一道“新定義”距離問題的解法探究及背景分析

【摘要】從一道2025屆高三四川名校聯盟12月聯考的壓軸題出發，談這道“新定義”考題的背景“曼哈頓距離”問題的定義、幾何意義和常見性質，再分類展示“曼哈頓距離”在高考、模考試題中的應用，最后回到教材進行追本溯源，以期發揮典型考題的效果和效益.

【關鍵詞】背景分析；“曼哈頓距離”；破解策略；高考應用

1考題呈現

2考題背景探究

3解法探究

分析此題為一道新定義問題，處理的關鍵是要讀懂題目所給的曼哈頓距離的定義.對于（1），依據新定義，可以先給出兩種距離的表達式，再考慮用常見的基本不等式去解決，也可以利用曼哈頓距離的幾何意義快速得到答案；對于（2），同樣可以從代數法和幾何法兩種角度處理此題；第（3）小題是曼哈頓距離背景下的一道用導數求函數最值的問題，從幾何法的角度出發，須找到曼哈頓正方形與兩個函數圖象相切時的切點，則較容易獲解.三小題層層遞進，具備較好區分度，且內涵豐富，是一道值得探究的壓軸題.

評注對于曼哈頓距離的最值問題，既可以采用代數法中的分類討論及不等式放縮處理，也可用幾何法解決，而充分使用曼哈頓距離的幾何意義解題更為簡便、更為高效.這體現了數形結合思想在解題中的重要作用.

4“曼哈頓距離”在高考、模考中的考查

4.1“曼哈頓距離”和命題真假

4.2曼哈頓距離和點的軌跡

4.3曼哈頓距離的最值問題

5課本溯源

參考文獻

[1]王東海.深度探究善解題追根溯源探本質［J］.理科考試研究，2023（3）：28-31.

[2]王東海.一道聯考試題的解法探究、背景分析及拓展推廣［J］.數學通訊，2023（4）：41-44.

[3]王東海.多措并舉拓寬視野背景探究體現本質［J］.中學數學雜志，2024（9）：48-51.

作者簡介王東海（1974—），安徽省肥東縣人，中學一級教師，合肥市高中數學骨干教師;主要研究方向是高中數學解題教學和課堂教學的有效性;發表論文多篇.