2025年高考“立體幾何”復(fù)習(xí)指導(dǎo)與命題預(yù)測

【摘要】給出2024年高考試題的命題特點(diǎn)和規(guī)律，結(jié)合近幾年各地相關(guān)經(jīng)典模擬試題的改編題和自編題，給出2025年高考立體幾何客觀試題和主觀解答題兩類題型的6個重點(diǎn)提醒，探尋高考命題的規(guī)律與趨勢．

【關(guān)鍵詞】立體幾何；復(fù)習(xí)指導(dǎo)；命題預(yù)測

立體幾何的研究對象是現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小和位置關(guān)系，是高中教學(xué)和高考的重要內(nèi)容之一，包含立體幾何初步和空間向量兩部分.近幾年來，高考立體幾何試題依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（下簡稱“新課標(biāo)”）強(qiáng)化對必備知識、關(guān)鍵能力、核心素養(yǎng)的考查.必備知識的考查主要體現(xiàn)：如，“空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征”考向方面，對簡單幾何體的表面積與體積的考查；“空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”考向方面，對空間中的點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷及證明；“空間向量與立體幾何”考向方面，對解決空間中的夾角與距離問題等的考查.關(guān)鍵能力的考查，主要體現(xiàn)：如，邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力等；核心素養(yǎng)的考查，主要體現(xiàn)：如，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等.下面，我們對2024年新高考全國數(shù)學(xué)Ⅰ卷、Ⅱ卷、全國數(shù)學(xué)甲卷（文理）及北京卷、上海卷（夏季高考）、天津卷等7套試題中立體幾何試題進(jìn)行分析，并對2025年高考立體幾何熱點(diǎn)問題進(jìn)行預(yù)測，供考前備考參考．

12024年立體幾何命題分析

2024年高考數(shù)學(xué)試卷包括新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷、全國甲卷（文、理科）、北京卷、上海卷和天津卷共7套.各套試題均面向全體考生，重視“四基”（基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想）．從試題數(shù)量看，甲卷（文理）及天津卷均為“兩小一大”，上海卷（夏季高考）無小題出現(xiàn)，其他卷均為“一小一大”，尤其新高考兩套全國卷2024年比2023年“二小一大”少一道小題；從命題形式來看，立體幾何題目包括單項(xiàng)選擇題、填空題和解答題，客觀小題主要在單選題和填空題出現(xiàn)，一道主觀解答題（除了天津三小問外，其他均2小問）；從立體幾何試題總分看，上海卷14分（約占全卷9.3%）、全國甲卷22分（約占全卷1467%），其他卷均20分（約占全卷13.3%）；試題的幾何體載體涉及廣泛，如圓（棱）柱、圓（棱）錐、圓（棱）臺等，少數(shù)涉及其他“非規(guī)正”的其他幾何體；試題難度整體上相對保持穩(wěn)定，難易適中．

其中，客觀小題仍然呈現(xiàn)一貫風(fēng)格，一般不給出圖形，（除天津卷2道單選題，一個無圖，一個有圖），需要考生自己通過對題設(shè)條件的閱讀和分析畫圖、析圖和用圖解題，注重考查考生作圖能力和空間想象能力，主要注重從幾何體的體積與側(cè)面積的計(jì)算、點(diǎn)線面位置關(guān)系判斷等知識點(diǎn)考查基礎(chǔ)落實(shí)情況．主觀解答題，都給出圖形，命題形式相對固定，多為2小問設(shè)計(jì)，既有證明題型（平行與垂直），又有計(jì)算題型（多為基于二面角的計(jì)算），主要還是基于向量法的求解思路，求解過程中關(guān)注平面幾何圖形及其關(guān)系的挖掘、論證，滲透線面平行、垂直的性質(zhì)定理和判定定理的考查，需要學(xué)生“庖丁解牛”，進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砗秃侠淼臄?shù)學(xué)運(yùn)算．一題多問給不同層次的學(xué)生提供了不同的發(fā)揮空間．

1.1新高考Ⅰ卷

2024年新高考Ⅰ卷立體幾何試題“一小一大”，總分值為20分.第5題，單選題5分，無圖，以圓柱、圓錐為載體，考查圓柱與圓錐幾何體側(cè)面積及圓錐體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.第17題，解答題15分，有圖，以四棱錐為載體，滲透線面垂直的判定與性質(zhì)，共兩小問：其中第一問證明題，考查線面平行的判定；第二問，條件呈現(xiàn)方式較常規(guī)方式而言逆向設(shè)計(jì)（與2023年新高考Ⅰ卷第18題第二問類似），已知二面角正弦值求線段長度，增加了一定計(jì)算量，屬于基礎(chǔ)題，突出向量法.

1.2新高考Ⅱ卷

2024年新高考Ⅱ卷立體幾何試題“一小一大”，總分值為20分.第7題，單選題5分，無圖，以正三棱臺為載體，主要考查正三棱臺幾何體體積及線面角的計(jì)算，重在條件的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題.第17題，解答題15分，有圖，以折疊問題為背景、五棱錐為載體，主要考查線線垂直、線面垂直的判定與性質(zhì)，共兩小問：其中第一問證明線線垂直；第二問，二面角相關(guān)計(jì)算（正弦值）問題，屬于基礎(chǔ)題，突出向量法.

1.3全國甲卷

2024年全國甲卷理科，立體幾何試題“兩小一大”，總分值為22分.第10題，單選題5分，無圖，以簡易邏輯推理題（真命題判斷）形式為載體，主要考查空間直線與直線、直線與平面之間的位置關(guān)系的判定（平行、垂直的判定及性質(zhì)）等，屬于基礎(chǔ)題.第14題，填空題5分，無圖，以圓臺為載體，主要考查圓臺的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.第19題，解答題12分，有圖，以五面體為載體，共兩小問：其中第一問證明線面平行；第二問，二面角相關(guān)計(jì)算（正弦值）問題，屬于基礎(chǔ)題，突出向量法.

2024年全國甲卷文科立體幾何試題，基本與理科試題一樣“兩小一大”，總分值為22分.第11題同甲卷理科第10題；第14題同甲卷理科第14題.第19題除了第（2）問外，均同甲卷理科第19題，第二問，計(jì)算“點(diǎn)面距”（主要運(yùn)用等體積法），屬于基礎(chǔ)題.

1.4北京卷

2024年北京卷立體幾何試題“一小一大”，總分值為20分.第14題，填空題5分，無圖，以數(shù)學(xué)文化為背景，以圓柱為載體，主要考查圓柱體積、等比數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)用等，屬于基礎(chǔ)題.第17題，解答題15分，有圖，以四棱錐為載體，主要考查線面平行、線面垂直的性質(zhì)，共兩小問：其中第一問證明線面平行；第二問，基于線面垂直，求兩個平面的夾角的余弦值，屬于基礎(chǔ)題，向量法和幾何綜合法均可，突出思維的靈活性考查.

1.5上海卷

2024年上海（夏季高考）卷立體幾何試題僅1道解答題，14分.有圖，以正四棱錐為載體，共兩小問：其中第一問求圓錐體積；第二問，求線面角的大小，屬于基礎(chǔ)題，向量法和幾何綜合法均可，突出思維的靈活性考查.

1.6天津卷

2024年天津卷立體幾何試題“兩小一大”，總分值為25分.第6題，單選題5分，無圖，以簡易邏輯推理題（真命題判斷）形式為載體，主要考查空間直線與直線、直線與平面之間的位置關(guān)系的判定（平行、垂直）等，屬于基礎(chǔ)題.第9題，單選題5分，有圖，以基于棱柱截去一部分形成的五面體為載體，主要考查幾何體的體積計(jì)算等，突出補(bǔ)形法求幾何體體積，屬于基礎(chǔ)題.第17題，解答題15分，有圖，以四棱柱為載體，主要考查線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)，共三小問：其中第一問證明線面平行；第二問，求兩個平面的夾角的余弦值；第三問，求點(diǎn)到平面的距離.三問都屬于基礎(chǔ)題.

22025年高考立體幾何預(yù)測

下面我們結(jié)合2024年高考試題的命題特點(diǎn)和規(guī)律，通過近幾年各地相關(guān)經(jīng)典模擬試題的改編題和自編題，給出2025年高考立體幾何客觀試題和主觀解答題兩類題型的6個重點(diǎn)提醒，探尋高考命題的規(guī)律與趨勢，以便一線教師更好地把握立體幾何復(fù)習(xí)的方向、突破高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，供考前備考參考．

2.1重視空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系三種語言的相互轉(zhuǎn)化

高考試題注重以空間中的直線、平面的位置關(guān)系為背景，從空間元素共面、直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系（垂直或平行等）出發(fā)，綜合考查立體幾何的基礎(chǔ)知識以及空間想象能力和邏輯推理能力.此類試題多源于教材，貼近高中課程標(biāo)準(zhǔn)要求，有一定的綜合性，可以多側(cè)面、多層次有效考查考生對相關(guān)知識的掌握程度及直觀想象和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).復(fù)習(xí)中，教師要強(qiáng)化相關(guān)知識的基礎(chǔ)性和綜合性，發(fā)展學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想和空間想象能力，強(qiáng)化學(xué)生三種語言間的相互轉(zhuǎn)化（自然語言、符號語言和圖形語言）：學(xué)生需要根據(jù)題目的條件，熟練地將符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言來解決問題；學(xué)生需要運(yùn)用數(shù)學(xué)作圖技能作出正方體等幾何直觀圖，以此為載體識圖、用圖，進(jìn)行選項(xiàng)排除，可降低空間想象難度.

2.2重視常見簡單幾何體的基本結(jié)論和基本運(yùn)算

空間中線與線、線與面的垂直、平行關(guān)系是立體幾何中重要的基礎(chǔ)性內(nèi)容，學(xué)生需要正確理解、熟練運(yùn)用這些基礎(chǔ)知識以解決相關(guān)問題.高考試題注重常見的簡單幾何體，如正棱錐、長方體、直棱柱、圓柱、正棱臺等，特別正三棱錐和正方體中常見的點(diǎn)線面位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系等基本結(jié)論，考生熟練掌握后有助于思路形成和快速作答.

對于判定或證明平行與垂直、計(jì)算角或距離等，在幾何法和向量法（基底法或坐標(biāo)法）中靈活選擇.

2.3重視以簡單幾何體或組合體為載體的體積、表面積、角、距離等運(yùn)算

高考試題面向全體學(xué)生，聚焦基本立體圖形，重視以簡單幾何體或簡單組合體為載體，考查球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計(jì)算公式，并用其解決簡單的實(shí)際問題，在空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力等方面對學(xué)生作了基礎(chǔ)性考查.教學(xué)中，要擯棄偏、難、怪題，學(xué)生要熟悉柱、錐、臺及簡單組合體的概念、結(jié)構(gòu)特征和基本性質(zhì)，會求柱、錐、臺和組合體的表面積和體積；會求異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角的大小或三角函數(shù)值；會求兩點(diǎn)間的距離（含多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上兩點(diǎn)間最短距離）、點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線與直線間的距離、直線與平面間的距離和平面與平面間的距離等[1]．

2.4重視空間向量在不同類型幾何體中的解答題規(guī)范性訓(xùn)練

立體幾何解答題一般一題兩問或者一題三問，分?jǐn)?shù)為12分、14分、15分（全國新高考卷一般為15分）．試題多考查考生對簡單幾何體的認(rèn)識，考查直線與直線、直線與平面和平面與平面的位置關(guān)系，考查二面角、空間直角坐標(biāo)系，考查考生的推理論證能力、空間想象能力和運(yùn)算求解能力，重點(diǎn)突出對基礎(chǔ)性和綜合性的考查.

教學(xué)中，教師要注意題目載體可以是常見的柱、錐、臺體和其組合體，也可以是不規(guī)則幾何體，所選試題要涉及空間概念和線線、線面、面面關(guān)系，貼近廣大學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，準(zhǔn)確把握相關(guān)幾何要素，把向量運(yùn)算、空間建系、二面角的平面角作圖等較好地融人試題問題中；給出多樣的信息含量，為學(xué)生分析問題和解決問題提供多種思路和方法：通過問題的分層設(shè)計(jì)，給不同基礎(chǔ)的學(xué)生提供想象的空間和多角度的思維平臺，給不同思維方式（建系思維與幾何思維）的學(xué)生都提供發(fā)揮的空間；解題過程要使用準(zhǔn)確的符號語言表達(dá)，說理時要寫全條件，證明分為計(jì)算證明和邏輯證明．在注重立體幾何基礎(chǔ)知識掌握的同時，著重發(fā)展學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化思想，注重空間想象能力、邏輯推理能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力的訓(xùn)練.

2.4.1以棱柱為載體的解答題圖6

2.4.2以棱錐為載體的解答題圖7

2.4.3以棱臺為載體的解答題

2.4.4以圓錐（或圓臺）為載體的解答題

2.4.5以不規(guī)則幾何體為載體的解答題

2.5重視動態(tài)幾何問題

2.5.1平面的平移運(yùn)動

2.5.2平面的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動

2.6重視立體幾何中數(shù)學(xué)建模和跨主題領(lǐng)域知識的綜合運(yùn)用

參考文獻(xiàn)

[1]劉才華.2024年高考“立體幾何”復(fù)習(xí)指導(dǎo)與命題預(yù)測[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2024（3）：53-59.

作者簡介吳光潮（1979—），中學(xué)高級教師;主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究．

鄧建書（1974—），中學(xué)正高級教師;主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究．