數學教育最重要的一些理念(續)

【摘要】這是數學教育最重要的一些理念：（1）“問題解決”及其超越；（2）“為學生的思維發展而教”；（3）多元的視角與“雙主體”的教學思想；（4）數學教學的關鍵；（5）“突出基本問題，堅持辯證立場”；（6）“立足專業成長”.相關論述就集中于這些方面認識的最新發展.

【關鍵詞】數學教育;重要理念;現代發展

（接2025年第一期第4頁）

4數學教學的關鍵

如果說學生思維的發展性質與層次性質即可被看成數學學習最重要的特征，那么，就數學教學而言，我們就應清楚認識它的復雜性與創造性.當然，這也可被看成這方面的一個基本事實，即是教學活動具有一定的規律，我們并應將對于教學規律的深入認識看成教師專業成長十分重要的一個涵義，還包括這樣一個更高的要求：“教學有法，貴在創新.”

正因為此，我們就應十分重視教學方法的學習和研究，包括明確肯定數學教學方法的多樣性，這也就是指，相對于唯一地強調某些教學方法或教學模式，我們應當更加重視如何能夠針對實際情況與教師的個性特征創造性地加以應用，既應很好發揮它們各自的優點，同時又能通過必要的互補與整體避免與克服可能的局限性.再者，我們還應努力做好“化多為少，化復雜為簡單”，也即進一步揭示什么是做好數學教學的關鍵.因為，正如華羅庚先生的以下論述所清楚表明的，除去“由少到多，由簡單到復雜”，這也是任何較深入的認識都必須經歷的一個過程，盡管他所使用的詞語略有不同：“‘由薄到厚’是學習、接受的過程，‘由厚到薄’是消化、提煉的過程”“經過‘由薄到厚’和‘由厚到薄’的過程，對所學的東西做到懂，徹底懂，經過消化的懂，我們的基礎就算是真正打好了.”[12]

那么，究竟何者可以被看成我們做好數學教學的關鍵？除去已提到的“教師的必要示范”，特別是我們即應用思維方法的分析帶動具體知識內容的教學這樣一點以外，我們還應努力做出這樣幾項工作：

第一，“問題引領”.具體地說，這即就為數學教學應當如何很好地落實“雙主體”這一重要思想指明了基本路徑：教師如何能夠針對具體教學內容提出適當的問題引導學生積極進行思考和探究，就集中體現了其在教學過程中的主導作用；要求學生圍繞問題積極進行思考和探究，而不是被動地接受各種現成的結論，則就體現了學生在學習過程中的主體地位.

以下即是做好這一方面工作最重要的幾個環節：（1）“核心問題”的提煉與加工；（2）很好發揮教師的引領作用，特別是，我們應通過“問題串”的設計和應用引導學生更深入地進行思考；（3）我們并應努力提升學生提出問題的能力.

這方面工作還應特別重視以下一些問題，建議讀者可圍繞這些問題并密切聯系自己的教學實踐積極地去開展教學研究：我們在教學中應當如何很好地處理“核心問題”與“問題串”、“生問”與“師問”、“情境設置”與“問題引領”之間的關系？

由于相關研究也可被看成很好地體現了這樣一個思想，即是我們應將具體數學知識的教學與努力提升學生提出問題的能力（更一般地說，就是思維能力）很好地結合起來.筆者以為，這與國外的“數學問題提出教學”相比就可說達到了更高的水準.

第二，“整體性觀念的指導”.強調整體性觀念的指導，主要是因為我們的教學是一節課一節課地進行的，但數學學習顯然不應被等同于各種具體數學知識和技能的簡單累積（這正是“碎片化教學”的主要特征），而應超越細節建構起整體性的認識，包括很好地把握知識的整體結構.

與“問題引領”的研究相類似，廣大一線教師也可被看成在這一方面發揮了重要的作用，包括提出了不少原創性的思想.例如，由著名特級教師俞正強老師的以下論述我們就可清楚地認識“整體性觀念引領”的主要涵義：“以發展代替重復，用深刻促成簡約”[13].這也就是說，我們應當跳出細節（即每一節課的具體內容），并從更大的范圍進行分析思考，從而很好地弄清什么是重要的和不那么重要的，并在教學中切實地做好“分清主次，突出重點，以主帶次”；其次，我們又應幫助學生由局部性認識過渡到整體性、結構性認識，包括在思想方法與情感、態度和價值觀的培養等方面也有一定的收獲.

當然，在這方面也有不少問題需要我們密切聯系教學實踐深入地開展研究，即如我們應當如何認識“整體性教學”與“結構性教學”之間的關系，什么又可被看成“課程內容結構化”的主要涵義，特別是，我們即應特別重視不同內容的一致性與整體性，還是應當更加重視學生認識發展的層次性質？

第三，正如前面所提及的，就當前而言，我們又應特別重視通過“深度教學”很好地落實努力提升學生的核心素養這一教育的整體性目標，特別是努力提升學生的思維品質.

從這一角度我們并可更好理解筆者的這樣一個建議：“基礎知識的教學，不應求全，而應求聯；基本技能的教學，不應求全，而應求變.”[14]當然，就當前而言，我們又應依據“素養導向”對此做出新的解讀，也即應當在以下方面做出自覺的努力：（1）“聯系的觀點”與思維的深刻性；（2）“變化的思想”與思維的靈活性.顯然，從后一角度我們也可更好理解“變式理論”對于數學教學的特殊重要性.

除此以外，我們還應清楚認識培養學生長時間思考的習慣和能力的重要性.這也就是指，數學教學不應一味地求快，而應適當地放慢節奏，從而為學生的深入思考提供足夠的時間和空間，或者說，即是應當更加重視求“深”求“優”，我們還應努力提升學生在這一方面的自覺性，特別是，即能清楚認識“總結、反思與再認識”對于數學學習的特殊重要性.（詳可見文[15]）由此可見，這也應當被看成我們在當前的又一工作重點：（3）“再認識”與思維的自覺性.

應當再次強調的是，上述工作具有超出數學學習的普遍意義，特別是，正如以下論述所清楚表明的，我們如何即能培養出符合新的時代要求的合格公民.

“隨著流動的速度加快，它會漸漸掏空過去給我們帶來安全和財富的存量知識.”“你在學校里學到的那些知識，可能你還沒有出學校的大門，就已經變得過時了.”因此，我們就應牢固樹立終身學習的思想，并應努力提高自身在這一方面的能力：“你必須知道更多，你必須更加頻繁地更新知識，你必須運用知識做更多創造性的工作，而不僅僅是完成常規工作.”又，“世界變化得越快……對我們生活方方面面改變得越多，每個人就越需要放慢速度……當你按下一臺機器的暫停鍵時，它就停止運轉了.但是，當一個人給自己暫停一下的時候，他就重新開始了.你開始反思，你開始重新思考你的假設前提，你開始以一種新的角度重新設想什么是可能做到的，而且，最重要的是，你內心開始與你內心深處最堅定的信仰重新建立聯系……”（文[16]）

5突出基本問題，堅持辯證立場

上面我們已經多次提到了新一輪數學課程改革.由于這正是我國教育領域在過去20多年中最重要的事件，而且，在筆者看來，《課程標準》的多次修訂也就意味著“課程改革的常態化”，從而也就清楚地表明了對這方面已有工作做出全面總結反思的重要性，從而即可更好地吸取有益的啟示與教訓.

更一般地說，這事實上也可被看成國際上數學教育改革的一個常態，即就總體而言可以經常看到所謂的“鐘擺現象”，也即似乎每隔10年左右就會出現一次反復，從而自然就使人產出了這樣的困惑，即我們是否可以將此看成一線教師的鐵定命運：“期盼、失落、沖突、化解和再上路……”“當然我們可以抱怨，這些問題何以反復的出現……”進而，又如相關作者在同一文章中所指出的：“我們也可以反過來看，教育本身就是一種感染和潛移默化，如果明白這一點，也許我們走了半個世紀的溫溫數改路，一點也沒有白費，業界就正要這種煉歷，一次又一次的反思、深化、在深層中成長……問題就是有否吸取歷史教訓，避免重蹈覆轍.”[17]

具體地說，正是針對我國新一輪數學課程改革曾經歷的“停滯”與“再出發”這樣的現象，筆者認為，我們作為一線教師在任何情況下都應堅持這樣一個立場，即是立足自身的專業成長：“對于改革不改革我們顯然做不了主，課改的大方針我們也做不了主，但有的事情我們還是可以做主的，就是不管改與不改，我們總得關注自己的專業成長，因為，教學最終要靠老師去完成，從而，如果我們始終停留于很低的水平，教育就永遠上不去；如果離開了教師的專業成長，課程改革也成功不了，這也就如人們所經常提到的，‘課程改革成在教師、敗也在教師.’”[18]

進而，由于這也是這方面十分常見的一個現象，即是一講改革就否定一切，似乎每次都要從頭開始，但卻看不到真正的進步，乃至不斷重復過去的錯誤，因此，我們又應很好地堅持這樣一個立場，即是突出基本問題，而不要盲目地去追隨潮流，乃至完全陷入了“形式主義”的誤區，即如就以教師是否采取了某些特定的教學方法作為判斷其是否具有改革意識的主要標志.

在筆者看來，這并可被看成數學教育相對于數學，包括一般自然科學研究的一個重要區別：如果說這正是后一方面工作取得進步的重要標志，即是問題，特別是重大問題的提出與解決，那么，數學教育的基本問題就可說具有更大的穩定性與持久性，盡管相關認識也有一個不斷發展與深化的過程.

在筆者看來，以下就是數學教育最基本的4個問題：

（1）應當如何認識數學教育的主要目標，特別是，作為整體教育的有機組成成分，我們應當如何處理“大教育”與數學教育之間的關系？

（2）什么是數學學習與數學教學活動的基本性質與主要特征，它們相對于一般的學習和教學活動又有怎樣的特殊性？

（3）教學方法與教學模式是否有“好壞”的區分，在這方面是否有徹底改革的必要？什么是做好數學教學的關鍵？我們又應努力創建一種什么樣的“數學課堂文化”和“數學學習共同體”？

（4）什么是數學教師最重要的專業能力？我們又如何能夠更有效地實現自身的專業成長？

顯然，先前的分析即可被看成從不同角度為這些問題提供了具體解答.在此筆者愿特別強調這樣一點：這些論述就整體而言并就清楚地表明了堅持辯證思維指導作用的重要性，特別是，我們即應很好地去處理以下一些關系，從而切實地防止與糾正各種可能的片面性認識：“知識與技能”與“思維方法”的學習，“大教育”與數學教育，“多（復雜）”與“少（簡單）”等.建議讀者也可從更廣泛的角度對此做出自己的分析概括.（見文[19]）

應當提及的是，對于對立面適度平衡的高度重視并可被看成中國數學教學傳統最重要的一個特征（詳可見文[20]），而且，這也可被看成過去這些年的課改實踐所給予我們的一個重要教訓，即是只有很好發揮辯證思維的指導作用我們才能有效地防止由于指導思想的片面性而給教育事業造成嚴重的損失，即如將東西方的數學教育歸結成了簡單的兩極，并認為我們就應以西方為范例從事數學教育改革，對自己的傳統卻采取了完全否定的立場.（文[21].這方面的更多實例并可見文[22]）

在筆者看來，相關工作并可被看成中國數學教育工作者對于數學教育這一人類共同事業的重要貢獻.具體地說，正如澳大利亞學者克拉克所指出的，以下的“兩極對立”即可被看成西方、乃至國際數學教育界最基本的一些理論前提，更就構成了“現代教育改革的關鍵因素”：教與學，抽象與情景化，教師中心與學生中心，講（授）與完全不講（To Tell or Not to Tell），等等.但這事實上只是對于數學教育工作者的一種束縛，所說的“兩極對立”更可說是一種虛假的選擇；又由于這正是中國數學教育傳統的一個重要特征，即是特別重視對立面的互補與整合，如“教師權威”與“學生中心”的結合等，因此，西方就應努力改變“兩極對立”這一傳統的思維方式，并從這一角度對于數學教育（乃至一般教育）最基本的一些理論前提做出認真反思與必要批判，這并可被看成成功創建新的整合性理論與教學實踐的實際開端.

當然，這里所說的基本立場事實上又不只適用于課程改革，對于數學教育的理論研究，包括“數學教育學的當代重建”也是同樣有效的.又由于這正是數學教育文化研究的一個重要結論：“由于教學是一個深深地嵌入于整體性文化環境之中的系統，任何變化必定是小步驟的，而不可能是急劇的跳躍.”因此，我們又應特別重視小的改變的積累；但是，這顯然又可被看成這方面的一個明顯事實，即是只有具有共同的聚集點，所說的細小變化才可能最終促成所希望的根本性變革.

6立足專業成長

上面已經提到了“立足專業成長”的重要性.以下再對一線教師如何能夠更有效地實現專業成長指明一些特別重要的方面：

第一，牢記教師工作的兩個“大道理”.

（1）作為一線教師，我們所做的一切從表面上看似乎都可說是些小事，但這恰又應被看成教師工作最基本的要求：我們既應立足日常工作，認認真真地做好每一件事，也應有寬闊的視野，更高的追求，從而就能切實地做好“以大馭小，小中見大”，包括通過這一途徑真正地活出滋味，活出精彩.

例如，這顯然就可被看成以下論述的核心所在：“這些都是小事，在這些小事上我們的思考、我們的做法，就是我們對于‘基礎教育的價值在于為學生一生的發展和幸福奠定基礎’的理解和詮釋.”“所謂眼中有人，就是把每一件小事做出教育的味道，用科學、理性的觀念思考我們的工作，讓教師的發展真正體現在能智慧地為學生服務的過程中，讓學生的發展真正體現為在教師的悉心關注與指導下慢慢長大，把學生潛在的發展變成真實的發展.”“我們的日常生活之所以有味道，是因為我們覺得它有味道.在別人看來，不就是那些事嗎？我們把它品著品著，可能味道就出來了.”（徐宏麗語）

簡言之，教師必須有愛心，而且，與一般的“愛”不同，這又應是一種“大愛”，即是應當為學生的未來著想，為所有學生的未來著想.

就當前而言，我們還應特別強調這樣一點：決不應以“善”的名義行“惡”.例如，以下的現象就應引起我們的高度重視，即隨著中考分流的實施，初中教師的情況可以說發生了很大的變化：說得輕一點，我們在很多情況下似乎都只能看到責任心，卻看不到對學生的愛；說得重一點，有些人的面目現已變得十分可憎，即是師德的喪失，人性的扭曲.

與此相對照，這即是教師的應有境界：“教孩子三年，就要考慮孩子30年的成長與發展.”（陳立軍語）“教師可以將自己的課堂變得‘很大’！”（陳鐵梅語）

（2）教育不只是對學生的塑造，也是教師不斷重塑自我的一個過程，這更可被看成教師工作的最大優點：“太陽每天都是新的！”

顯然，這也更清楚地表明了切實做好專業成長的重要性.

第二，以下一些工作也可被看成對于教師的專業成長具有特別的重要性：

（1）努力提升自己的基本能力.具體地說，我們不僅應當很好掌握以下三項“基本功”：善于舉例，善于提問，善于比較與優化[23]；而且還能依據認識的發展對自己提出新的更高要求：善于用“聯系的觀點”分析問題和解決問題，善于交流與互動.

（2）更好處理理論與實際工作之間的關系.具體地說，作為實際工作者，我們即應徹底糾正“理論至上”這一傳統的認識，并應很好地堅持“實踐第一”這樣一個立場.

這并可被看成這方面的一個具體要求，即是我們應當努力做好“理論的實踐性解讀”與“教學實踐的理論性反思（總結）”.

前者即是指，我們不應盲目地去追隨任何一種理論，而應始終堅持自己的獨立思考，特別是，即應圍繞以下三個問題深入地進行分析思考：這一理論的實質是什么？這一理論對于我們改進教學有哪些新的啟示和意義？這一理論又有什么局限性或不足之處？

進而，相對于簡單地去提倡某一（些）理論，我們又應更加重視多元的視角，也即應當學會從多個不同的角度進行分析思考，從而更有效地實現認識的發展和深化.這也就如以色列著名數學教育家斯法德所指出的：“當一個理論轉換成教學上的規定，唯我獨尊就會成為成功的最大敵人.教育實踐有一個過分的偏好，希望得到極端的、普適的秘訣.……理論上的惟我獨尊和對教學的簡單思維，肯定會把哪怕是最好的教育理念搞糟”；與此相對照，“當兩個隱喻相互競爭并不斷相映證可能的缺陷，這樣就更有可能為學習者和教師提供更自由的和堅實的效果.”[24]

其次，作為實際工作者，我們又不僅應當十分重視理論的學習和應用，也應高度重視提升自身的“實踐性智慧”，也即應當通過總結反思努力提升自己實際工作的能力；更重要的是，我們還應清楚認識由實際經驗上升到普遍性理論的重要性.

由于這正是“實踐性智慧”的主要特征，即是“借助案例進行思考”，因此，我們在此就可借助美國著名教育家舒爾曼關于案例研究的分析對此做出具體的說明.

具體地說，按照舒爾曼的分析，為了切實避免以下的現象，即是“二十年的經驗”只是“二十遍一年的經驗”，我們即應努力做好案例分析，但這又直接涉及到了理論與實踐之間的關系：“案例的組織與運用要深刻地、自覺地帶有理論色彩.”“沒有理論理解，就沒有真正的案例知識.”“這種理論原理和實踐敘事、普遍性和偶然性的聯系就形成了專業知識.”[25]

也正因此，相對于對于“實踐性智慧”的簡單強調，我們就應更加重視“教學實踐的理論性反思（總結）”，也即應當努力做好用具體的例子說出普遍性的道理，或者更簡單地說，即是應當努力做好“小中見大”.

就理論研究者而言，上述分析顯然也就清楚地表明我們應當切實改變“高高在上”這樣一種傳統的姿態，并應深入教學一線去發現真正值得研究的問題，包括通過廣泛的教學實踐對理論的真理性做出必要的檢驗，以及如何又能通過與一線教師的密切合作促進研究工作的深入發展.應當提及的是，這事實上也正是國際上的主流發展趨勢：“就研究工作而言，僅僅在一些年前仍然充滿著居高臨下這樣一種基調，但現在已經發生了根本性的變化，即已轉變成了對于教師的平等性立場這樣一種自覺的定位.當前研究者常常強調他們的研究是與教師一起做出的、而不是關于教師的研究，強調走進教室傾聽教師并與教師一起思考、而不是告訴教師去做什么，強調支持教師與學習者發展自己的能力、而不是力圖去改變他們.”[26]

（3）這不僅可以被看成“以大馭小，小中見大”這一思想的具體體現，更具體地指明了教師專業成長的基本路徑：“一個教師的真正成長，一定是其思想精神的自覺、自主、與自得的成長.這種成長又總是從職業起步，逐步走向教育視域里的學生，走向哲學意義上的人生.”[27]在筆者看來，這也就清楚地表明了“大道歸一”這一普遍性的真道.

進而，依據上述分析我們還可對數學教師的專業成長區分出以下三個不同的層次：如果你的教學僅僅停留于知識和技能的傳授，就只能說是一個“教師匠”；如果你的教學能夠很好體現數學的思維，就可說是一個“智者”，因為，你能給人一定的智慧；如果你的教學能給學生無形的文化熏陶，特別是很好地領悟到人格的魅力與理性的力量，那么，即使你只是一個普通的中小學教師，并身處偏僻的山區或邊遠地區，你也是真正的大師，你的人生也將因此散發出真正的光芒！

最后，筆者以為，這也可被看成“大師”的一個重要表現，即是“平常心”的回歸，特別是，不同于“人人都能得高分”這樣的承諾，我們應當更加重視如下的人生追求：“我當老師，是想讓一些人有所改變”，也即應當努力“找到美好的、值得追求的東西，然后用這樣的東西去影響人，改變人，使人變得美好.”[28]

7結語

盡管上面的論述已涉及到了數學教育的多個方面，但仍不應被看成已經包含了所有重要的方面.例如，這就應被看成又一重要的工作，即是“中國數學教育教學傳統的界定與發展”：這不僅應當被看成成功實施數學課程改革的一個重要前提，也直接關系到了我們如何能在教學工作中表現出更大的自覺性，因為，無論自覺與否，我們都生活在一定的傳統之中，并且主要地是按照相關傳統從事自己的教學工作的.再者，盡管上面的論述已從多個不同角度表明了從文化的視角進行分析思考的重要性，這方面的研究仍可說包含有更多的內容，特別是，即是我們應對所謂的“宏觀文化研究”與微觀意義上的“課堂文化研究”做出進一步的梳理和綜合分析.最后，從研究的角度看，這無疑也應被看成十分重要的一項工作，即是“中國數學教育的本土特色與國際化發展”.

再者，就已談及的各個論題而言，相關論述當然也未必完全恰當，因此，就十分希望所有相關人士、包括廣大一線教師都能在這方面做出自己的分析總結，并能通過充分交流與有效合作促進這方面認識的發展與深化.

參考文獻

[1]波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2019.

[2]A. Schoenfeld. Mathematical Problem Solving[M].New York：Academic Press，1985.

[3]鄭毓信.問題解決與數學教育[M].南京：江蘇教育出版社，1999.

[4]鄭毓信.鄭毓信數學教育文選[M].上海：華東師范大學出版社，2021：80-87.

[5]鄭毓信.數學方法論[M].桂林：廣西教育出版社， 1981.

[6]曹才翰，蔡金法.數學教育學概論[M].南京：江蘇教育出版社，1989.

[7]波利亞.數學的發現[M].呼和浩特：內蒙古人民出版社，1981.

[8]鄭毓信.數學深度教學的理論與實踐[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020.

[9]鄭毓信.數學教師應有的“文化擔當”[J].湖南教育， 2019（1）：22-24.

[10]M. Niss.Key Issues and Trends in Research on Mathematical Education[C]//Abstracts of Plenary Lectures and Regular Lectures ： ICME 9， the 9th International Congress on Mathematical Education， July 31-August 6， 2000， Tokyo， Makuhari， Japan..

[11]鄭毓信，張曉貴.學習共同體與課堂中的權力關系[J]，全球教育展望，2006（3）：75-80.

[12]中國民主同盟中央委員會宣傳部.華羅庚詩文選[M].北京：中國文史出版社，1986：186-187.

[13]俞正強.種子課：一個數學特級教師的思與行[M].北京：教育科學出版社，2013.

[14]鄭毓信，謝明初.“雙基”與“雙基教學”：認知的觀點[J].中學數學教學參考，2004（6）：1-5.

[15]鄭毓信.數學學習中的“再認識”[J].小學數學教師， 2023（1）：4-10.

[16]弗里德曼.謝謝你遲到：以慢制勝，破題未來格局[M].長沙：湖南科學技術出版社，2018.

[17]鄧國俊，黃毅英，等.香港近半世紀漫漫“小學數改路”[M].香港：香港數學教育學會，2006.

[18]鄭毓信.立足專業成長，關注基本問題[J].小學數學（人教社），2010（3），4-7.

[19]鄭毓信.數學教育與辯證思維[J].數學教育學報，2023 （2）：1-4.

[20]鄭毓信.文化視角下的中國數學教育[J].課程·教材·教法，2002（10）：44-50.

[21]鄭毓信.關于數學課程改革的若干深層次思考[J].中學數學教學參考，2006（9）：1-4.

[22]鄭毓信.數學教育改革15誡[J].數學教育學報，2014 （3）：1-7.

[23]鄭毓信.數學教師的三項“基本功”[J].人民教育，2008（18）：42-44.

[24]A. Sfard.What can be more practical than good research？：On the relations between Research and Practice of Mathematics Education[J].Educational Studies in Mathemat ics，2005（3）：10-11.

[25]舒爾曼.實踐智慧：論教學、學習與學會教學[M].華東師范大學出版社，2014：142-144，385.

[26]A. Sfard.On two metaphors for learning and the dangers of choosing just one[J].Educational Researcher，1998，27（2）：4-13.

[27]袁炳飛.一個值得解讀的專業成長范例[J].小學教學， 2015（2）：46-48.

[28]陳大衛.觀課議課的“以人為本”[J].教育研究與評論（課堂觀察版），2021（6）：4-6.

作者簡介鄭毓信（1944—），男，浙江鎮海人； 南京大學哲學系教授，博士生導師，江蘇省文史研究館館員，享受國務院特殊津貼專家;曾多次赴英、美等國與我國港臺地區作長期學術訪問或合作研究，并先后赴意大利、荷蘭、德國等國多所著名大學作專題學術講演;長期從事數學哲學、科學哲學、數學教育與科學教育的專門研究和教學工作，在這些領域有較大影響;已出版專著35部，在國內外學術刊物上發表論文近500篇.