例析齊次化思想在解題中的應(yīng)用

摘要本文從幾道典型例題出發(fā)，詳細說明了通過構(gòu)造齊次式快速求解幾類問題的方法與技巧.

關(guān)鍵詞齊次式；齊次化思想

齊次是次數(shù)相等的意思，齊次式是各項次數(shù)相等的代數(shù)式，如a+b，a2+b2－ab，a－bab，aba2+b2．齊次化是將非齊次式轉(zhuǎn)化為齊次式的一種轉(zhuǎn)化方法，是一種降低解題維度和難度的計算技巧，是一種整體處理問題的解題策略.對于一些不等式、分式代數(shù)式和函數(shù)與方程，采用齊次化思想，將非齊次式轉(zhuǎn)化為齊次式，為進一步恒等變形與轉(zhuǎn)化提供了更加廣闊的空間.齊次化在高中數(shù)學(xué)多個模塊具有重要作用，如三角函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)、解析幾何等.本文從不同角度舉例說明，巧妙轉(zhuǎn)化條件，建立相關(guān)模型，破解繁瑣運算，旨在開拓數(shù)學(xué)解題思維.

例1已知tanα=2，求3sin2α－cosαsinα+2的值.

解 3sin2α－cosαsinα+2=3sin2α－cosαsinαsin2α+cos2α+2=3tan2α－tanαtan2α+1+2=4.

評注"很多學(xué)生利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系直接求出sinα和cosα，需要分類討論，非常麻煩.筆者利用三角恒等式sin2α+cos2α=1，妙用1構(gòu)造齊次式，分子分母同除以cos2α，實現(xiàn)弦化切，化繁為簡.

例2已知正實數(shù)a、b滿足a+b=2，求1a+1ab的最小值．

解 1a+1ab=a+b2a+a+b24ab=12+b2a+a4b+12+b4a=1+3b4a+a4b≥1+32，當且僅當a=3b時，1a+1ab取最小值1+32．

評注本題通過常值替換，構(gòu)造齊次分式，將分子1巧妙轉(zhuǎn)化為12a+b與14a+b2，再利用基本不等式求最值．

例3已知x，y∈R且x2+y2－xy=1，求x2+y2的取值范圍．

解當y=0時，x2=1，x2+y2=1；當y≠0時，令t=xy∈R，則x2+y2=x2+y2x2+y2－xy=t2+1t2+1－t=1+1t+1t－1∈23，1∪1，2.綜上所述，x2+y2的取值范圍為23，2．

評注本題通過妙用1構(gòu)造分式．通過齊次化，將代數(shù)式的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)取值范圍，從而實現(xiàn)不等式與函數(shù)、方程的無縫切換．函數(shù)、方程、不等式這種三位一體的思想，是非常重要的．

例4已知函數(shù)fx=x2－2xlnx，若0lt;x1lt;1lt;x2且f′x1=f′x2，求證x1+x2gt;2．

證明f′x=2x－2－2lnx，故2x1－2－2lnx1=2x2－2－2lnx2x2－x1lnx2－lnx1=1，故要證x1+x2gt;2，只需證2·x2－x1lnx2－lnx1lt;x1+x2，等價于lnx2－lnx1gt;2·x2－x1x1+x2，lnx2x1gt;2·x2x1－1x2x1+1．

令hx=lnx－2·x－1x+1xgt;1，則h′x=1x－4x+12=x－12x+12gt;0，故hx為增函數(shù)，xgt;1h（x）gt;h（1）=0，而x2x1gt;1，hx2x1gt;0lnx2x1gt;2·x2x1－1x2x1+1，故原不等式得證．

評注本題證明的關(guān)鍵是構(gòu)造齊次化，本質(zhì)上是把x2x1看成了一個整體，將所要證的不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，從而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，達到解決問題的目的．

例5 （2023年高考數(shù)學(xué)理科全國乙卷第20題）已圖1知橢圓C：y2a2+x2b2=1（agt;bgt;0）的離心率是53，點A－2，0在C上．（1）求C的方程；（2）過點－2，3的直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：線段MN的中點為

定點．

解（1）易得C的方程為y29+x24=1．

（2）設(shè)M0，t1，N0，t2，如圖1，將C按向量AO=2，0平移得新的橢圓方程C′：y29+x－224=1，化簡得4y2－36x+9x2=0，平移后的直線P′Q′過點0，2，設(shè)其方程為mx+13y=1，齊次化處理得4y2－36x（mx+13y）+9x2=0， 故4yx2－12yx+9－36m=0，得kA′M′+kA′N′=kAM+kAN=3=t1+t22，故線段MN的中點是定點0，3．

評注常規(guī)思路即設(shè)直線方程，聯(lián)立圓錐曲線得到方程組，結(jié)合韋達定理，逐步求解出答案，運算量較大，演算過程很容易出錯．解法中在進行齊次化前，對坐標軸或曲線圖像進行平移，目的是使某個點經(jīng)過平移后，其坐標變?yōu)樵c，由于平移變換不改變直線的斜率，可以避免相對復(fù)雜的斜率構(gòu)造的計算．

通過上述實例可見，掌握齊次化思想，可以使學(xué)生拓寬視野，發(fā)散思維，化陌生問題為熟悉的數(shù)學(xué)模型，減少繁瑣計算．對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高，有很大的幫助．

參考文獻

［1］劉小樹.應(yīng)用齊次化解決解析幾何中定點定值問題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2024 （1）：78-80.

基金項目：江西省基礎(chǔ)教育研究課題：“三新”背景下高中數(shù)學(xué)探究活動課程設(shè)計及實踐研究——以北師大版（2019）為例（課題編號：JASX2024-0558）