生活中的反比例

如果細心觀察一下，你會發現，日常生活中的兩個變量之間，許多具有反比例函數關系，即y = [kx] （k為常數，且k [≠] 0）.下面舉例介紹反比例函數在生活中的應用.

一、工程效率問題

例1 紅星糧庫需要把晾曬場上的1200噸玉米入庫封存.

（1）入庫所需的時間d（單位：天）與入庫平均速度v（單位：噸/天）之間有怎樣的函數關系？

（2）已知糧庫有職工60名，每天最多可入庫300噸玉米，預計玉米入庫最快可在幾天內完成？

（3）糧庫職工連續工作兩天后，天氣預報說未來幾天會下雨，糧庫決定次日把剩下的玉米全部入庫，至少需要增加多少名職工？

解析：（1）入庫時間與入庫的平均速度成反比例函數關系，即d = [1200v].

（2）當v = 300（噸/天）時，d = [1200300] = 4（天），故最快可在4天內完成.

（3）在（2）問的基礎上，兩天后剩余未入庫玉米有1200 - 2 × 300 = 600 （噸），每名職工每天可入庫的玉米數量是300 ÷ 60 = 5（噸），欲使剩下的600噸玉米在一天內入庫完畢，所需職工人數為600 ÷ 5 = 120（名），則應增加的職工人數為120 - 60 = 60（名）.

二、關聯變量成反比例問題

例2 通過試驗研究發現：初中生在數學課上聽課注意力指標隨上課時間的變化而變化，上課開始時，學生興趣激增，中間一段時間，學生的興趣保持平穩狀態，隨后開始分散. 學生注意力指標y隨時間x（分鐘）變化的函數圖像如圖1所示，當0 ≤ x lt; 10和10 ≤ x lt; 20時，圖像是線段；當20 ≤ x ≤ 45時，圖像是反比例函數的一部分.

（1）求點A對應的指標值；

（2）張老師在一節課上講解一道數學綜合題需要17分鐘，他能否經過適當的安排，使學生在聽這道綜合題的講解時，注意力指標都不低于36？請說明理由.

解析：（1）設反比例函數的解析式為y = [kx] ，由C（20，45）得k = 20 × 45 = 900，根據點D的橫坐標為45，求出其縱坐標為20，得到點D（45，20），進而得到點A（0，20），即點A對應的指標值為20.

（2）根據點A，B的坐標求得直線AB的解析式為y = 2.5x + 20. 當y ≥ 36時，x的取值范圍為x ≥ 6.4. 由k = 900得反比例函數解析式為y = [900x]，根據其增減性可知：當y ≥ 36時，0 lt; x ≤ 25. 由25 - 6.4 = 18.6 gt; 17，可得到答案：張老師可以經過適當的安排，使學生在聽這道綜合題的講解時，注意力指標都不低于36.

三、跨學科問題

例3 杠桿原理在生活中被廣泛應用（杠桿原理：阻力 × 阻力臂 = 動力 × 動力臂），小明利用這一原理制作了一個稱量物體質量的簡易“秤”（如圖2①），制作方法如下：第一步，在一根勻質細木桿上標上均勻的刻度（單位長度為1 cm），確定支點O，并用細麻繩固定，在支點O左側2 cm的A處固定一個金屬吊鉤；第二步，取一個質量為0.5 kg的金屬物體作為秤砣.

（1）圖2①中，把重物掛在秤鉤上，秤砣掛在支點O右側的B處，秤桿平衡時就能秤得重物的質量.當重物的質量變化時，OB的長度隨之變化. 設重物的質量為x kg，OB的長為y cm，寫出y關于x的函數解析式. 若0 lt; y lt; 48，求x的取值范圍.

（2）調換秤砣與重物的位置，把秤砣掛在秤鉤上，重物掛在支點O右側的B處，使秤桿平衡，如圖2②，設重物的質量為x kg，OB的長為y cm，寫出y關于x的函數解析式，完成表1，并在如圖3所示的平面直角坐標系中畫出該函數的圖像.

lt;G：＼2025-3月數據＼A 加急3-15＼初中生學習指導·中考版202502" 排版打不開＼2期pb＼CZ25-4-1.psdgt; [A][B][O] [秤砣][①][②] [A][B][O] [圖2] [圖3] [y][x][4][3][2][1][O][1][2][3][4][ ]

表1

[x/kg … 0.25 0.5 1 2 4 … y/cm … … ]

解析：（1）∵阻力 × 阻力臂 = 動力 × 動力臂，∴重物質量 × OA = 秤砣質量 × OB，

∵重物質量為x kg，OA = 2 cm，秤砣質量為0.5 kg，OB的長為y cm，

∴2x = 0.5y ，∴y = 4x.

由0 lt; y lt; 48，通過計算可知：當y = 0時，x = 0；當y = 48時，x = 12. 由k = 4 gt; 0可知y隨x的增大而增大，因此x的取值范圍為0 lt; x lt; 12.

（2）∵阻力 × 阻力臂 = 動力 × 動力臂，∴重物質量 × OB = 秤砣質量 × OA，

∵重物質量為x kg ， OA = 2 cm，秤砣質量為0.5 kg，OB的長為y cm，

∴2 × 0.5 = xy，∴y = [1x]，填表如表2.

表2

[x/kg … 0.25 0.5 1 2 4 … y/cm … 4 2 1 0.5 0.25 … ]

作函數圖像如圖4所示.

拓展訓練

生活中處處充滿著趣味數學，根據游樂場水上滑梯的側面示意圖建立如圖5所示的平面直角坐標系，其中BC段可以看成是反比例函數y = [kx] （x gt; 0）的圖像的一部分，OD為水面，矩形AOEB為向上攀爬的梯子，每節梯子高0.5 m，寬1 m，點A，E，D均在坐標軸上，且CD ⊥ x軸.

（1）求反比例函數的解析式；

（2）求出口點C到BE的距離CF的長；

（3）若滑梯BC上有一個小球Q，要求小球Q到水面的距離不高于3 m，則小球Q到BE的距離至少是多少米？

[y/m][A][B][Q] [C][F][D][E][O][x/m]

圖5

答案：（1）y = [6x] （2）4 m （3）至少1 m

（作者單位：開原市民主教育集團里仁學校）