12×4×83-12×83×1-12×4×23=83].

三、反比例函數與一次函數圖像中動態幾何圖形的存在性問題

例3 如圖3，一次函數y = kx + b（k ≠ 0）的圖像與反比例函數[y=mx（m≠0）]的圖像交于第二、第四象限內的[A]，[B]兩點，與[x]軸交于點[C]，點[A]的坐標為（-3，4），點B的坐標為（6，n）.

（1）求該反比例函數和一次函數的解析式.

（2）連接[OB]，求△AOB的面積.

（3）在x軸上是否存在點[P]，使△APC是直角三角形？若存在，求出點[P]的坐標；若不存在，請說明理由.

分析：（1）先把A（-3，4）代入反比例函數解析式，得到[m]的值，從而確定反比例函數解析式為[y=-12x]；再利用反比例函數解析式，確定點[B]坐標為（6，-2），然后運用待定系數法確定所求的一次函數的解析式為[y=-23x+2].

（2）先依據一次函數解析式求得點[C]的坐標，進而得到[△AOB]的面積.

（3）過點[A]作[AP1⊥x]軸于[P1]，[AP2⊥AC]交[x]軸于[P2]，可得點[P1]的坐標為（-3，0）；再證明[Rt△AP2P1] ∽ [Rt△CAP1]，利用相似比計算出[P1P2]的長度，易得到[OP2]的長度，可得點[P2]的坐標為[-173，0]，從而得到滿足條件的[P]點坐標.

解：（1）反比例函數的解析式為[y=-12x]；一次函數解析式為[y=-23x+2].

（2）易得C（3，0），[B]（6，-2），

[∴S△AOC=12×3×4=6]，[S△BOC=12×3×2=3]，[∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=9].

（3）存在. 過[A]點作[AP1⊥x]軸于[P1]，[AP2⊥AC]交[x]軸于[P2]，如圖4，則[∠AP1C=90°].

∵點A坐標為（-3，4），∴點[P1]的坐標為（-3，0）.

∵[∠P2AC=90°]，[∴∠P2AP1+∠P1AC=90°].

∵[∠AP2P1+∠P2AP1=90°]，[∴∠AP2P1=∠P1AC].

∵[∠AP1P2=∠AP1C=90°]，[∴Rt△AP2P1] ∽ [Rt△CAP1]，

[∴AP1CP1=P1P2AP1]，即[46=P1P24]，

[∴P1P2=83]，[∴OP2=173]，

[∴點P2]的坐標為[-173，0]，

[∴]滿足條件的[P]點坐標為（-3，0）或[-173，0].

拓展訓練

1. 如圖5，直線[y=2x+2]與[x]軸交于點[C]，與[y]軸交于點[B]，在直線上取點[A]（2，[a]），過點[A]作反比例函數[y=kx（xgt;0）]的圖像.

（1）求[a]的值及反比例函數的表達式；

（2）點[P]為反比例函數[y=kx]（[xgt;0]）的圖像上的一點，若[S△POB=2S△AOB]，求點[P]的坐標.

（3）在[x]軸上是否存在點[Q]，使得[∠BOA=∠OAQ]？若存在，請求出點[Q]的坐標；若不存在，請說明理由.

2. 如圖6，直線[l1]：[y1=k1x+b]與反比例函數[y=mx]的圖像相交于[A-1，6]和[B-3，a]，直線[l2]：[y2=k2x]與反比例函數[y=mx]的圖像相交于[A]，[C]兩點，連接[OB].

（1）求反比例函數解析式和[B]，[C]兩點的坐標.

（2）根據圖像，直接寫出當[k1x+bgt;mx]時[x]的取值范圍.

（3）求△[AOB]的面積.

（4）點[P]是反比例函數圖像第二象限上一點，且點[P]的橫坐標大于[-3]，小于[-1]，連接[PO]并延長，交反比例函數圖像于點[Q].

①試判斷四邊形[APCQ]的形狀；

②當四邊形[APCQ]的面積為[10]時，求點[P]的坐標.

答案：1. （1）[a=6]，反比例函數表達式為[y=12x]；（2）點[P]的坐標為（4，3）；（3）存在，點[Q]的坐標為（2，0）或[-52，0].

2. （1）解析式為[y=-6x]，[B]（-3，2），[C]（1，-6）. （2）[-3lt;xlt;-1]或[xgt;0]. （3）[S△AOB=8]. （4）①四邊形[APCQ]為平行四邊形；②[-32，4].

（作者單位：遼寧省實驗學校）