基于非參數貝葉斯方法的結構損傷識別研究

摘要： 聚類分析是數據處理中常用的無監督方法，而聚類分析參數較難精準確定，限制了該方法在結構損傷識別中的應用。為解決該問題，本文提出了一種非參數貝葉斯聚類方法，結合結構模態參數開展結構損傷識別和定量分析，拓展了非參數貝葉斯模型的應用范圍。所提方法采用自然激勵技術處理結構實測振動數據以得到固有頻率，通過非參數貝葉斯聚類方法對數據進行聚類，最終結合極大似然異方差高斯過程和貝葉斯因子對聚類結果進行損傷定量分析。通過天津永和橋實際工程案例對所提損傷識別方法的結果進行驗證，結果表明，該方法能夠在不提前設置聚類參數的情況下，對結構自振頻率數據進行精準聚類分析，進一步對結構不同損傷狀態進行識別。

關鍵詞： 結構健康監測； 損傷識別； 非參數貝葉斯； 貝葉斯因子； 模態參數

中圖分類號： U443.38； TU446""" 文獻標志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2025）02-0260-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.02.005

收稿日期： 2024?03?02； 修訂日期： 2024?06?06

基金項目："國家自然科學基金資助項目（51708545）； 中國博士后科學基金面上項目（2019M652006）

Structural damage identification enabled by the non?parametric Bayesian method

WANG Qi’ang1， WANG Haobo1， ZHOU Mingli2， SUN Fayuan2， NI Yiqing3， WU Ziyan4， DING Anchi1， LI Jianpeng1， LI Wenlei1

（1.State Key Laboratory of Intelligent Construction and Healthy Operation and Maintenance of Deep Underground Engineering， China University of Mining and Technology， Xuzhou 221008， China； 2.Xuzhou Traffic Engineering General Contracting Co.， Ltd.， Xuzhou 221003， China； 3.Department of Civil and Environmental Engineering， The Hong Kong Polytechnic University， Hong Kong， China； 4.School of Mechanics， Civil Engineering and Architecture， Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710072， China）

Abstract： Clustering analysis is a commonly used unsupervised method in data processing. However， the difficulty in accurately determining clustering parameters limits the application of this method in structural damage identification. To address this issue， a non-parametric Bayesian clustering method is proposed in this study， which combines structural modal parameters for structural damage identification and quantitative analysis， thereby expanding the application range of the non-parametric Bayesian model. First， the natural excitation method is used to extract the natural frequency from the measured vibration data of the structure. Then， the non-parametric Bayesian clustering method is employed to cluster the data. Finally， maximum likelihood heteroscedastic Gaussian process regression and Bayesian factors are combined to quantitatively analyze the clustering results for damage quantitation analysis. The results of the damage identification method are verified by the actual engineering case of Yonghe Bridge in Tianjin. The results show that this method can accurately cluster the natural frequency data and identify the different damage states of the structure without the need to pre-set clustering parameters.

Keywords： structural health monitoring；damage identification；non?parametric Bayesian；Bayesian factor；modal parameter

通過結構健康監測系統獲取結構響應數據，基于監測數據開展結構損傷評估，是目前結構健康監測領域的研究熱點之一［1?2］。結構健康監測數據具有數量多、噪聲大等特點［3?4］，且土木工程結構的工作狀態一般較為復雜，較難提前人為對數據的分布形式進行合理推斷［5?6］。聚類是常用的機器學習無監督方法，可將數據按照數據結構存在的特性進行分類，適合處理無法提前進行標注的數據模式識別問題，如K?均值聚類［7］、高斯混合模型［8］、支持向量聚類［9］等。聚類方法在結構損傷識別中的應用也受到了高度關注，如ALAMDARI等［10］通過改進K?均值聚類方法對某鋼拱橋發生的裂縫損傷及傳感器故障進行識別；ZHOU等［11］使用層次聚類方法識別某自由梁模型的截面損傷，可免于對結構基準狀態的設定；CURY等［12］使用多種聚類方法開展了預應力混凝土箱梁橋試驗模態分析，并評估其結構健康狀態；VESPIER等［13］運用聚類方法對交通事件和結構響應數據進行分析，識別出正常和異常模式，從而實現對結構健康狀態的監測和評估。

然而，聚類方法也存在一定局限性，特別是在參數設置方面。不同參數設置會對聚類效果產生較大影響［14］，因此針對不同數據結構需要采用不同的算法。

非參數貝葉斯方法可較好地解決聚類模型中的參數設置問題，該方法可將觀察到的數據作為條件，獲得可以解釋這組數據的最佳模型。非參數貝葉斯方法并不依賴特定的參數形式，較適用于數據量較大且具體分類情況未知的聚類問題，如數據處理與分類［15］、機械故障診斷［16?17］、樣本對比、結構損傷評估等問題。DA SILVA等［18］將基于Dirichlet過程的非參數貝葉斯模型用于醫學圖像分類，驗證了該模型的適用性。WOOD等［19］通過使用Dirichlet過程混合模型，提出了一種非參數貝葉斯方法來進行尖峰分類。XIAO等［20］針對地震數據和煤礦災害數據更新過程中存在的建模和估計問題，提出了非參數貝葉斯方法來處理復雜性和不確定性問題，無需預定義參數分布，可適應數據不同特征。LEE等［21］提出了一種非參數貝葉斯網絡方法，克服了傳統貝葉斯網絡的限制，能夠更準確地預測系統運行的可靠性。在樣本對比中，PEREIRA等［22］提出了一種基于貝葉斯非參數框架的成對樣本檢驗方法，避免了傳統方法對數據分布的嚴格假設。在結構損傷評估領域，JIANG等［23］利用非參數貝葉斯假設檢驗，通過試驗數據和模型預測值的差異，得到評估系統辨識準確性的貝葉斯因子評價指標，并以此開展損傷概率評估。而LINDLEY等［24］提出了一種從概率角度自動識別聲發射事件的聚類方法，引入了Dirichlet過程的非參數貝葉斯方法，提供了更敏感的損傷識別方法。

基于此，本文采用一種非參數貝葉斯模型聚類方法，對結構健康監測得到的數據進行建模分析。該方法可以實現在不規定聚類參數的情況下，對結構健康監測數據進行自動聚類分析。本文采用天津永和橋的實際監測數據，使用自然激勵技術（natural excitation technique，NExT）方法處理實測加速度數據，獲得其固有頻率，利用非參數貝葉斯方法對其進行聚類分析，并結合極大似然異方差高斯過程（most likely heteroscedastic Gaussian process，MLHGP）和貝葉斯因子的結構損傷定量分析，實現對結構損傷的精準識別。

1 非參數貝葉斯方法損傷識別理論框架

1.1 非參數貝葉斯混合模型

傳統貝葉斯方法用于高維度聚類問題中需要事先對聚類的個數進行指定，而現實中的高維度聚類問題往往缺少聚類個數的準確信息，可通過采用基于無限維度高斯混合模型的非參數貝葉斯模型進行聚類分析的方法來解決該問題。

無限維度高斯混合模型的基本形式［25］為：

（1）

式中，，，其中N表示多元正態分布，和分別為均值和方差；為混合模型中不同高斯分布所占的比例權重，且滿足條件，，即權重向量非負，加權為1。

FERGUSON［26］驗證了Dirichlet過程的后驗仍是Dirichlet過程，可降低工程應用推理復雜度。Dirichlet過程的定義為在可測空間上存在隨機概率分布，正實數為超參數，該概率分布滿足以下條件：對于可測空間進行任意有限分割得到的，，均符合［G（A1），…，G（Ak）］～Dir［αG0（A1），…，αG0（Ak）］，其中Dir為Dirichlet分布，那么概率分布服從基分布和超參數的Dirichlet過程（DP），記作。以Dirichlet過程為先驗分布的無限維度高斯混合模型為；；；=?，其中，yi為高斯混合模型，和為兩個不同分布的均值向量，和為兩個不同分布的協方差矩陣，為自由度，為尺度矩陣，為威沙特分布。

1.2 基于非參數貝葉斯混合模型的損傷識別步驟

首先建設一個多項式分布集合，組成集合的每一個表示該數據點屬于分類的概率，，其中，表示分類個數，同時滿足。結構的每個狀態都由一個對應的高斯分布來定義，其均值為，方差為。對于每一個點，可以得到，其中，Mult為多項式分布。該方法需確定模型的參數，包括分類個數、混合比例以及聚類參數。可以使用一個總的參數向量來表示，即=｛K，，，…，，｝，而。可采用期望最大化方法確定參數，借助貝葉斯信息準則或Akaike信息準則對進行確定。

分層有限高斯混合模型可在貝葉斯基礎上進行推理，可對參數（即所有分類的參數）給出更穩定的估計，并允許使用Dirichlet過程先驗對K進行概率選擇。

首先，在聚類參數和上設置先驗值。為便于推理，先驗設置為與高斯分布共軛。高斯分布是似然分布，在均值上的先驗是多元高斯分布，而在協方差上的先驗是逆威沙特分布。先驗分布超參數為、、和，通常將它們組合在一個先驗分布聚類參數上：

（2）

式中，為先驗分布超參數聯合分布；為逆威沙特分布。

為了對混合比例和聚類參數進行貝葉斯推斷，必須設定另一個先驗。可以選擇多項式分布的先驗共軛，這個多項式分布是由超參數控制的Dirichlet分布。可以取的極限，形成無限高斯混合模型，其形式為，， ， ，。該建模方式的優點在于只需要指定超參數，而不需要調整閾值或進行校準。通過后驗預測分布給出每個參數的后驗分布，點給出了其余觀測數據的可能性，可以對新數據進行評估。這里采用折疊吉布斯采樣解決方案。

對于高斯基函數的情況，吉布斯采樣程序如下：數據最初被分配到隨機的聚類中，然后在每次迭代中選擇一個數據點進行評估，如果是已分配聚類的，則重新進行評估。這個點將從它當前的聚類賦值中刪除，并更新該聚類的參數。如果該數據點是分配給該聚類的唯一點，則銷毀該點，并更新聚類的總數。對于每個分類，，即數據點從聚類中提取的先驗可能性被評估。先驗是Dirichlet過程先驗，對于現有的聚類先驗信息為：

（3）

式中，n為數據點總數。

可以看出，先驗似然是由超參數和當前分配給該聚類的點數決定的。超參數鼓勵聚類增長，增大將更有可能出現更多的聚類。當觀測到個數據點時，共軛更新計算如下式所示：

（4）

更新計算后可得：

（5）

（6）

（7）

式中，為樣本均值周圍的方和矩陣，。

對于每個現有聚類，即，通過計算先驗和似然來解釋新聚類的產生。這些可能性被邊際可能性縮放，便可以求得點的聚類賦值的多項分布，從這個分布中采樣一個聚類賦值，采樣點被分配給這個聚類，該聚類是一個現有的聚類或是一個新的聚類。如果這個點被添加到現有的聚類中，那么該聚類的參數將根據式（4）進行更新。如果該點被分配給一個新的聚類，該聚類將通過先驗初始化，并根據式（4）將該點添加到其中。聚類總數也被更新，。

1.3 基于極大似然異方差高斯過程和貝葉斯因子的結構損傷定量分析

可以通過對數據進行非線性回歸求解貝葉斯因子，如果回歸曲線形式及其均值與健康數據下的回歸曲線形式和均值相近，即可認為數據處于健康狀態［27］。通過高斯過程可有效解決非線性回歸問題，回歸建模為，其中，為目標量，為自變量，為誤差。但實際工程中由于環境改變或傳感器自身影響，監測數據的離散程度和噪聲較大［28］。采用一般的高斯過程對噪聲變化較大的數據進行回歸處理會出現較大偏差，本研究采用極大似然異方差高斯過程（MLHGP）［29］處理方差存在較大變化的數據，如下式所示：

（8）

式中，gi表示噪聲水平；q為樣本容量；j表示樣本點數量。

為量化結構損傷程度，引入貝葉斯因子作為判定結構損傷程度的標準。貝葉斯因子是貝葉斯檢驗假設指標［30］，衡量了數據對于支持或反對某個假設的程度。貝葉斯因子的具體構造方法為：首先對實際數據和回歸數據之間的殘差進行計算，并將得到的結果認定為服從高斯分布的隨機變量，然后對其進行貝葉斯假設檢驗，對于零假設，殘差的均值在0附近，即數據與健康數據基本無差異，則可認定結構為健康狀態；對于備擇假設，殘差均值不為0，則可認定結構為有損狀態。貝葉斯因子定義為兩個假設的后驗概率似然比：

（9）

式中，D表示證據因子。

通過計算貝葉斯因子的值，可以對結構的損傷程度進行定量分析，如參考Jeffreys的假設檢驗準則，可將損傷標準定義為：貝葉斯因子的值在1～3區間對應“有微小損傷”；3～10區間對應“有實質性損傷”；10～100區間對應“有較為嚴重的損傷”；gt;100對應“完全損壞”。

2 非參數貝葉斯混合模型應用研究

2.1 天津永和橋結構健康監測系統

天津永和橋是中國大陸第一座斜拉橋（見圖1），由于車輛荷載遠大于設計預期，永和橋跨中主梁底部在2006年出現了最大寬度達2 cm的裂縫，且斜拉索出現了嚴重腐蝕。橋梁于2008年12月至2009年5月期間進行了一次維修，在此次維修前，為橋梁設計了以加速度傳感器為主要組成部分的SHM系統。SHM系統中結構動力響應系統完整記錄了天津永和橋從健康狀態到損傷狀態期間的振動數據（2008年1月至7月），作為結構健康監測損傷識別Benchmark基準模型。

在永和橋橋面板上安裝了14個單軸加速度計，加速度方向均為豎直向下（見圖2中z方向）；在天津側橋塔頂部安裝一個雙軸加速度計，記錄水平面縱橋向和橫橋向兩個方向的加速度響應（見圖2中x、y方向）。此外，系統還包括風速儀、溫度傳感器、車道上的動態稱重系統，以及關鍵位置的應變與溫度光纖光柵傳感器。

2008年8月，橋梁被發現存在損傷，其損傷程度可以確認是隨著時間的推移逐漸發展的，而SHM系統記錄了2008年1月至7月橋梁的加速度數據。天津永和橋結構主要存在兩處損傷，第一處損傷位于主梁的閉合段處，閉合段開裂嚴重，鋼筋發生裸露；第二處損傷位于橋墩處，橋梁限位裝置發生偏移，且發生鋼筋拉斷損傷。兩處損傷位置均處于圖2中的1、2號加速度傳感器附近。

2.2 天津永和橋固有頻率提取

固有頻率是反映橋梁損傷的較為精確的模態參數，在橋梁結構出現損傷時會出現較為明顯的變化，因此常被用于結構損傷識別中。目前對于固有頻率的求解方法主要有快速傅里葉變換方法、自然激勵技術（NExT）方法等。本文選取的分析數據均為環境激勵下的振動響應，可視為高斯白噪聲。對于不同環境參數，比如溫度會對模態參數產生影響，本文主要選用的數據為每一天同一時間段的數據，以盡量消除溫度的影響，提高損傷識別可靠性。基于此，本文選擇NExT方法對橋梁固有頻率數據進行求解。通過NExT方法得到固有頻率數據需要較為平穩的加速度數據，而橋梁運行過程中的加速度數據在車輛運行較多的時間段內往往存在較大擾動，因此選取的分析數據基本取自當日凌晨或午夜。

采用NExT方法對2008年1月1日（后文所有日期均為2008年時間）0時永和橋加速度數據進行處理后得到1～7階固有頻率，依次為0.3601、0.5524、0.9491、1.0315、1.0895、1.2573、1.4923 Hz。

2.3 基于非參數貝葉斯混合模型與SHM實測數據的損傷識別

天津永和橋的準確先驗信息為1月17日橋梁處于健康狀態，在7月31日例行檢查時，橋梁已經被發現存在實質性損傷。本研究將非參數貝葉斯模型應用于固有頻率數據進行聚類分析，通過聚類分析結果判斷橋梁在損傷程度逐漸發展過程中存在的不同狀態，從而驗證算法的有效性。

圖3為對1、3和7階固有頻率數據進行非參數貝葉斯聚類分析的結果。將聚類結果按出現時間順序依次命名為聚類1、聚類2、聚類3、聚類4，并分別標記為綠色圓形、紅色矩形、紫色叉形、藍色十字形。

圖3（a）為1階固有頻率數據的聚類結果，在1月1日和1月17日，數據均被歸為聚類1。在2月3日出現聚類2，但仍有部分聚類1的結果存在。在4月9日出現少量聚類3。5月31日之后，聚類結果全部為聚類3，最終在6月16日出現了聚類4。

圖3（b）為3階固有頻率的聚類結果，前期聚類1、聚類2出現的規律與圖3（a）類似。在圖3（a）和（b）中，6月16日固有頻率的數據特征、變化形式與此前不同，非參數貝葉斯聚類方法可以對這種數據變化進行精準識別。

圖3（c）為7階固有頻率的聚類結果。在4月9日和5月5日的聚類結果中，圖3（c）中該段時間聚類3含量相較于圖3（b）中更少，但比圖3（a）中更多。而在其他時間段，7階固有頻率數據的聚類結果與3階固有頻率數據的聚類結果基本相同。

根據以上固有頻率聚類結果可以發現，非參數貝葉斯模型將不同階固有頻率數據都分為了4類。2月3日、4月9日、6月7日的聚類分析結果表明，該時間段同時存在兩類聚類結果，表明結構處于損傷狀態變化階段。圖3（d）為3組固有頻率數據的三維展示結果，不同顏色代表7階固有頻率數據的不同聚類結果。由圖可知，3組固有頻率數據之間存在著正相關關系，其中，聚類1和聚類4的分布較為獨立，而聚類2和聚類3的分布相對集中，非參數貝葉斯模型對這兩種形式的數據均可以精確聚類。

對不同階固有頻率數據之間的具體相關性分析通過圖4進行展示，圖4為3階和7階固有頻率之間的相互關系，為了體現相互關系，將所有的數據均進行歸一化處理。

通過圖4發現，在結構逐漸發生破壞的過程中，不同固有頻率整體都呈現逐漸下降的趨勢。而在圖4（a）的3階固有頻率自相關關系中，1月1日和1月17日健康狀態下的數據與后面時間段的分界非常明顯，類似現象也出現在了圖4（d）中的7階固有頻率自相關關系中。而對于2月3日至6月7日時間段的固有頻率數據，由圖4（a）可以發現，在1階固有頻率中，聚類2整體固有頻率數值明顯比聚類3整體固有頻率數值大，而在圖4（d）的7階固有頻率中，聚類2和聚類3的整體固有頻率數值基本沒有差異，該段時間內固有頻率最小值甚至出現在聚類2中。這種現象說明，非參數貝葉斯模型并不是單純通過數值的大小對數據進行聚類，而是結合了數據的變化形式。

對于不同階固有頻率數據的聚類結果差異的定量分析由圖5和6進行展示。圖5中，1階與3階固有頻率聚類結果整體差異率為8.12%。1階固有頻率數據聚類結果主要在2月3日、4月9日、5月5日和5月18日與其余兩階固有頻率數據聚類結果存在差異。1階聚類結果在2月3日出現部分誤判，同時，結構在4月9日至5月18日期間處于結構狀態改變時期，因此出現了聚類2和聚類3同時存在的現象。不同階固有頻率數據聚類結果總體差異較小，整體相同率最低也可達91.78%，說明通過非參數貝葉斯方法對不同階固有頻率數據進行聚類分析得到的結果較穩定。

在圖6中采用7階固有頻率數據聚類結果進行損傷定量分析。由圖6可知，按時間順序，結合結構損傷發展情況，可以將聚類1、聚類2、聚類3、聚類4分別定義為四種狀態水平。根據天津永和橋已知信息，聚類1為健康狀態、聚類4為有實質性損傷狀態，聚類2與聚類3為中間損傷過渡狀態。

3 基于貝葉斯因子的損傷定量分析

為驗證通過非參數貝葉斯聚類分析對固有頻率數據進行處理所得聚類結果的精確性，可以通過貝葉斯因子對結構損傷狀況進行定量分析，首先采用基于非參數貝葉斯模型的MLHGP模型對已知為健康狀態的1月1日和1月17日固有頻率數據進行回歸分析，將所得回歸模型設定為零假設條件H0。然后對需要進行檢驗時期的固有頻率數據進行回歸分析，其回歸模型越接近健康狀態下回歸模型，則認為結構越趨向于健康狀態；其回歸模型越偏離健康狀態下回歸模型，則認為結構越趨向于損傷狀態［31］。求得各階貝葉斯因子結果如圖7所示，得到2月3日、6月7日、7月31日的1階、3階、7階固有頻率數據回歸模型貝葉斯因子，貝葉斯因子越大，證明其回歸模型與健康狀態下回歸模型的偏離度越高。

圖7中，1階固有頻率數據所得貝葉斯因子隨著結構損傷的發展而呈現上升趨勢，但其數值低于3，判定為微小損傷狀態。3階、7階固有頻率數據所得貝葉斯因子隨著結構損傷的發展也呈現上升趨勢，在6月7日之前，其數值均小于3，判定為微小損傷狀態，7月31日貝葉斯因子數值在3～10區間，判定此時橋梁結構出現實質性損傷。對于不同階固有頻率數據的貝葉斯因子結果，在2月3日和6月7日，對于結構損傷狀態的判定是統一的，均認為結構處于微小損傷狀態，在7月31日，1階固有頻率數據所得貝葉斯因子并沒有反映出結構實質性損傷問題，這是由于高階固有頻率對損傷敏感度更高，在出現損傷時對高階固有頻率數據進行分析所得結果也更精準，在頻率聚類分析中也出現類似規律。

對于損傷位置的確定，可結合MLHGP回歸模型和橋梁不同部位固有頻率數據進行分析得到貝葉斯因子，從而進一步實現橋梁損傷定位分析。首先需要對橋梁整體結構進行子區域劃分。可結合監測傳感器的安裝位置、結構特點，將橋梁整體結構劃分為6個子區域，具體如圖8所示，每個子區域均包含部分加速度傳感器。

已知7月31日時橋梁結構出現實質性破壞，因此采用該時段數據開展損傷定位。對每個子區域的加速度數據采用NExT方法解析得到該節點處的固有頻率數據，并對1月1日健康狀態下的固有頻率數據進行求取；然后對所得健康狀態下的固有頻率數據采用MLHGP方法進行回歸分析，將所得回歸模型設定為零假設條件；最終得到不同子區域貝葉斯因子結果如圖9所示。

由圖9可知，子區域1貝葉斯因子為19.1，遠高于其他子區域的貝葉斯因子。說明在6個子區域中，橋梁系統最有可能發生損傷的位置在子區域1處。實測橋梁損傷也出現在子區域1處，在1號、2號傳感器附近，其閉合段開裂嚴重、橋墩破壞且鋼筋拉斷，驗證了基于貝葉斯因子的損傷定位分析的準確性。

4 結" 論

本文提出了一種基于非參數貝葉斯聚類模型結合模態參數的結構損傷識別方法。以天津永和橋結構健康監測系統實測數據為研究背景，提取其1階、3階、7階固有頻率，利用固有頻率數據聚類結果，結合貝葉斯因子損傷指標對損傷程度進行量化。基于損傷識別及量化結果，得到如下結論：

（1）通過非參數貝葉斯模型進行聚類分析后，可以明確數據形式是否發生變化，即使數據數值差異不大，由于變化規律不同，非參數貝葉斯模型也可以對其進行精確聚類分析。

（2）對不同階固有頻率數據進行聚類分析時，非參數貝葉斯模型的聚類結果基本一致，符合結構損傷發展規律；通過聚類結果定量分析發現，不同固有頻率數據聚類結果總體差異小，說明聚類結果穩定且精準。通過固有頻率數據自相關關系圖也可以發現，在結構損傷程度變化過程中，3種不同固有頻率數據均可反映結構損傷情況。

（3）通過結合基于非參數貝葉斯方法的MLHGP和貝葉斯因子對橋梁結構進行損傷定量分析，結果與通過非參數貝葉斯模型對固有頻率數據聚類分析的結果一致，證明通過非參數貝葉斯模型結合結構模態參數可實現對結構損傷的精確識別。

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通信作者："王其昂（1986―），男，博士，副教授。E?mail：qawang@cumt.edu.cn