基于多項式混沌展開的普速鐵路客車隨機平穩性分析

摘要：影響車輛動力學性能的因素眾多，在車輛實際服役中，這些因素往往具有不確定性，導致傳統定值仿真難以完全模擬，故亟需一種隨機響應的快速計算方法，以實現對車輛隨機動力學的分析。對此，首先構建了普速客車隨機動力學模型，而后使用拉丁超立方抽樣（LHS）仿真計算樣本數據，最后使用多項式混沌展開（PCE）擬合得到展開系數，構建代理模型，并以此開展了對車輛平穩性指標統計矩的快速計算和對隨機參數全局靈敏度的研究。通過結果對比可以看出：相較于LHS方法，PCE方法可以實現大量樣本的快速精確計算，低階統計矩結果一致，高階統計矩結果更為準確；隨著等效錐度增大，車輛隨機平穩性的均值和離散性均增大；此外，車輛平穩性的隨機性受減振器剛度和阻尼的影響較大。

關鍵詞：普速鐵路客車；多項式混沌展開；參數隨機分布；隨機平穩性指標；全局靈敏度

中圖分類號：U279.2""""""""""""""""""""""" 文獻標志碼：A"""""""""""""""""""""""" doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2025.02.006

文章編號：1006-0316 （2025） 02-0042-09

Stochastic Stationarity Analysis of General-Speed Railway Passenger Train

Using Polynomial Chaos Expansion Method

WU Xiao1，XU Wentian1，SHEN Jinxin2，CHI Maoru1，LIANG Shulin1

（ 1. State Key Laboratory of Rail Transit Vehicle System， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China; 2. Locomotive amp; Car Research Institute， China Academy of Railway Sciences， Beijing 100081， China ）

Abstract：A multitude of variables influence the dynamic performance of vehicles， which during actual operational service frequently present with inherent uncertainties， a factor that severely curtails the efficacy of traditional deterministic simulations. There exists an imperative for the development of expedited methodologies to compute stochastic responses， thus enabling analyses of vehicular stochastic dynamics. This paper details the initial construction of a stochastic dynamic model for a conventional passenger train， followed by the application of Latin hypercube sampling （LHS） for the simulation and computation of sample datasets. Subsequently， polynomial chaos expansions （PCE） are utilized to fit expansion coefficients， facilitating the creation of a surrogate model. Utilizing this model， rapid computations of the statistical moments for vehicle stability metrics and investigations into the global sensitivity of stochastic parameters were conducted. Comparative analyses reveal the PCE method's superiority over LHS in terms of executing rapid and precise calculations across a broad spectrum of samples， with consistency observed in the results for lower-order statistical moments and augmented accuracy manifest in higher-order moments. Additionally， it is observed that with incremental increases in the equivalent conicity， both the mean value and variance in the stochastic stability of the vehicle observe a concomitant rise. Moreover， the stochastic nature of vehicle stability demonstrates substantial susceptibility to variations in the stiffness and damping characteristics of the dampers.

Key words：general speed railway passenger train；polynomial chaos expansion；random distribution of parameters；stochastic stationarity index；global sensitivity

目前，我國既有鐵路客車保有量為4.35萬輛，在鐵路運輸系統中占據重要地位[1]。動力學性能的好壞決定著車輛運行品質的高低，但受制于服役時間、線路條件和運維情況等諸多因素，實際運營中的車輛狀態不可避免存在隨機性差異，進而導致傳統的定值動力學仿真計算方法無法準確計算和預測車輛的動力學性能。

傳統定值仿真基于少數、離散的仿真工況，使得響應規律通常較為片面，難以完全模擬復雜多樣的車輛狀態和運營工況[2-3]。目前的軌道車輛隨機動力學研究多是基于蒙特卡洛方法進行定值仿真[4-8]，受制于高昂的計算成本，樣本數目不能太大，難以全面整體地反映車輛動力學性能與隨機參數間的響應關系。故亟需一種快速計算隨機響應的方法，以實現對車輛隨機動力學的分析。

PCE（Polynomial Chaos Expansions，多項式混沌展開）方法作為不確定性分析中相對較新的方法，有著嚴謹的數學依據，可以實現對考慮隨機性傳遞的系統的近似模擬[9]，其在工程上多用于系統的隨機響應仿真[10-15]，并在單軌車輛隨機平穩性計算中有良好的應用[16]。

因此，本文以國內某型普速鐵路客車作為研究對象，首先考慮車輛參數的隨機性，構建隨機平穩性分析模型；之后給出基于PCE構建近似代理模型的方法，最后設置工程算例，基于LHS（Latin hypercube sampling，拉丁超立方抽樣）計算小樣本數據，并以此構建PCE模型，進行大樣本的車輛平穩性指標隨機分布特性的快速計算和全局靈敏度的研究，驗證方法的有效性。

1 普速鐵路客車隨機模型

1.1 車輛多體動力學模型建立

某型普速鐵路客車多體動力學模型如圖1所示，由1個車體、2個構架、4個輪對和8個轉臂組成。一系懸掛為軸箱轉臂定位，二系懸掛包括空氣彈簧與各型減振器等部件。本文利用SIMPACK多體動力學軟件建立仿真模型，共計50個自由度，如表1所示。動力學模型考慮了懸掛參數非線性和輪軌關系非線性。

車輛運行平穩性指標參照GB/T 5599－2019[17]，計算為：

（1）

式中：W為車輛運行平穩性指標；A為振動加速度；f為振動頻率；為修正系數。

1.2 隨機平穩性分析模型

輪軌匹配等效錐度是影響車輛動力學性能的關鍵參數[18]，但名義等效錐度難以作為單獨變量輸入隨機模型，故需要單獨考慮。根據上文車輛多體動力學模型構建原理，建立車輛輸入參數、輪軌匹配等效錐度與系統動態響應之間的映射關系為：

（2）

式中：t為時間；為隨t變化的系統加速度響應矩陣；X為輸入向量；為等效錐度；為仿真模型，描述系統動態響應與X和之間的非線性映射函數關系。

根據列車系統動力學相關已有研究[2，16]，綜合計算成本和模型精確度，最終選定7個表述車輛狀態的參數作為系統的隨機輸入，分別計算搭配3種不同等效錐度（0.192，0.406，0.605）磨耗踏面時的車輛響應。具體包括：①輪軌界面參數——軌距lR、Kalker系數K、摩擦系數μ；②車體質量mc；③車輛關鍵懸掛參數——轉臂節點側向剛度變化系數knp、減振器阻尼變化系數cd、減振器剛度變化系數kd。各參數組成隨機向量X，即：

X＝[lR， K， μ， mc， knp， cd， kd]T""""""""" （3）

依據LHS方法，對隨機向量X進行大量抽樣，仿真計算得到樣本的隨機平穩性指標作為PCE模型擬合所需的正向數據。

2 多項式混沌展開方法

PCE方法本質上相當于對隨機變量構建一個代理模型，構建完成的PCE模型輸出結果由矩陣與展開系數內積求解得到。其中展開系數一般通過回歸方法擬合得到。

構建代理模型首先需要利用正交基對隨機變量進行級數展開，這取決于預定的概率密度函數。一般使用Hermite多項式來表示服從高斯分布的隨機變量，對于任一隨機變量Y，可以利用Wiener混沌多項式表示為：

（4）

式中：n為階數；為Hermite正交多項式，是多維標準正態隨機變量，，…，的函數；為多項式系數。

依據PCE理論，設M維隨機向量X各元素獨立且概率密度函數已知，則可定義：

（5）

式中：P為總的PCE展開項數；p為PCE最大展開階數，即多項式的最高次數。

截斷后的PCE模型近似表示為：

（6）

式中：為標準隨機向量；為PCE基函數；為待求的PCE展開系數，只與系統自身性質有關，而與輸入參數的隨機特性無關。

將隨機參數展開后與展開系數內積，得到響應為：

（7）

可簡寫為：

（8）

根據最小二乘回歸，可以求得PCE展開系數矩陣為：

（9）

若PCE模型的基函數是標準正交的，則由展開系數可快速計算得到：

（10）

（11）

式中：為隨機響應Y的均值；為隨機響應Y的方差。

根據展開系數，Sobol靈敏度計算為：

（12）

（13）

式中：為Sobol一階全局靈敏度；為Sobol總的全局靈敏度；為展開式中僅與變量Xi有關的項的集合；為展開式中所有與變量Xi有關的項的集合。

由式（5）可知，PCE模型的系數個數P受到多項式截斷的最高階數p和隨機變量X的維數M的共同影響，并隨著二者的增加呈現指數級增加。一般認為，各參數間相乘的高階次項和兩個以上參數相乘的項對于復雜系統的響應貢獻較小。取7維隨機參數進行5階標準截斷項數分布如表2所示。保留0次項、各參數自身階次項和2、3階兩參數間相乘的項數構建多項式展開稀疏基函數，降維后的總項數為99，此時PCE模型擬合所需的小樣本數目應該大于等于200。

使用基于均方根誤差的變異系數VRMSE作為檢驗PCE模型的計算精度的誤差評估方法，其為均方根誤差與真實值的平均值的比值，計算為：

VRMSE""""""" （14）

式中：為PCE模型計算得到的隨機響應值；為基于物理模型或仿真模型計算得到的真實值；n為概率分布中樣本的個數。

在PCE模型一次性計算多組隨機響應時，VRMSE可以用于不同尺度的數據之間的直觀誤差比較。通常認為VRMSE＜5%時，PCE模型收斂，滿足要求。

3 仿真計算與分析

3.1 算例設置

本節以某型普速鐵路客車作為研究對象，建立該型車輛在直線線路上搭配3種不同等效錐度的磨耗踏面以120 km/h速度運行時的多體動力學模型。計算速度的設置參考普速客車長期運營速度數據。選擇美國五級譜作為軌道不平順輸入。算例采用LHS方法對車輛隨機模型分別設置300組隨機輸入向量。隨機參數分布如表3所示。

輪軌界面參數反映了線路條件和運營環境條件的隨機性，均考慮為正態分布。其中，軌距lR反映運行線路條件的隨機性。Kalker系數K和摩擦系數μ反映了運營環境條件的隨機性。均值即為名義參數，標準差參考了羅仁等[2-3]相關研究中的假設。

車體質量mc受車輛載客情況影響，考慮重量限制，設置其截尾區間，并同步更新車體轉動慣量。

關鍵懸掛參數考慮橡膠節點剛度、各型減振器的阻尼與剛度參數為正態分布。為簡化模型，將全車各型減振器剛度和阻尼的隨機性統一表達為變化系數。變化系數均值為1，標準差參考我國高鐵長期運營中積累的減振器性能退化數據[19-21]，并依據3σ原則設置。

考慮到工程算例應盡可能貼近實際運營的隨機條件，3組模型采用的隨機參數分布特性相同，但抽樣取值相互獨立。

3.2 基于拉丁超立方抽樣的隨機平穩性分析

300組LHS樣本進行蒙特卡洛方法仿真得到的車輛橫向和垂向平穩性指標的分布直方圖及其正態分布擬合結果如圖2～4所示，計算結果的統計矩如表4所示。

從均值統計量來看，隨著等效錐度的增大，橫向平穩性均值逐漸增大，表明車輪踏面的不斷磨耗使得車輛橫向動力學性能顯著惡化。隨著等效錐度的增大，垂向平穩性指標均值同樣逐漸增大，但增幅較小。從離散性來看，等效錐度增大時，橫向和垂向平穩性的標準差也逐漸增大。計算得到的統計規律符合我國現階段普速鐵路客車的實際運營情況。從樣本的偏度來看，橫向平穩性偏度均大于零，呈現右偏的趨勢，少數數據值偏大；垂向平穩性偏度的變化規律則不明顯。從樣本的峰度來看，橫向和垂向平穩性指標的峰度隨等效錐度的增大而減小，說明車輪踏面磨耗使得車輛平穩性的分布更加分散，與離散性計算規律吻合。

3.3 多項式混沌展開模型的驗證

小樣本在3組數據中分別選擇200組樣本數據作為擬合組，其余100組作為驗證組。兩種方法計算結果統計矩的對比如表5所示。

等效錐度0.192組的平穩性計算數據與仿真數據的對比散點圖如圖5所示?？梢钥闯觯瑱M向和垂向平穩性計算值與真實值相近，總體規律相同，偏差可以接受，證明了PCE計算方法的準確性。

根據式（14）計算VRMSE，結果如表6所示?？梢钥闯?，誤差均小于5%，說明PCE模型收斂，3組模型對于車輛隨機動力學模型的計算較為準確。

3.4 基于多項式混沌展開的隨機平穩性分析

使用3.3節構建的PCE模型，分別進行10000組樣本數據抽樣，并計算得到車輛平穩性。從計算結果看，車輛的橫向和垂向平穩性的平均值均未超過2.5，評價為優。但部分工況橫向平穩性大于2.5，具體如表7所示。

車輛平穩性分布直方圖及其正態分布擬合結果如圖6～8所示，計算結果的統計矩如表8所示。

相較于小樣本數據，大樣本數據可以更精細地呈現車輛平穩性指標的隨機分布特性。在均值方面，PCE模型計算結果與LHS抽樣計算結果相近。在標準差方面，PCE模型計算結果比LHS抽樣計算結果更大，隨等效錐度增大的變化規律相同。在偏度方面，車輛橫向平穩性指標的偏度在等效錐度0.406組接近對稱分布，而在等效錐度0.192組和0605組偏度為正，右偏明顯。車輛垂向平穩性偏度為正，且逐漸減小。峰度方面，橫向和垂向平穩性峰度均大于3，數據集中在平均值附近，這是由于車輛動力學系統的非線性和耦合性削弱了參數隨機性的影響。綜合來看，隨著等效錐度的增大，影響車輛平穩性的參數隨機性影響逐漸增大，車輛動力學性能也逐漸惡化，符合動力學計算規律。

3.5" Sobol靈敏度分析

根據式（12）和式（13）計算得Sobol一階全局靈敏度和總的全局靈敏度，結果如圖9～11所示?？梢钥闯觯圀w橫向和垂向平穩性受各型減振器阻尼cd和剛度kd的影響較大，而受輪軌界面參數和車重的影響較小。

對比一階靈敏度和全局靈敏度，部分輸入參數中，二者差異較為明顯，說明不同隨機參數間的相互影響大于參數自身影響，這一方面是由于設置中各型減振器統一考慮導致單一參數對車輛參數影響較大，另一方面也由于車輛系統動力學自身的非線性和耦合性。這也說明此類參數的隨機性更容易引起系統的連鎖反應，在客車運維工作中，減振器性能參數的隨機性更應被關注。

4 結論

（1）以國內某型普速鐵路客車為研究對象，考慮車輛參數的隨機性，以橫向和垂向平穩性作為隨機響應，構建PCE代理模型，實現了車輛平穩性統計矩和全局靈敏度的快速計算。

（2）普速客車的車輛平穩性在3種不同等效錐度下均呈現正態分布規律。隨著等效錐度的增大，橫向平穩性指標的均值和標準差不斷增大，車輛橫向動力學性能也有著明顯的惡化；隨著等效錐度的增大，垂向平穩性也有上升趨勢，但相對變化較小。輸入參數隨機性對結果隨機性的影響隨等效錐度的增大而增大。

（3）在搭配3種不同等效錐度的磨耗踏面時，車輛的橫向和垂向平穩性指標均受減振器剛度和阻尼的影響較大。在普速客車運維工作中，減振器性能的監測工作更應被關注。

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