依托橢圓場景，探求最值問題

摘要圓錐曲線中求最值或求解取值范圍等問題是歷年高考中的一類熱點與難點問題.本文通過幾道典型例題，給出了突破該類問題的一些常見技巧策略與思維視角，歸納了解題規律，技巧方法與策略，期待對高中數學教學與復習備考能有些許幫助．

關鍵詞橢圓場景；最值求解

圓錐曲線中的基本元素之間常可用一些代數關系式來表達，而尋求這些關系式的最值問題，或取值范圍問題能夠很好考查圓錐曲線的“四基”，并能較好地融合其他知識，成為高考命題中的一個比較常見的熱點題型．基于此，本文以橢圓應用場景為例，通過幾道典型題目，合理歸納總結，就巧用幾何意義、妙構函數模型、構造基本不等式與巧借三角函數等幾類典型的常用技巧與方法，結合典型實例來剖析解決橢圓中的最值問題的應對策略，拋磚引玉．

1．巧用幾何意義

巧用幾何意義思維，主要是利用橢圓的基本概念與幾何意義，尤其是橢圓的幾何性質，綜合平面幾何知識等加以綜合應用，合理直觀想象，數形結合分析，進則得以確定相應的最值問題．

例1（1）（2024年定西市模擬試題）已知橢圓C：x29+y25=1的左、右焦點分別為F1，F2，A是C上一點，B2，1，則AB+AF1的最大值為（）.

A．7B．8C．9D．11

（2）（2024年浙江省模擬試題）已知F是橢圓C：x24+y23=1的左焦點，點M在橢圓C上，N在圓P：x2+y－32=2x上，則MF－MN的最大值是．

解析（1）由題意得F22，0，a=3．如圖1所示，連接AF2，結合橢圓的定義有AB+AF1=AB+2a－AF2=6+AB－AF2．而結合平面幾何圖形的幾何意義，可知AB－AF2SymbolcB@BF2=1，當且僅當A，F2，B三點共線，且點F2在點A，B之間時等號成立．所以AB+AF1的最大值為7．故選A．

（2）由圓P：x2+（y－3）2=2x得（x－1）2+（y－3）2=1，可得圓P 的圓心P1，3，半徑r=1．由橢圓C：x24+y23=1，可得a=2．

設橢圓C的右焦點為F1，根據橢圓的定義可得MF=2a－MF1，所以MF－MN=2a－MF1+MN．又由MNmin=MP－r，當點P，N，M，F1四點共線時，即如圖2中點P，N'，M'，F1所在的位置時，MF1+MN取得最小值，最小值為MF1+MNmin=M'F1+M'P－r=PF1－r=3－1=2．所以MF－MNmax=2×2－2=2．

點評巧妙借助橢圓的定義來轉化所要求解的線段長度之和的表達式，利用平面幾何圖形的直觀，結合平面幾何圖形的幾何意義加以轉化，實現表達式最值的確定與判斷．幾何意義思維來分析與處理此類圓錐曲線中的最值問題時，要抓住“變”與“不變”之間的關系，巧妙利用平面幾何圖形的幾何意義與圖形直觀來綜合與應用，特別要注意等號成立時的條件是否存在．

2．妙構函數模型

妙構函數模型思維，是合理引入相應的參數，進而結合橢圓的應用場景，合理構建對應的函數，尤其是二次函數或與二次函數相關的函數模型，進而利用函數的圖象與性質來分析與應用，實現最值的突破與求解．

例2（2023—2024學 年重慶一中高二（上）第一次月考數學試卷）過橢圓x236+y227=1上一動點P分別向圓C1：x+32+y2=4和圓C2：x－32+y2=1作切線，切點分別為M，N，則PM2+2PN2的最大值是．

解析如圖3，因為a=6，b=33，c=3，易知C1－3，0，C23，0為橢圓的兩個焦點．而PM2+2PN2=PC12－4+2PC22－1=PC12+2PC22－6．

根據橢圓的定義PC1+PC2=2a=12，設PC2=t，則a－cSymbolcB@tSymbolcB@a+c，即3SymbolcB@tSymbolcB@9，PC1=12－t．則PM2+2PN2=12－t2+2t2－6=3t2－24t+138=3t2－8t+46=3［t－42+30］，當t=9 時，可得PM2+2PN2取得最大值為165．

點評利用直線與圓的位置關系，結合勾股定理加以合理變形與轉化，并通過橢圓定義的應用，巧妙引入參數，將所要求解的關系式轉化為該參數的函數模型問題，進而結合參數的取值范圍，利用二次函數的圖象與性質來確定最大值．巧妙引入參數，為合理構建函數模型創造條件，一定要注意參數的取值范圍對所求結果會有一定的影響．若引入參數后所構建的函數模型比較復雜，也可以借助函數與導數的綜合應用來分析與處理．

3．構造基本不等式

構造基本不等式思維，是合理恒等變形對應的表達式，通過合理配湊變量間的和（或積）為定值的基本條件，創造利用基本不等式放縮與應用的條件，進而借助基本不等式的合理放縮來確定對應的最值問題．

例3 （2023—2024學年江西省金溪一中、廣昌一中、南豐一中高二（上）月考試題）已知橢圓C：x216+y212=1的左、右焦點分別為F1，F2，點P是橢圓C上的動點，m=PF1，n=PF2，則4m+nmn的最小值為（）.

A．98B．54C．20－379D．20+379

解析由題意得a=4，結合橢圓的定義有PF1+PF2=m+n=2a=8．

結合基本不等式有4m+nmn=4n+1m=184n+1m·m+n=185+4mn+nm185+24mn×nm=98，當且僅當4mn=nm，即m=83，n=163時取得等號．所以4m+nmn的最小值為98．故選A．

點評根據問題條件與應用場景，依托兩變量代數式的恒等變形與轉化，并通過橢圓的定義來合理配湊兩變量間的和為定值，進而通過代數式的變形與轉化，利用基本不等式來合理放縮與巧妙求解．借助基本不等式放縮求解橢圓中的最值問題時，關鍵在于對相應的代數式進行巧妙的恒等變形與合理配湊，同時還要保證等號成立時的條件是否存在，以確定基本不等式應用的準確性．

4．巧借三角函數

巧借三角函數思維，往往是基于問題場景，巧妙引入角參，進而將線段表示成相應的三角函數表達式，從而構建所求代數式的三角關系式，合理通過三角恒等變形與轉化，利用三角函數的有界性以及相關的性質來確定最值．

例4（2024年武漢市高三（上）期末統考試題）如圖4所示，橢圓C1：x2a12+y2b12=1（a1gt;b1gt;0）和C2：x2a22+y2b22=1（a2gt;b2gt;0）有相同的焦點F1，F2，對應的離心率分別為e1，e2，B為橢圓C1的上頂點，滿足F2P⊥F1P，F1，B，P三點共線且垂足P在橢圓C2上，則e1e2的最大值是．

解析依題，設∠PF1F2=α，α∈（0，π2），|F1F2|=2c，而F2P⊥F1P，又B為橢圓C1的上頂點，則有|PF1|+|PF2|=2c（cosα+sinα），且|BF1|=a1=ccosα．根據題設條件，所以e1e2=2c2a12c2a2=2a22a1=PF1+|PF2|2BF1=2c（cosα+sinα）2ccosα=（cosα+sinα）cosα=cos2α+sinαcosα=1+cos2α2+12sin2α=22sin（2α+π4）+12≤22+12=2+12，當且僅當2α+π4=π2，即α=π8時等號成立．所以e1e2的最大值是2+12．

點評抓住問題的條件利用直線間的位置關系，并通過平面三角形的幾何特征，巧妙結合三角函數的定義來轉化與應用，進而將問題轉化為相應的三角函數問題，利用三角函數的圖象與性質，結合有界性來合理放縮與轉化，實現最值（或取值范圍）問題的突破與求解．解決此類問題時，往往巧妙引入角參，為實現問題的三角函數化奠定基礎，進而綜合三角函數的圖象與性質來巧妙應用，特別是三角函數的有界性等來實現最值問題的求解.

小結涉及橢圓中的基本元素、關系式或代數式等的最值（或取值范圍）問題及其求解策略，也可以進一步類比到雙曲線或拋物線的應用場景中去．此類問題可以較好地將平面解析幾何知識與函數與方程、平面幾何、不等式等知識的融匯，實現問題的綜合性、創新性與應用性．特別是基于圓錐曲線中的應用場景，巧妙通過一些特殊、常見的思維視角來巧妙應用，或單一思維應用，或多種思維綜合，進而實現圓錐曲線中對應最值（或取值范圍）的求解與應用.