基于區間Fisher最優分割法的汛期分期研究

摘要：汛限水位動態控制調度是有效地進行水資源管理的重要途徑，而科學的汛期分期是實現這一目標的關鍵。針對汛期分期中傳統的Fisher最優分割法分期指標不確定性及分期方案單一這兩點不足，提出區間Fisher最優分割法。該方法結合了分位數與區間數理論，利用分位數間距表示分期指標，改進傳統Fisher分期方法的不足；以金沙江石鼓水文站1982～2018年逐日日均徑流量數據為基礎，使用改進方法對其進行汛期劃分，并基于TOPSIS法將區間Fisher與傳統Fisher及集對分析法進行對比分析，評價其模型的分期性能。結果表明：在不同上分位數下的分期結果分別為，0.999 999上分位數主汛期為6月20日至9月22日、0.8上分位數主汛期為6月25日至9月27日、0.75上分位數主汛期為6月23日至10月4日、0.6上分位數主汛期為6月23日至10月5日，分期結果合理可信；同時TOPSIS法分析結果表明，區間Fisher分期方案與對比模型相比具有優越性。區間Fisher最優分割法提升了分期結果的可靠性且具有較高的靈活性與適用性，可為汛期分期研究提供合理的理論依據。

關 鍵 詞：汛期分期； 區間數； 區間Fisher最優分割法； TOPSIS法； 金沙江

中圖法分類號： TV697.1

文獻標志碼： A

DOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2025.02.012

0 引 言

隨著人類活動和氣候變化的強度不斷加強，洪澇災害與水資源缺乏的問題也越來越突出，已經成為影響中國經濟可持續發展的一個主要原因^［1］。傳統水庫在汛期的調度都依賴于單一汛限水位，這會造成大量的棄水，無法兼顧防洪和水資源利用^［2］。因此，大多數學者采用汛限水位動態控制的調度方法代替依賴單一汛限水位的調度方式。在汛限水位動態控制的調度方法中，科學的汛期分期是一項關鍵問題^［3］。

目前，汛期分期主要研究方法有定性分析法及定量分析法，定量分析法又具體分為統計分析法及聚類分析法兩類^［4］。在這些方法中都存在著各自的優缺點，定性分析方法依賴于大量的實際經驗和主觀判斷，分期精度較低；統計分析方法雖然理論上比較簡單，但在指標的選取上存在著較強的主觀性；聚類分析方法的物理和數學背景較強，理論依據較充分，分期成果的精度較高，但計算量大。聚類分析法包括模糊集合分析法^［5］、系統聚類法^［6］、變點分析法^［7］、灰色定權聚類法^［8］、分形法^［9］、集對分析法^［10］、Fisher最優分割法^［11］等。其中Fisher最優分割法是一種能對有序樣本進行分類的統計方法，它能夠在不改變樣本時序性的基礎上進行聚類劃分，最終確定最優分類數，其綜合性強，因而得到廣泛的應用^［12］。

然而，用Fisher最優分割法對汛期進行分期計算時，指標的不確定性會直接影響結果的準確性，目前傳統的Fisher最優分割法的分期指標為確切值，但是在實際中降水、地形、徑流等要素往往難以準確獲取，具有一定的誤差與不確定性，加之近年人為與氣候變遷等因素的影響，分期指標值具有很大的不確定性。在此基礎上，為進一步提高對洪水季節變化的認識與評價能力，給洪澇災害的預報與評價提供科學依據，同時實現水資源合理利用，本文結合分位數與區間數理論改進Fisher最優分割法，提出區間Fisher最優分割法，利用分位區間數表現汛期分期指標的不確定性，改進Fisher最優分割法分期方法的不足，并基于TOPSIS優選法將區間Fisher與傳統Fisher、集對分析法的分期結果進行比較分析，評價區間Fisher模型的優劣，以期為汛期分期研究提供支撐。

1 研究方法

1.1 Fisher最優分割法原理與步驟

Fisher最優分割法是一種聚類算法，專門用于對有序時間序列樣本進行分期。該方法的目標是使類內樣本差異最小而類間差異最大，實現這一目標的方式是通過最小化樣本總離差平方和^［13］。簡而言之，該方法尋求在保持類間差異性的同時，最小化類內不一致性^［14］。

具體到操作上，考慮n個有序樣本{x1，x2，…，xn}，將這些樣本分割成k個連續段，用B（n，k）表示劃分目標函數，在所有可能的分割方法中（組合數為S=C^k-1n-1），Fisher分割法尋找一種特定的分割方式，使得各分段內的離差平方和最小。為了實現這一點，每個分段都是通過其樣本的均值來描述，每個分段的直徑（或內部離散度）被用來計算目標函數，即所有分段直徑之和。最優的分割點是那些能最小化該目標函數的點。

首先，構建相關矩陣X，其中n表示n個有序時間樣本，每個樣本均有m維向量：

X=x11…x1mxn1…xnm

（1）

若各項指標特征值的物理量綱不同，則需要進行標準化量綱處理，使之無量綱化，以保證分割過程中各維度特征的平衡。

X′nm=XnmXmax，n

（2）

式中：X′nm為無量綱化后的指標特征值；Xmax，n為第n個指標所在列的最大值；Xnm是第n個樣本的第m維指標。

設某一類Q包含樣本{xi，xi+1，…，xj}（jgt;i），其均值為X—，這些樣本被分割成k個連續的段，每個段內的樣本具有最小的離差平方和。每個段的內部一致性用段的“直徑”來衡量，該直徑是通過計算該段內所有樣本的均值差異得到的。設D（i，j）表示Q的直徑，則：

X—=1j-i+1jt=iXt

（3）

D（i，j）=jt=1（Xt-X—）2

（4）

為了找到最優的分割方法，算法定義了一個目標函數B（n，k），該函數為k個段直徑的和。

B（n，k）=kt=1D（it，it+1-1）

（5）

優化這個目標函數，即尋找目標函數最小值的最優分割點，是整個算法的核心。

B*（n，k）=minkt=1D（it，it+1-1）

（6）

具體實施時，算法先對k=2的情況進行優化，然后依此類推，每次都在前一次的最優結果基礎上添加一個新的分段，直至達到所需的分段數k。通過這種方法，算法確保了每一個中間步驟都盡可能接近最優。即將有序樣本分為k類時，首先找出分點ik，此時使得B*（n，k）最小，然后再找出分割點ik-1，此時B*（ik-1，k-1）最小，以此類推，即可得到所有分類的最優分類點。遞推公式為

B*（n，2）=min2≤i≤n{B（1，i-1）+D（i，n）}"" k=2

B*（n，k）=mink≤i≤n{B（i-1，k-1）+D（i，n）} kgt;2

（7）

完成所有可能分點后，繪制B*（n，k）-k曲線變化圖。通過觀察該曲線的拐點，可以確定對應處的k值為最優分類數，同時計算該曲線在各點處斜率的絕對值f（k）：

f（k）=B*（n，k）-B*（n，k-1）k-（k-1）

（8）

最后，繪制f（x）-k曲線，f（x）越大表示分類越優，即k分類要優于k-1分類，當f（x）接近0時可忽略，一般情況下，取f（x）最大值時的分類數k為最優分類數。

1.2 結合分位區間數的Fisher最優分割法

區間Fisher最優分割法需要計算出樣本數據的區間，即基于計算所得的汛期分期指標區間下，采用Fisher最優分割法進行汛期分期計算，具體計算過程如下。

（1） 結合分位數^［15］與區間數^［16］的定義與Fisher最優分割法數據處理的步驟，計算其給定分位下的分位區間φ：

φ=［Y—iL，Y—iU］

（9）

式中：Y—iL為樣本中各年第i天時第L分位下的指標值；Y—iU為第i天時第U分位下的指標值；L為下分位數；U為上分位數。可以通過調整L，U的值來調整區間數的大小。

（2） 計算定義類直徑。結合分位區間與Fisher最優分割法中對定義類直徑的計算，本文引入區間數方差，具體如下，設某一類Q包含樣本{Gi，Gi+1，…，Gj}（jgt;i），其均值區間數為φt，則：

φt=［Y—tL，Y—tU］

（10）

該均值區間中點為dt=（Y—tL+Y—tU）/2，其均值區間半徑為Υt=（Y—tU-Y—tL）/2。

設D（i，j）表示Q的直徑，計算公式為

D（i，j）=jt=i（φt-φ—t）2

（11）

式中：φ—t為區間數φi=［Y—iL，Y—iU］與φj=［Y—jL，Y—jU］（jgt;i）的均值區間，其表達式為

φ—t=jt=iY—tLj-i+1，jt=iY—tUj-i+1

（12）

則此均值區間的中點為

d—t=jt=iY—tL+jt=iY—tU2（j-i+1）

（13）

其均值區間半徑為

Υ—t=jt=iY—tU-jt=iY—tL2（j-i+1）

（14）

則針對公式（11），D（i，j）可以進一步寫為

D（i，j）=jt=1［（dt-d—t）2+（Υt-Υ—t）2］

（15）

（3） 將新定義的類內直徑代替傳統Fisher最優分割法中的類內直徑，并按照Fisher最優分割法后續步驟進行定義目標函數的計算，對向量X進行分期計算。

1.3 集對分析法

集對分析法^［17］的基本思路是：通過對在一個定性系統中的兩個有關聯的集合視為一個集對（A，B），根據集對的特性對集對做同、差、對分析，而后再討論兩個集合的同異反聯系，其表達式為

μA-B=a+bi+cj

（16）

式中：μA-B為集合A、B的聯系度；a為集合A、B的同一度；b為集合A、B的差異度；c為集合A、B的對立度；此時a+b+c=1，a、b、c集中反映集合A、B的關系結構，具體計算過程參考文獻［17］。

1.4 徑流集中度（RCD）計算

徑流集中度是利用向量原理來定義時間分配特征的參數，可作為評價流域水量不均勻的重要性指標之一，能夠定量描述徑流的集中程度與時空分布特征，其基本計算方法^［18］如下：

RCD=R2xi+R2yiriRxi=ni=1risinθiRyi=ni=1ricosθi（17）

式中：Rxi為徑流量的垂直分量之和；Ryi為水平分量之和；ri為某日徑流量；θi為各日對應方位角。

RCD可反映徑流量在年內的集中程度^［19］，其取值范圍為0～1，越接近1時表明其徑流量越集中于某一時間段，反之則表示徑流量分布較為均勻。

1.5 TOPSIS法優選

TOPSIS方法的基本思路^［20］是：通過對各評估目標進行標準化處理，從有限的備選方案中選擇最佳與最差的方案，并通過計算各備選方案與最佳/最差方案間的距離，得到各備選方案相對距離，將其作為優劣評判的標準，計算過程如下。

1.5.1 指標無量綱化

不同指標的計量單位不同，要使各指標具有可比性，需要對原始數據進行歸一化處理，歸一化處理公式為

Zij=Xij-minXijmaxXij-minXij（18）

式中：Xij表示第i個評價對象的第j個指標值；Zij表示第i個評價對象的第j個指標值歸一化的結果。

在數據處理中，某些指標的理想值較高，某些指標的理想值較低，還有些指標的理想值位于特定數值或區間，為此可實施正向化處理^［21］，以統一指標標準。

1.5.2 確定最優方案和最劣方案

一般情況下，TOPSIS法是以歸一化向量中評價指標的最大值作為最優向量^［22］，表示為Z+，以評價指標的最小值作為最劣向量，表示為Z-。最優方案組成為Z+=（maxZi1，maxZi2，…，maxZin）；最劣方案組成為Z-=（minZi1，minZi2，…，minZin）。

（1） 計算每一個評價對象與Z+、Z-的距離D+i、D-i。

D+i=mj=1（Zij-Z+j）2

D-i=mj=1（Zij-Z-j）2（19）

式中：Z+j=max{Zij}；Z-j=min{Zij}；i=1，2，…，n；j=1，2，…，m。

（2） 計算各評價對象與最優方案的接近程度，計算公式為

Ci=D-D++D-（20）

式中：0≤Ci≤1，Ci越接近1，表明評價越優。根據計算所得的Ci值大小對各評價對象排序，Ci值越接近1則排序越靠前，其評價結果越優。

2 實例分析

金沙江是長江的上游河段^［23］，石鼓站以上為金沙江的上游（圖1），其上游流域地形多變、落差大，水流湍急，徑流補給主要來源于青藏高原的融雪，上游氣候寒冷，枯期徑流少，冬季和春季河流封凍，汛期徑流大，雨季遇到暴雨時容易形成洪水，多發生在夏季汛期，年際變化不大，比較穩定。上游發生峰量高的流域大洪水會引發下游嚴重的洪澇災害，因此研究上游流域洪水規律對流域的防洪減災具有重要指導意義^［24］。石鼓水文站是金沙江上游流域水環境監測基本站點，水文流量監測精度較高，本研究使用金沙江石鼓站1982～2018年5～10月的逐日流量數據作為基礎資料進行分析。為驗證模型計算結果的準確性，研究首先利用1982～2011年共30 a的數據作為計算集，用于汛期分期結果的計算。隨后利用2012～2018年的數據作為驗證集，用于檢驗汛期分期結果的準確性。

2.1 分期指標區間計算

對石鼓站1982～2011年5～10月共184 d逐日流量數據進行處理，根據公式（9），分別在上分位數U為0.999 999，0.8，0.75及0.6，下分位數L均為0.25的情況下計算汛期分期指標值區間，并繪制折線圖如圖2所示。

如圖2所示，逐日徑流量上分位數U下的指標值與下分位數L為0.25的指標值兩條折線所構成的范圍，即為分期指標區間。在不同指標區間下，取區間中值為指標代入公式（17）中對徑流集中度進行計算，所得如圖2中虛線所示，在上分位數U為0.999 999，0.8，0.75，0.6與下分位數L為0.25所構成指標區間的徑流集中度分別為0.271，0.253，0.248，0.234，可以發現隨著指標區間的增大，集中度數值也隨之增大，而集中度越大，表明徑流量越集中于某一時間段^［25］。

2.2 分期計算

以0.999 999上分位數下的汛期分期指標區間數值為樣本，代入公式（13）～（15）中分別計算在不同系數下的各分段直徑D（i，j），結果如圖3所示。將計算所得的分段直徑D（i，j）代入公式（7）中，對目標函數B*（n，k）進行計算，結果如表1所列。

結合圖3與表1可以看出，D（i，j）的最大值出現在左上角的部分，即在起止點接近整個汛期的起止點時，類內的差異越大，說明整個汛期內徑流的差異越大，存在較為明顯的季節性，因此需要對汛期進行進一步的劃分。

2.3 確定最優分類數

根據式（8）計算f（k），并畫出B*（n，k）-k，f（k）-k關系圖，如圖4～5所示。

據表1數據與圖4分析，B*（n，k）-k在k=3時出現拐點，且在圖5中當k=3時f（k）為最大值，則最優分類數為3，因此，據表1可知，最優分類為{1～50，51～145，146～184}，即分期結果為前汛期（5月1日至6月19日）、主汛期（6月20日至9月22日）、后汛期（9月23日至10月31日）。

2.4 不同上分位數下汛期分期計算結果

按照上述在上分位數為0.999 999的計算步驟，分別計算了在0.8，0.75以及0.6不同上分位數下汛期的分期結果，如圖6所示。

從圖6可以看出，隨著上分位數的增加，非主汛期的長度也隨之增加，其主要原因為：隨著上分位數的增大，徑流集中度也在增大，即表明徑流發生的時間分布更加集中^［26］，而主汛期是表示一年中徑流量最集中的時間跨度，進而主汛期的時間跨度就會縮短。

同時，當上分位數增大時，會引起主汛期（或非主汛期）內的類內直徑變大。但需要說明的是主汛期內的方差都大于非主汛期內的方差，而上分位數的增大則會造成主汛期與非主汛期方差的差值進一步增大，這是由于主汛期內大指標較多，因此指標之間的差異較大，在同樣的放大效應影響下，相對于非主汛期而言，主汛期內指標的差異會變得更加明顯。因此會將主汛期兩側邊沿指標值較小的時間單位劃入非主汛期當中，以保證總的差異值最小，這也會引起主汛期長度減短。

3 討 論

為了檢驗本文區間Fisher最優分割法的性能，現將不同上分位數下區間Fisher分割法與傳統Fisher及集對分析法計算的分期結果進行比較。

根據TOPSIS法優選分析，選取“主汛期長度內超過平均值的天數”與“類內差別”作為評價指標，此處所選的兩種評價指標均為極小值指標，即主汛期長度內超過平均值的天數與類內差別越小，分期效果越好，因此需要對評價指標進行正向化處理后再代入計算，綜合計算出評價結果。

結合表2可知，在0.999 999上分位數下區間Fisher、傳統Fisher與集對分析法，按照C值的大小對各評價對象進行排序，C值越接近1時，評價對象越接近最優水平；反之，評價對象越接近最劣水平。根據排序結果可知，在0.999 999上分位數下區間Fisher分期方案優于傳統Fisher及集對分析法兩種方案。

由表3可知，在0.8，0.75及0.6三種上分位數下區間Fisher與傳統Fisher、集對分析法分期結果對比中，0.8和0.75上分位數下區間Fisher的分期結果均為最優方案，0.6上分位數下區間Fisher較次于傳統Fisher，優于集對分析法。在一定程度上也說明了，當分位數較大時，相較于傳統Fisher與集對分析法來說，區間Fisher所提供的分期方案更優。

相對于集對分析法以旬為單位進行劃分來說，區間Fisher能夠以日為單位進行劃分，避免了人為因素對水文連續性的打亂，使計算結果更加精確、直觀且接近實際，從劃分單位角度分析，區間Fisher在汛期劃分中展現出更明顯的優勢。同時，區間Fisher通過分位區間數描述分期指標，有效反映了指標的波動性；而集對分析法僅用單一數值表示分期指標，未能充分考慮其波動性。相對于傳統的Fisher最優分割法中存在的指標不確定問題，區間Fisher能夠結合分位間距概念，利用區間作為計算指標，很好地解決了傳統Fisher中指標不確定的問題，結合表2～3結果分析可知，在不同上分位數下區間Fisher的分期結果綜合評價數均大于傳統Fisher，即可說明區間Fisher汛期劃分方法要優于傳統Fisher。另外，區間Fisher可通過設置不同的上分位數，靈活地改變主汛期的長度，從而使水資源利用更為經濟與安全。例如在面對高防洪要求的水庫時，可選擇在較低的上分位數下進行分期計算，以減短非主汛期長度并加長主汛期長度；面對低防洪要求的水庫時，也可適量升高上分位數，使得主汛期的劃分更為貼合實際情況，以增加非主汛期長度并減短主汛期長度，在降低防洪成本的同時，也為非主汛期攔蓄部分洪水留出更長的時間。因此，相對于集對分析和傳統Fisher只能提供單一的分期方案來說，區間Fisher模型能夠提供更加靈活的選擇，這種靈活性有助于提升水庫運營的安全性、可持續性和效益。

但需要注意的是，上分位數減小，雖然能使主汛期長度加大，使分期方案偏向于安全，但也會使整個分期方案為了考慮小概率極端洪水事件，從而降低分期方案的效益，因此在實際中需要實際管理人員根據經濟效益和防洪安全綜合確定系數。

4 結 論

本文以金沙江上游（云南段）為例，提出了一種利用區間數表現汛期分期指標不確定性的方法。此方法針對Fisher最優分割法中的指標不確定性問題，在處理指標時考慮了其不確定性，從而提升了分期結果的準確性。其次該方法以日為單位進行劃分計算，改善了傳統按旬或侯的粗略分段，使得分期結果能夠更精確地反映實際情況。這種精細化處理提高了對汛期實際變化的識別能力，使得分期結果更加貼近真實情況。同時區間Fisher方法還能通過調整上分位數的大小，靈活改變主汛期的長度。這種靈活性使得該方法能夠提供多種分期方案，適應不同的調度要求，從而為實際應用提供了更多選擇。最后，在基于TOPSIS法的對比分析中，區間Fisher模型與對比模型相比具有優越性。

區間Fisher具有時序性、指標不確定性、方案多樣性以及較優分期等特點，能較好地解決汛期分期的基本問題，適合對汛期分期進行定量研究，在流域水文分析中，區間Fisher面對不確定性場景能夠提供更為精確的分期方案，同時在水資源的管理和調度中，區間Fisher能夠根據實際情況靈活調整汛期長度，提供有效的決策支持。然而在使用區間數表示不確定性時，需謹慎選擇區間范圍，以確保其能夠真實反映指標的不確定性。此外，調整系數時需要考慮實際的汛期特征，綜合考慮水庫的風險和效益。與此同時，方法的準確性還依賴于輸入數據的質量，因此確保數據的準確性和完整性是獲得可靠分期結果的前提。

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（編輯：謝玲嫻）

Research on flood season dividing based on interval Fisher optimal segmentation method

LIN Jiahui^1，2，LI Jun³

（1.School of Environmental Science and Engineering，Hainan University，Haikou 570228，China； 2.Yunnan Key Laboratory of Plateau Wetland Conservation，Restoration and Ecological Services，Southwest Forestry University，Kunming 650224，China； 3.School of Ecology，Hainan University，Haikou 570228，China）

Abstract： The dynamic regulation and scheduling of flood limit water levels are crucial for effective water resource management，which highly depends on scientific flood season dividing.However，traditional Fisher optimal segmentation methods have two significant shortcomings，uncertainty in the dividing indicators and the single scheme alternative.To address these limitations，an interval Fisher optimal segmentation method is proposed.This method combines quantile and interval theory，using quantile intervals to represent dividing indicators and thereby improving the traditional Fisher dividing methods.Based on daily average runoff data from the Shigu Hydrological Station on the Jinsha River，spanning 1982 to 2018，the improved method was utilized to divide the flood season of the Jinsha River，and a TOPSIS method was employed to compare the improved method against traditional Fisher and set pair analysis methods.The results show that：the primary flood period extends from June 20 to September 22 under the 0.999 999 quantile；from June 25 to September 27 under the 0.8 quantile；from June 23 to October 4 under the 0.75 quantile；from June 23 to October 5 under the 0.6 quantile.These results are reasonable and reliable.Furthermore，the TOPSIS analysis results indicate that the interval Fisher deviding scheme outperforms the contrast model.Overall，the findings demonstrate that the interval Fisher enhances reliability of flood season dividing results and offers high flexibility and applicability，providing a solid theoretical foundation for flood season deviding research.

Key words： flood season dividing； interval numbers； interval Fisher optimal segmentation method； TOPSIS method； Jinsha River