巧用“放縮圓”模型處理帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)問題

【摘要】帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)類型有很多，其中“放縮圓”模型適用于粒子射入點(diǎn)的速度方向不變、速度大小變化的情境.對于該模型的教學(xué)指導(dǎo)，建議從原理出發(fā)梳理模型，講解分析方法，并結(jié)合實(shí)例，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行應(yīng)用強(qiáng)化.

【關(guān)鍵詞】放縮圓；帶電粒子；高中物理

1引言

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)問題十分常見，問題解析需要融合物理與幾何知識，即利用物理定理分析運(yùn)動(dòng)，結(jié)合幾何來確定運(yùn)動(dòng)軌跡.“放縮圓”模型在該類問題的解決中運(yùn)用廣泛，可通過放縮幾何圓的方式來分析、確認(rèn)帶電粒子的軌跡邊界.

2模型講解

如圖1所示，帶正電的粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓，其運(yùn)動(dòng)半徑與速度相關(guān)，且速度v越大，運(yùn)動(dòng)半徑也越大.經(jīng)分析觀察可知，這些帶電粒子射入磁場后，它們運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上.從放縮視角來看，其軌跡可視為從射入點(diǎn)開始進(jìn)行的幾何圓放縮.

結(jié)合物理知識分析軌跡半徑和運(yùn)動(dòng)周期，可知r=mvqB，T=2πmqB，則放縮圓具有如下特點(diǎn)：速度方向相同、大小不同的粒子源（同種）的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑r與速度v成正比，運(yùn)動(dòng)周期T與速度v無關(guān).

3方法講解

“放縮圓”模型適用于速度方向不變的帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)問題，其軌道半徑隨射入速度的v變化而變化.分析確認(rèn)其運(yùn)動(dòng)的臨界情境時(shí)，把握其核心：粒子剛好飛出磁場或剛好飛不出磁場.

分析問題時(shí)需要關(guān)注臨界軌跡的兩大特點(diǎn)：（1）軌跡與磁場邊界相切；（2）切點(diǎn)速度方向與邊界重合.可以入射點(diǎn)為定點(diǎn)，對軌道半徑進(jìn)行放縮，從而作出一系列的軌跡，探索出臨界條件，如圖2所示．

4解題指導(dǎo)

例題如圖3所示，在正方形abcd區(qū)域內(nèi)，有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，O點(diǎn)是cd邊的中點(diǎn)．現(xiàn)有一個(gè)帶正電的粒子（重力忽略不計(jì)）從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的某一速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時(shí)間t0剛好從c點(diǎn)射出磁場．

（1）現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點(diǎn)沿紙面以與Od成30°角的方向，以各種不同的速率射入正方形內(nèi)，判斷：粒子能否從正方形的四個(gè)頂點(diǎn)射出；

（2）在（1）問的條件下，若該帶電粒子從cd邊射出磁場，計(jì)算帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時(shí)間.

解析上述為典型的帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)問題，其特點(diǎn)為粒子射入時(shí)的速度方向一致，速度大小可變.分析可知，粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，其半徑與速度大小相關(guān)，問題分析可借助“放縮圓”模型.

（1）該粒子從O點(diǎn)以與Od成30°角的方向射入磁場，隨著粒子速度逐漸增大，軌跡由①→②→③→④依次漸變，如圖4所示，則粒子在四個(gè)邊射出時(shí)，射出范圍分別為OG、FE、DC、BA之間，顯然不能從四個(gè)頂點(diǎn)射出.

（2）結(jié)合題意可知，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)周期T＝2t0，結(jié)合圖分析，從cd邊射出的粒子圓心角均為300°，則所用時(shí)間為56T=53t0.

點(diǎn)評上述問題解析過程中，充分結(jié)合了“放縮圓”模型，結(jié)合模型的結(jié)論直接確定運(yùn)動(dòng)軌跡與速度大小的關(guān)系，從而確定粒子最終的射出范圍.利用模型分析判斷，避免了復(fù)雜的推理計(jì)算，可直觀確定其運(yùn)動(dòng)軌跡.

5教學(xué)建議

本文圍繞磁場中的“放縮圓”模型開展應(yīng)用教學(xué)探究，總結(jié)了模型結(jié)論，以及對應(yīng)的解析思路，并結(jié)合實(shí)例講解應(yīng)用方法.下面，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐提出幾點(diǎn)建議.

建議1數(shù)形結(jié)合，直觀解讀

物理模型的應(yīng)用教學(xué)中，建議采用數(shù)形結(jié)合的方法策略，即繪制直觀的圖示，引導(dǎo)學(xué)生分析圖形特點(diǎn)，提取特征，后續(xù)再結(jié)合物理知識計(jì)算推理，總結(jié)規(guī)律.具體教學(xué)中可分為三個(gè)階段：階段1，示例呈現(xiàn)，引導(dǎo)解讀；階段2，數(shù)形分析，提取特征規(guī)律；階段3，總結(jié)結(jié)論，生成模型策略.

建議2實(shí)例指導(dǎo)，思路引導(dǎo)

模型應(yīng)用教學(xué)的核心內(nèi)容為實(shí)例指導(dǎo)，即結(jié)合具體問題講解模型的應(yīng)用思路.該環(huán)節(jié)中，需要注意思路引導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生掌握模型的應(yīng)用思路.教學(xué)中需要注意三點(diǎn)：一是問題分析，引導(dǎo)學(xué)生分析問題條件、圖示特征，確定適用的模型；二是結(jié)合模型策略，構(gòu)建解題思路，可合理設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生思考；三是結(jié)合物理知識來計(jì)算，得出結(jié)論.

建議3深度反思，模型深化

模型教學(xué)中還需注意解后反思，即完成解題指導(dǎo)后，引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程，總結(jié)模型應(yīng)用思路，積累解題經(jīng)驗(yàn).該環(huán)節(jié)中還需注意引導(dǎo)學(xué)生感悟模型，深化提升能力.反思感悟過程可從以下三個(gè)方面進(jìn)行：一是解題思路視角，引導(dǎo)學(xué)生反思過程，簡化思路；二是模型應(yīng)用視角，引導(dǎo)學(xué)生思考模型應(yīng)用的步驟，形成分步策略；三是知識拓展視角，基于模型合理拓展，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)關(guān)聯(lián)模型，深刻認(rèn)識模型規(guī)律.

6結(jié)語

運(yùn)用“放縮圓”來解決帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)問題，需從物理規(guī)律出發(fā)分析其運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，建立并解讀模型，總結(jié)適用范圍及構(gòu)建思路，并結(jié)合實(shí)例來指導(dǎo)強(qiáng)化.上述總結(jié)的方案也適用于其他模型的教學(xué).在實(shí)際教學(xué)中，建議結(jié)合直觀模型，引導(dǎo)學(xué)生逐步理解.