一道強基復數(shù)試題的探究

摘要：復數(shù)作為高考數(shù)學與強基命題中的一個基本考點，往往難度中等偏下，而其涉及的基礎知識與基本技能是命題與考查的一個重要方向.結合一道復數(shù)強基題，挖掘問題的內(nèi)涵，從三角思維、不等式思維及幾何思維等不同形式切入，強化邏輯推理與數(shù)學運算能力，引領并指導數(shù)學教學與復習備考.

關鍵詞：復數(shù)；最小值；三角；不等式；幾何

涉及復數(shù)的基本運算、基本性質與模的綜合應用問題，是復數(shù)模塊知識考查的一個基本點，也是高考命題的一個基本方向.此類復數(shù)綜合應用問題，可以很好地交匯函數(shù)與方程、三角函數(shù)、不等式、平面幾何與平面解析幾何等相關知識，融合對應的數(shù)學思想方法，成為考查“雙基”的一個重要場所，同時能很好地考查復數(shù)的基本概念、基本運算與基本性質等，對復數(shù)知識提出更高的要求.

1 問題呈現(xiàn)

問題（2024年上海交通大學強基試題·7）已知復數(shù)z滿足|z|=1，則|z+iz+1|的最小值為.

此題與傳統(tǒng)的求解復數(shù)背景下|z－z0|的最值或取值范圍有一定的相似性，依托所求復數(shù)的模所對應的代數(shù)式的變形與轉化，以復雜且不易直接應用的形式出現(xiàn)，給問題的求解與應用帶來一定的障礙，也給問題的求解創(chuàng)造更多的思維方式.

對于求解|z+iz+1|的最值，可以從模的視角切入，利用復數(shù)的三角形式來設置與應用；也可以從所求的結果視角切入，利用含有絕對值的不等式的性質來放縮與轉化；還可以從所求式子的幾何意義切入，利用復數(shù)的代數(shù)運算與模的幾何意義來數(shù)形結合等.不同形式的思維，給問題的突破與求解創(chuàng)造更多的機會與應用.

2 問題破解

2.1 三角思維

解法1：利用三角形式.

依題，由于|z|=1，可設z=cos α+isin α，α∈[0，2π），

則有

|z+iz+1|

=|1+cos α－sin α+i（cos α+sin α）|

=（1+cos α－sin α）2+（cos α+sin α）2

=3+2cos α－2sin α

=3+22cosα+π4

≥3－22=2－1，

當且僅當cosα+π4=－1，即α=3π4，亦即z=－22+22i時，等號成立.

所以|z+iz+1|的最小值為2－1.

故填答案：2－1.

點評：這里基于已知條件中復數(shù)的模為1，巧妙借助復數(shù)的三角形式來設置，也是解決此類問題時比較常見的一種思維方法.與復數(shù)的三角形式對應的就是三角函數(shù)知識，借助三角函數(shù)的恒等變換（輔助角公式）及三角函數(shù)的圖象與性質加以合理放縮，是確定最值時的基本方向.復數(shù)的三角形式是基于復數(shù)的模與幅角的背景下比較常用的一種表達方式，在解決一些涉及復數(shù)的模或幅角問題時，經(jīng)常借助復數(shù)的三角形式來切入，有時會有奇效.

2.2 不等式思維

解法2：不等式性質法1.

由于|z|=1，

所以利用含有絕對值的不等式的性質與復數(shù)模的性質，可得|z+iz+1|=|z（1+i）+1|≥|z（1+i）|－1=|z||1+i|－1=2－1，當且僅當z（1+i）=－2，即z=－22+22i時，等號成立.

所以|z+iz+1|的最小值為2－1.

故填答案：2－1.

解法3：不等式性質法2.

由于|z|=1，則有|z|=1，z·z=|z|2=1.

由含有絕對值的不等式的性質，得|z+iz+1|=|z+iz+z·z|=|z||1+i+z|=|z+i+1|≥|i+1|－|z|=2－1，當且僅當z=－22（1+i），即z=－22+22i時，等號成立.

所以|z+iz+1|的最小值為2－1.

故填答案：2－1.

點評：這里基于所求復數(shù)模的最值，巧妙聯(lián)系并利用含有絕對值的不等式的性質|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|（這里a，b可是以實數(shù)，可以是復數(shù)，可以是向量等）加以放縮，實現(xiàn)問題的突破與求解.而在利用含有絕對值的不等式的性質進行放縮時，要合理通過關系式的恒等變換與轉化，或通過復數(shù)模的性質|z1·z2|=|z1||z2|加以變形，或合理借助共軛復數(shù)的基本性質z·z=|z|2對關系式進行恒等變形與轉化等，這是具體解決問題時合理切入與應用的關鍵所在.

2.3 幾何思維

解法4：利用幾何意義.

由于|z|=1，|z+iz+1|=|z（1+i）－（－1）|，設復數(shù)z（1+i）在復平面內(nèi)對應的點為A，－1對應的點為B（－1，0）.

易知|OA|=|z（1+i）|=|z|×

|1+i|=2，即點A在以原點O為圓心，半徑為2的圓上，如圖1所示.

而|z（1+i）－（－1）|=|AB|，數(shù)形結合可知|BM|≤|AB|≤|BN|，

即2－1≤|AB|≤2+1.

所以|z+iz+1|的最小值為2－1.

故填答案：2－1.

點評：這里基于所求復數(shù)模的形式，通過關系式的變形，利用復數(shù)代數(shù)運算與模的幾何意義，將問題轉化為復平面上兩點間的距離問題，通過定點的確定、動點的軌跡的應用，數(shù)形結合來確定復平面上兩點間的距離的取值范圍，實現(xiàn)問題的突破與求解.抓住復數(shù)代數(shù)運算的幾何意義，將兩復數(shù)差的模問題轉化為復平面上兩點間的距離問題，依托平面解析幾何的相關知識來轉化與應用，這也給問題的變式與拓展指明了方向.

3 變式拓展

3.1 類比拓展

根據(jù)以上強基問題及其解析，合理加以類比與深化，巧妙拓展，得到以下對應的變式問題.

變式1已知復數(shù)z滿足|z|=1，則|z+iz+1|的最大值為.

答案：2+1.

變式2已知復數(shù)z滿足|z|=1，則|z+iz+1|的取值范圍為.

答案：[2－1，2+1.

3.2 常態(tài)變式

回歸傳統(tǒng)的求解復數(shù)背景下|z－z0|的取值范圍或最值場景，以常規(guī)的方式來變式與應用，掌握基本類型與基本方法.

變式3已知復數(shù)z滿足|z|=1，則|z－3+4i|的取值范圍為.

解析：依題，由于|z|=1，利用含有絕對值的不等式的性質，可得4=5－1=|3－4i|－|z|≤|z－3+4i|=|z－（3－4i）|≤|z|+|3－4i|=1+5=6.

所以|z－3+4i|的取值范圍為[4，6.

故填答案：[4，6.

3.3 深入變式

基于問題的應用層面加以合理深化，巧妙融合復數(shù)中相關的基礎知識與基本技能，深化應用與變式拓展.

變式4（多選題）已知模長均為1的復數(shù)z1，z2滿足z1+z2=z1z2，則（）.

A.|z1+z2|=1

B.z1+z2=1

C.|z31+z32|=2

D.z31+z32=2

解析：對于選項A，利用復數(shù)的模的基本性質，可得|z1+z2|=|z1z2|=|z1||z2|=1，故選項A正確.

對于選項B，由z1·z1=|z1|2=1，可得1z1=z1，同理可得1z2=z2.

而由z1+z2=z1z2，可得1z1+1z2=1，則有z1+z2=1.利用復數(shù)的模的基本性質，可得z1+z2=1，所以z1+z2=1.故選項B正確.

對于選項C與D，由以上選項B中的分析，可得z1z2=z1+z2=1，則

z31+z32=（z1+z2）[（z1+z2）2－3z1z2=－2，

所以|z31+z32|=2，故選項C正確，選項D錯誤.

故選擇答案：ABC.

4 教學啟示

其實，復數(shù)模塊知識往往在各類試卷中以比較簡單的命題形式出現(xiàn)，主要考查復數(shù)的基本概念、基本運算與基本性質，以及與復數(shù)模相關的綜合應用問題等，給多種思維切入與應用創(chuàng)造條件.

而基于創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應用的滲透與養(yǎng)成，往往也在復數(shù)應用場景中，進行合理的類比、歸納、創(chuàng)新、應用等，融合函數(shù)與方程、不等式、三角函數(shù)等基本知識，實現(xiàn)數(shù)學知識的交匯與結合，有效檢測學生對知識理解與掌握的廣度和深度，挖掘學生的學習潛能，提高數(shù)學品質，提升數(shù)學能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識與數(shù)學核心素養(yǎng).