“一題多問”之圓錐常考問題剖析

從幾何體的分類角度看，圓錐屬于簡單旋轉體，將直角三角形繞著它的一條直角邊所在直線旋轉一周，即可得到圓錐.關于圓錐常考問題，本文中擬通過“一題多問”的方式加以具體剖析，旨在幫助學生理清常用解題思維方法，提高空間想象能力以及運算求解能力.

1 一題多問

（原創題）如圖1，已知圓錐的頂點為S，底面圓心為O，AB為底面圓的直徑，且圓錐的母線長l=3，底面圓的半徑r=1.

（1）求圓錐的體積、側面積和表面積；

（2）求過圓錐頂點的截面面積的最大值；

（3）求圓錐的內切球的表面積和體積；

（4）求圓錐的外接球的表面積和體積；

（5）若一個小蟲從點A開始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的靠近點S的三等分點，求小蟲爬行的最短距離；

（6）若一個正四面體在圓錐的內部可以隨意轉動，求該正四面體的棱長的最大值.

2 問題剖析

（1）分析：直接套用一般結論即可迅速求解圓錐的體積和面積問題.圓錐的體積公式V=13πr2h，側面面積S側=πrl，表面積S表=πr2+πrl.

解析：根據已知條件可得圓錐的體積V=13π×12×32－12=223π，側面積S側=π×1×3=3π，表面積S表=π×12+π×1×3=4π.

（2）分析：觀察圓錐（母線長為l）的軸截面三角形的頂角θ與90°之間的大小關系，再結合如下一般性規律即可順利獲解.若θ≤90°，則此時軸截面三角形的面積最大，且最大值為12l2sin θ；若θgt;90°，則當截面三角形的頂角為直角時，截面面積最大，且最大值為12l2.應注意的是，當θgt;90°時，并不是軸截面的面積最大.

解析：在Rt△ASO中，可得sin∠ASO=AOAS=rl=13lt;12，則∠ASOlt;30°，所以∠ASB=2∠ASOlt;60°.因此，易知軸截面的面積最大，從而求出△ABS的面積即可.

方法1：由sin∠ASO=13，得cos∠ASO=223，所以sin∠ASB=sin 2∠ASO

=2×13×223=429.

故S△ABS=12SA·SB·sin∠ASB=12×3×3×429=22.

方法2：因為易知SO⊥AB，且AB=2r=2，SO=SA2－AO2=32－12=22，所以△ABS的面積為12×2×22=22.

綜上可知，過圓錐頂點的軸截面的面積最大，最大值為22.

（3）分析：根據軸截面，借助有關平面幾何或三角函數知識，靈活求解圓錐的內切球的半徑是解題的關鍵.只要得到了內切球的半徑，那么內切球的表面積和體積套用公式即可.相關公式有S球面=4πR2，V球=43πR3.

解析：如圖2所示，先畫出軸截面，記內切球的球心為O′，則圓O′是△ABS的內切圓，其中兩點O，N都是切點.關于內切球半徑的求解，給出以下兩種方法.

方法1：由于易知Rt△SNO′∽Rt△SOA，所以NO′OA=SO′SA.設圓錐的內切球的半徑為R，則由圖可知NO′=R，SO′=SO－OO′=22－R.

又因為OA=1，SA=3，所以可得R1=22－R3，解得R=22.

方法2：設圓錐的內切球的半徑為R，則根據Rt△SNO′可得到sin∠NSO′=NO′SO′

=NO′SO－OO′=R22－R；根據Rt△SOA可得sin∠NSO′=AOSA=13.

所以R22－R=13，解得R=22.

故圓錐的內切球的表面積為S球面=4π×222=2π，體積為V球=43π×223=23π.

（4）分析：由于圓錐的外接球的球心必在圓錐的高線上，所以根據軸截面，利用直角三角形的三邊滿足勾股定理，可靈活構建關于外接球的半徑的方程，解之可求得外接球的半徑；最后利用公式即可得到圓錐的外接球的的表面積和體積.

解析：如圖3所示，先畫出軸截面，記外接球的球心為O′，則圓O′是△ABS的外接圓.

設圓錐的外接球的半徑為R.由圖知AO′=R，

OO′=SO－SO′=22－R，又因為AO=1，所以根據

Rt△AOO′，利用勾股定理可得到AO′2=AO2+OO′2，即R2=12+（22－R）2，解得R=928.

故所求圓錐的外接球的表面積為S球面=4π×9282=818π，體積為V球=43π×9283=243264π.

（5）分析：對于“沿著圓錐表面爬行一圈，求走過路程的最小值”類問題，具體求解的關鍵是借助圓錐的側面展開圖進行分析——先明確最小值情境是什么，再結合圖形運用解三角形知識求解即可.顯然，將立體幾何問題平面化，有利于直觀分析最小值情境，進而獲得目標問題的完美解答.

解析：設SA的靠近點S的三等分點為P，如圖4所示，先畫出圓錐的側面展開圖，則由圖易知小蟲走過的最短路程為線段AP，故即求線段AP的長度.

根據扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長可得，扇形的弧長為2π×1=2π.設∠ASP=θ，

根據弧長公式可得2π=SA·θ，即2π=3θ

，所以θ=2π3.

于是，在△APS中由余弦定理得AP2=SA2+SP2－2SA·SPcos θ，又SA=3，SP=1，所以

AP2=32+12－2×3×1×cos2π3=13，則AP=13.

故小蟲爬行的最短距離為13.

（6）分析：正四面體在圓錐的內部可以隨意轉動，等價于該正四面體的外接球在圓錐的內部可以隨意轉動，據此易知——正四面體的棱長最大，等價于該正四面體的外接球最大，而該外接球最大即為圓錐的內切球.因此，圓錐的內切球的半徑，即為最大值情境下該正四面體的外接球的半徑，再利用正四面體的外接球的半徑即可求得所求棱長的最大值.顯然，此類最大值問題對空間想象能力的考查較強，而處理的關鍵就是等價轉化.

關于正四面體，以下常用結論必須熟記：若正四面體的棱長為a，則該正四面體的表面積為3a2，高為63a，體積為212a3，外接球的半徑為64a，內切球的半徑為612a.

解析：根據對圓錐之一幾何體的思考，易知若一個正四面體在圓錐的內部可以隨意轉動，則該正四面體的棱長最大時，等價于該正四面體的外接球就是圓錐的內切球.

由于本題第（3）問已求得圓錐的內切球半徑為22，所以該正四面體的棱長最大時，該正四面體的外接球的半徑為22.

于是，設該正四面體的棱長的最大值為a，則有64a=22，解得a=233.

故所求該正四面體的棱長的最大值為233.

3 總結

總之，以圓錐為載體而設置的數學問題較多，可以與“球體”（涉及內切球、外接球）緊密聯系起來靈活設計問題，也可以與“最值”（涉及最大值、最小值）問題緊密聯系起來靈活設計問題.從解題運用的數學思想方法看，需要關注數形結合思想、等價轉化思想以及函數與方程思想在解題中的靈活、綜合運用.故關注圓錐常考問題，有利于鞏固所學知識與方法，有利于進一步培養學生在直觀想象、數學運算以及邏輯推理方面的核心素養.