與公切線有關(guān)的四類常見(jiàn)題型及求解技巧

摘要基于兩曲線的公切線創(chuàng)設(shè)場(chǎng)景，本文就共切點(diǎn)與異切點(diǎn)的公切線問(wèn)題，公切線條數(shù)與公切點(diǎn)個(gè)數(shù)等問(wèn)題，結(jié)合實(shí)例挖掘此類問(wèn)題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，歸納此類問(wèn)題的技巧與方法，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考．

關(guān)鍵詞異切點(diǎn)；共切點(diǎn)；公切線問(wèn)題

在近幾年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用試題的命制過(guò)程中，求解與曲線的公切線有關(guān)的問(wèn)題成為高考的熱點(diǎn)題型之一．學(xué)生在做題過(guò)程中，單一曲線的切線問(wèn)題相對(duì)來(lái)說(shuō)，比較容易理解與掌握，但是解決多條曲線（主要是兩條曲線）的公切線問(wèn)題，顯然比單一曲線的切線問(wèn)題要復(fù)雜得多，難度也較大多．本文通過(guò)一些典型例題分析一下常見(jiàn)的四類公切線問(wèn)題．

1．共切點(diǎn)的公切線問(wèn)題

基于兩曲線具有相同切點(diǎn)的公切線為問(wèn)題場(chǎng)景，合理創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的公切線問(wèn)題，用來(lái)解決涉及參數(shù)值的求解，公切線的方程特征與概念，以及公切線的基本性質(zhì)與相關(guān)應(yīng)用等方面的綜合問(wèn)題．

例1（2024年重慶市高考數(shù)學(xué)模擬試卷）已知函數(shù)fx=ex－ax+ba，b∈R，gx=x2+x，若這兩個(gè)函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)A1，2處有相同的切線，則a+b=．

解析因?yàn)閒x=ex－ax+ba，b∈R，gx=x2+x，所以f'x=ex－a，g'x=2x+1．因?yàn)閒x，gx在公共點(diǎn)A1，2 處有相同的切線，所以f′1=g′1，f1=2， 得a=e－3，b=－1， 所以a+b=e－4．

點(diǎn)評(píng)"解決此類涉及共切點(diǎn)的公切線問(wèn)題，往往是通過(guò)兩個(gè)不同曲線進(jìn)行求導(dǎo)處理，結(jié)合公切點(diǎn)的應(yīng)用場(chǎng)景，利用“該切點(diǎn)處的兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相等”這一關(guān)系建立方程（組），通過(guò)方程（組）的求解來(lái)深入研究共切點(diǎn)的公切線問(wèn)題的分析與求解．

2．異切點(diǎn)的公切線問(wèn)題

基于兩曲線具有不同切點(diǎn)的公切線為問(wèn)題場(chǎng)景，合理創(chuàng)設(shè)異切點(diǎn)的公切線應(yīng)用條件，結(jié)合含參曲線或?qū)?yīng)含參公切線問(wèn)題的創(chuàng)設(shè)，用來(lái)解決相應(yīng)的參數(shù)求值，代數(shù)式求解等相關(guān)的綜合應(yīng)用問(wèn)題．

例2（2024年黑龍江省哈爾濱市高考數(shù)學(xué)模擬試卷）已知函數(shù)fx=lnx+1，gx=lne2x，若直線y=kx+b為曲線y=fx和y=gx的公切線，則b=（）.

A．12B．1－ln2C．2－ln2D．－ln2

解析設(shè)直線l：y=kx+b 與fx=lnx+1 相切于點(diǎn)Ax1，y1，與gx=lne2x 相切于點(diǎn)Bx2，y2．由fx=lnx+1得f'x=1x+1.由f'x1=1x1+1=k 得x1=1－kk，則y1=fx1=lnx1+1=ln1－kk+1=ln1k=－lnk，即點(diǎn)A（1－kk，－lnk）．代入直線l 中得－lnk=k·1－kk+b，即b=k－lnk－1①．

因?yàn)間x=lne2x=lne2+lnx=2+lnx，所以g'x=1x，由g'x2=1x2=k 得x2=1k，則y2=gx2=2+lnx2=2+ln1k=2－lnk，即點(diǎn)B（1k，2－lnk）．代入直線l 中得2－lnk=k·1k+b，即b=1－lnk②．

聯(lián)立①②，得k=2，所以b=1－ln2．故選B．

點(diǎn)評(píng)解決涉及異切點(diǎn)的公切線問(wèn)題，需分別設(shè)出公切線與對(duì)應(yīng)不同曲線所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)不同切點(diǎn)，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義，確定對(duì)應(yīng)切點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式，代入對(duì)應(yīng)的公切線方程，構(gòu)建相應(yīng)的表達(dá)式，進(jìn)而利用“公切線”這一特征，合理建立相應(yīng)的方程（組）來(lái)分析與求解．

3．公切線條數(shù)的判斷問(wèn)題

基于兩條曲線具有相同公切線為問(wèn)題場(chǎng)景，借助兩個(gè)確定的函數(shù)解析式，用來(lái)確定公切線應(yīng)用場(chǎng)景下的公切線條數(shù)的確定問(wèn)題，或通過(guò)某個(gè)確定的點(diǎn)向兩曲線引切線來(lái)確定公切線的條數(shù)等．

例3（2024年河南省許昌市高考數(shù)學(xué)模擬試卷）已知函數(shù)fx=x3－x+a的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則與曲線y=fx和y=x2+14均相切的直線l有（ ）.

A．1條B．2條C．3條D．4條

解析由函數(shù)fx=x3－x+a 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得f－x=－fx，即－x3－－x+a=－x3－x+a，解得a=0，所以fx=x3－x，f'x=3x2－1．

設(shè)直線l 與y=fx 相切于點(diǎn)x1，fx1，所以切線方程為y－x31－x1=3x21－1x－x1，整理得y=3x21－1x－2x31．設(shè)gx=x2+14，直線l 與y=gx 相切于點(diǎn)x2，gx2，因?yàn)間'x=2x，所以切線方程為y－x22+14=2x2x－x2，整理得y=2x2x－x22+14．則3x21－1=2x2，－2x31=－x22+14， 整理得3x212－122－2x31－14=94x41－2x31－32x21=x2149x21－8x1－6=0．

當(dāng)9x21－8x1－6=0 時(shí)，Δ=－82+4×9×6gt;0，方程有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，x1=0也滿足方程，故x1 有3個(gè)值．

所以方程組 有3組解，故滿足題中條件的直線l 有3條，故選C．

點(diǎn)評(píng)解決涉及公切線條數(shù)的判斷問(wèn)題，往往根據(jù)兩個(gè)不同曲線在切點(diǎn)處的斜率相等，同時(shí)滿足切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，列出有關(guān)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的方程（組），通過(guò)解方程（組）或恒等變形等來(lái)分析，合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的含參方程等，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，也就是對(duì)應(yīng)的公切線條數(shù)，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解．

4．公切點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷問(wèn)題

基于兩條曲線具有相同公切線為問(wèn)題場(chǎng)景，依托兩個(gè)確定的函數(shù)解析式，用來(lái)確定公切線應(yīng)用場(chǎng)景下的公切點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定問(wèn)題，或者是滿足某種條件的公切點(diǎn)的結(jié)構(gòu)特征或個(gè)數(shù)信息等問(wèn)題．

例4（2024年甘肅省張掖市民樂(lè)一中高三（上）第一次診斷數(shù)學(xué)試卷）已知曲線fx=lnx在點(diǎn)Px0，fx0處的切線l與曲線gx=ex也相切，則滿足條件的切點(diǎn)P有個(gè)．

解析因?yàn)閒x=lnx，所以f'x=1x，所以f'x0=1x0，fx0=lnx0，所以切線l 的方程為y－lnx0=1x0x－x0，即y=1x0x+lnx0－1①．

設(shè)切線l 與曲線y=gx 相切于點(diǎn)x1，ex1，因?yàn)間'x=ex，所以ex1=1x0，所以x1=－lnx0，所以切線l 與曲線y=gx 相切于點(diǎn)（－lnx0，1x0）．所以切線l 的方程也為y－1x0=1x0x+lnx0，即y=1x0x+lnx0x0+1x0②．

由①②可得lnx0－1=lnx0x0+1x0，整理可得lnx0=x0+1x0－1．③

如圖1所示，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y=lnx，y=x+1x－1 的圖象，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程③有兩解，故切點(diǎn)P 有2個(gè)，故填2．

點(diǎn)評(píng)"解決涉及公切點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷問(wèn)題往往是先結(jié)合其中一條曲線來(lái)確定對(duì)應(yīng)的切線方程；在此基礎(chǔ)上，借助公切線與另一條曲線相切的性質(zhì)確定有前面條件下對(duì)應(yīng)的另一種形式的切線方程．結(jié)合兩者之間是相同的公切線場(chǎng)景，合理構(gòu)建含參的關(guān)系式，將問(wèn)題加以合理轉(zhuǎn)化，借助函數(shù)與方程思維，數(shù)形結(jié)合理，實(shí)現(xiàn)公切點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷．

解決對(duì)應(yīng)的兩條曲線的公切線問(wèn)題，如果同時(shí)考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會(huì)比較亂，我們可從幾何視角加以切入，從代數(shù)視角加以應(yīng)用，巧妙突破問(wèn)題．求解具體問(wèn)題時(shí)，為了使思路更清晰，一般是把兩條曲線分開(kāi)考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，綜合利用代數(shù)思維和幾何思維．