基于證據有序極限學習機Bagging集成的蘋果分級方法

摘要： 為了提高蘋果自動分級分揀系統的性能，提出一種基于證據有序極限學習機Bagging集成的無損蘋果分級模型。使用蘋果近紅外光譜中提取的特征作為輸入，根據可溶性固形物含量將蘋果分為3個等級； 考慮等級類標的認知不確定性和有序性，在Dempster-Shafer理論框架內提出高斯質量函數生成方法和證據編碼方案； 構造以證據編碼為輸出的證據有序極限學習機作為基學習器，通過Bagging算法實現集成學習； 選取435個紅富士蘋果作為實驗樣本生成數據集，并進行交叉驗證。結果表明，所提出的證據有序極限學習機Bagging集成模型的分級準確率達到91%，該模型訓練時間比證據有序神經網絡集成模型的縮減至少2個數量級。

關鍵詞： 蘋果分級；近紅外光譜；Dempster-Shafer理論；有序分類；集成學習

文章編號：1671-3559（2025）02-0263-09

中圖分類號： TP274

文獻標志碼： A

Apple Grading Method Based on Bagging Ensemble of Evidential Ordinal Extreme Learning Machines

MA Liyao， WEI Peng， FAN Xiaochen， XU Yuan， BI Shuhui

（School of Electrical Engineering， University of Jinan， Jinan 250022， Shandong， China）

Abstract： To improve the performance of the automatic apple grading and sorting system， a non-destructive apple grading model was proposed based on Bagging ensemble of evidential ordinal extreme learning machine. The features extracted from the near-infrared spectra of apples were taken as inputs and apples were classified into three grades based on soluble solids content. Considering the epistemic uncertainty and order of the grading labels， Gaussian mass function generation method and evidence encoding strategies were designed within the framework of Dempster-Shafer theory. Using evidence-encoded training set as outputs， evidential ordinal extreme learning machineswereconstructedasbaselearnersandfurther integrated as an ensemble by the Bagging algorithm. Selecting 435 Red Fuji apples as the experimental instances， data were collected and processed into the apple data set. The experimental results of cross-validation show that the grading accuracyoftheproposedBaggingensembleofevidentialordinal extreme learning machines is 91%， and the model training time is reduced by at least 2 orders of magnitude compared with the integrated model of evidential ordinal neural network.

Keywords： apple grading; near-infrared spectroscopy; Dempster-Shafer theory; ordinal classification; ensemble learning

目前我國已發展為世界上最大的蘋果生產國^［1］。蘋果分級作為蘋果采摘后管理的重要環節，能夠有效提升蘋果的附加值，增強國產蘋果的競爭力。傳統的人工蘋果分級存在很大的局限性，例如： 工作時間長，易出錯，效率低； 工人對分級標準的不同理解造成分級結果差異； 工人無法通過肉眼判斷果實內部品質來分級蘋果。隨著人工智能技術的發展， 機器學習算法逐漸應用于蘋果分級領域， 為了實現蘋果等級的無損預測， 通常利用圖像^［2］或近紅外光譜^［3］檢測分析。李速專等^［4］根據不同光譜區間的投影關系，構建偏最小二乘模型實現蘋果分級。王迎超等^［5］通過K均值聚類和改進的多層感知機神經網絡對蘋果分級。耿新雪等^［6］以機器視覺及圖像處理技術為基礎，實現對流水線上蘋果的實時分級。馬斌等^［7］通過卷積神經網絡對蘋果品種進行圖像識別。孟慶龍等^［8］分析標準正態變換、多元散射校正對預測模型的影響，利用主成分分析方法將預處理后的光譜數據降維，建立了預測蘋果可溶性固形物的回歸模型； Ma等^［9］和Bi等^［10］分別將證據分類樹和基于證據理論的多模型融合方法用于蘋果分級。

上述研究都將蘋果分級視為分類或回歸問題，但忽略了等級類標之間存在的有序性。如蘋果等級為一級果、 二級果和三級果，這3個等級類標有優劣程度的順序關系，因此，從機器學習的角度來看，蘋果分級屬于有序分類問題^［11］，須要用特殊的模型處理有序類標。作為一類有別于分類和回歸的監督學習方法，近幾十年來， 學者們提出了比例優勢模型^［12］、 支持向量機^［13］、 神經網絡^［14］等有針對性的有序分類模型， 廣泛應用于疼痛評估、 消費者偏好、 診斷系統^［15-17］等諸多領域。 本文中選取可溶性固形物含量（soluble solids content， SSC）這一蘋果內部品質的重要指標作為分級依據， 通過有序分類模型獲得蘋果近紅外光譜與等級類標間的映射關系； 借助Dempster-Shafer理論^［18-19］分析和處理等級類標的認知不確定性， 同時考慮等級類標的有序性， 構造證據有序極限學習機Bagging集成模型， 實現蘋果分級。

1 蘋果數據采集及處理

1.1 蘋果原始數據采集

蘋果無損分級方法分別采集蘋果的近紅外光譜以及SSC用于模型的建立。蘋果樣本的近紅外光譜采集使用WY-6100型水果在線無損檢測系統內置的Smart Engine系列近紅外光譜儀。選取435個顏色統一、外觀無明顯缺陷的紅富士蘋果作為實驗樣本，所有蘋果的直徑為76.0～84.5 mm，平均值為80.5 mm，標準差為3.3 mm。實驗前存儲環境溫度為26 ℃，相對濕度為64%。光譜采集過程主要分為以下幾個步驟：

1）樣本標記。蘋果赤道面每隔 120°等間距選取1個采集點并做好標記。

2）在線系統采集光譜數據。 ①開機，設備進入待機狀態。 ②儀器預熱。近紅外光譜采集儀使用前預熱30 min使其達到最佳使用狀態。 ③啟動運行。按照設定參數運行分選系統，當指示燈由紅色變為綠色時即可將蘋果赤道朝上橫放在托盤上。 ④停止運行。當蘋果樣本經過光譜采集單元后，停止運行，導出光譜數據。

3）多次試驗求平均值。對每個蘋果采集3次數據并求平均值作為此蘋果的原始光譜數據，435個蘋果的原始近紅外光譜如圖1所示。

SSC的檢測采用PAL-1型手持數顯糖度計。采集數據時將蘋果削皮，在光譜采集的位置用清潔小刀取小塊，榨出果汁放于樣品臺上，取每個蘋果3次測量的平均值作為該蘋果的SSC值。

1.2 蘋果數據處理及數據集生成

為了提高光譜和等級類標之間的相關性，建立準確率更高的分級模型，須要對獲取的近紅外光譜數據進行預處理及特征提取，具體過程如下：

1）通過多元散射校正消除不同散射水平帶來的光譜數據差異， 使用理想光譜修正光譜數據的基線平移和偏移現象， 修正后的近紅外光譜如圖2所示。

2）利用Savitzky-Golay卷積平滑法去除由設備、 環境等外界因素產生的噪聲。

3）使用主成分分析法處理光譜數據，選取每個蘋果的100個主成分作為蘋果分級數據集的輸入。

數據集的輸出類標以SSC數值（可溶性固形物的質量分數）為依據， 初步采取硬分割方法， 即以數值11%、 14%為界， 將SSC值小于11%的樣本歸為三級果， 大于14%的歸為一級果，其余樣本為二級果，由此獲得包含N個（本文中N=435）蘋果樣本的原始數據集{（xj，kj）}， j=1， 2， …， N，其中xj=（x_j1， x_j2，…，x_jp）為第j個樣本的p個輸入（本文中p=100）， kj為該樣本硬分割的等級類標， kj∈{1， 2， …， K}。等級類標所有可能取值之間存在嚴格的順序關系1lt;2lt;…lt;K，對于本文中的蘋果分級而言K=3，集合為{1，2，3}，其中數字1、 2、 3分別對應三級果、 二級果及一級果，樣本類標kj的具體取值由SSC的數值y決定，即

kj=1， ylt;11 ，2， 11≤y≤14， j=1， 2， …， N，3， ygt;14 。（1）

2 基于證據有序編碼的極限學習機模型建立

由于SSC確定的等級類標存在認知不確定性，因此本章中采用Dempster-Shafer理論，生成描述蘋果等級不確定性的質量函數，進而考慮類標的有序性和不確定性，設計證據有序編碼方案，最終構建基于證據有序編碼的極限學習機，作為后續集成學習模型的基學習器。

2.1 質量函數生成方法

當蘋果樣本的SSC靠近等級劃分邊界時，測量誤差等因素會導致難以準確確定相應類標，通過硬分割獲得的等級類標存在認知不確定性。為了更合理地獲得類標以及更好地利用數據，本文中選取Dempster-Shafer理論作為框架對認知不確定性開展建模和處理。給定包含等級類標所有可能取值的識別框架Θ={1， 2， …， K}，質量函數m∶2Θ→［0， 1］對等級類標的認知不確定性建模，并且滿足

∑AΘm（A）=1， m（○）=0 ，（2）

式中： m（A）為對樣本類標屬于集合A的信任程度； ○為空集。當m（A）gt;0時，稱A為質量函數m的焦元。

本文中認知不確定性主要集中于分級邊界附近，因此設計當蘋果樣本的SSC值靠近分級邊界時，焦元形式為某類標k以及由k及其相鄰類標組成的集合S，其中m（{k}）為對分配該蘋果為第k類的支持程度， m（S）為對該蘋果等級落在相鄰類標集合中的支持程度。在上述焦元形式的基礎上，本文中設計的高斯質量函數生成方法以蘋果樣本的SSC為依據，m（S）的取值由SSC借助高斯質量函數計算，

m（S）=1σ2π e^{-（y-μ）22σ2}"，（3）

式中： σ=0.15； μ為SSC分級邊界。對于m（{1， 2}）和m（{2， 3}）2種情況， μ分別取值11%、 14%。其余的質量根據SSC的取值分配給式（1）確定的單元素焦元，即

m（{1}）=1-m（{1， 2}），ylt;11 ，

m（{2}）=1-m（{1，2}）-m（{2，3}），11≤y≤14，

m（{3}）=1-m（{2，3}），ygt;14 。（4）

高斯質量函數不同焦元的取值隨SSC的變化如圖3所示。例如某樣本的SSC為13.98%，則質量函數描述為m（{2}）=0.019 2， m（{2，3}）=0.980 8。 由于該樣本的SSC非常接近分級邊界，因此只能明確確定樣本屬于一等果或二等果，該集合獲得絕大部分質量函數取值。

m（{1}）、 m（{2}）、 m（{3}）—對應三級果、 二級果和一級果的

單元素焦元取值； m（{1，2}）、 m（{2，3}）—集合焦元取值。

2.2 證據有序編碼方案設計

以生成的質量函數為基礎，須要設計證據有序編碼方案，獲得模型訓練集的最終輸出。考慮等級類標kj的有序性，傳統有序分類模型通常將該樣本的輸出編碼為K位，其中各位的取值為

c_nj=1， 1≤n≤kj ，

0， kj+1≤n≤K， j=1， 2， …， N ，（5）

式中c_nj為第n個編碼位、 第j個樣本的有序編碼值。蘋果樣本輸出的K位中，小于等于kj的位數編碼為1，其余位編碼為0，如二級果的輸出編碼為（1， 1， 0）。所有可能等級的輸出見表1的有序編碼矩陣C。

將考慮類標有序性的有序編碼矩陣C=（c_ij）_K×K和考慮類標認知不確定性的質量函數m相結合，沿用文獻［20］中提出的證據編碼方案，本文中分別采用以下4種準則生成證據編碼，作為訓練集樣本的最終輸出。

廣義Maximax編碼準則：

tn—=∑B∈Θm（B）maxl∈B c_nl， n=1，2，…，K ，（6）

式中： tn—為廣義Maximax編碼準則下證據編碼第n個編碼位的取值； α為悲觀指數，取值范圍為0～1； B為質量函數m的焦元； l為焦元中的元素； c_nl為有序編碼矩陣C第n行第l列的數值。

廣義Maximin編碼準則：

tn—=∑B∈Θm（B）minl∈B c_nl， n=1，2，…，K ，（7）

式中tn—為廣義Maximin編碼準則下證據編碼第n個編碼位的取值。

廣義Hurwitz編碼準則：

tHn=∑B∈Θm（B）（αminl∈B c_nl+（1-α）maxl∈Bc_nl=

αtn—（1-α）tn—， n=1，2，…，K ，（8）

式中tHn為廣義Hurwitz編碼準則下證據編碼第n個編碼位的取值。

Pignistic編碼準則：

tPn=∑B∈Θm（B）1B∑l∈Bc_nl， n=1，2，…，K，（9）

式中tPn為Pignistic編碼準則下證據編碼第n個編碼位的取值。

由此，在蘋果樣本原始數據集{（xj， kj）}， j=1， 2， …， N的基礎上獲得了用于模型訓練的訓練數據集{（xj， tj）}， j=1， 2， …， N′，其中，N′為訓練集樣本個數，輸入xj為樣本j從近紅外光譜中提取的特征， tj=（t_j1， t_j2， …， t_jK）T為某種編碼準則下獲得的證據編碼輸出向量。

2.3 證據有序極限學習機的構建

給定訓練集，建立證據有序極限學習機（evidential ordinal extreme learning machine， EORELM），其結構如圖4所示。模型包含有p個節點的輸入層、 h個節點的隱藏層和K個節點的輸出層。

x_j1、 x_jp—樣本j的輸入； w_ij—輸入層到

隱藏層的權重； b1、 bl、 bh—隱藏層節點的偏置；

β_ij—隱藏層到輸出層的權重； t_j1、 t_jl、 t_jK—樣本j的輸出。

圖4 證據有序極限學習機結構

各層之間均為全連接方式，模型中輸入層節點到隱藏層節點的權重記為wi=（w_1i， w_2i，…，w_pi）， i=1，2，…，h，隱藏層到輸出層的權重記為β_ij， i=1，2，…，

h， j=1， 2， …， K， 隱藏節點相應的偏置為bi， 激活函數為gi（·）， i=1， 2， …，h。對于每一個訓練集樣本，有

∑hi=1β_ijgi（wixTj+bi）=tj 。（10）

為簡潔起見，將訓練集所有樣本的上述形式方程整合為矩陣形式

Hβ=T ，（11）

式中： β=（β_ij）_h×K為隱藏層到輸出層的權重矩陣； T=（t_ij）_N′×K是證據編碼輸出矩陣；隱藏層輸出矩陣為

H_N′×K=g（w1x1+b1）…g（whx1+bh）

g（w1x_N′+b1）…g（whx_N′+bh）。（12）

EORELM作為一種快速學習方法， 模型參數中權重wi和偏置bi的取值通過隨機生成的方法給定， 隱藏層到輸出層的權重β由線性方程組的最小二乘解解析求得。 各權重確定后， EORELM即可用于新蘋果樣本的等級預測。 此外， 根據證據編碼的機制， 當訓練樣本類標沒有認知不確定性時， EORELM退化為傳統的有序極限學習機。

3 EORELM模型的Bagging集成

蘋果光譜數據的復雜性限制了單一分級模型的預測精度。集成學習作為博采眾長的機器學習方法，能夠通過訓練多個基學習器，并結合性能各有差異的學習器，獲得一個強分級模型，實現性能提升。本文中選擇Bagging算法，以構建的EORELM作為基學習器，獲得集成模型，如圖5所示。

SSC—可溶性固形物含量； T—蘋果分級訓練集； T1、T2、…、T_n-1、

Tn—由T抽樣產生的訓練子集； EORELM1、EORELM2、…、

EORELMn—每個訓練子集學習得到的證據有序極限學習機。

給定采集得到的蘋果近紅外光譜數據和SSC，對光譜數據進行多元散射校正和Savitzky-Golay卷積平滑處理，并提取其中100個主成分作為訓練集樣本的輸入；依據SSC，利用2.1節設計的質量函數生成方法生成描述蘋果等級認知不確定性的質量函數，再通過2.2節的廣義Maximax等編碼準則得到證據編碼輸出，從而得到訓練集T={（xj， tj）}， j=1，2，…，N′。在學習集成模型時，通過對原始訓練集T內的訓練樣本進行有放回地抽樣，生成一系列訓練子集{T1，T2，…，Tn}。基于每個子集獨立訓練相應的EORELM，得到EORELM1、 EORELM2、 …、 EORELMn作為集成模型的基學習器。

使用集成模型預測新蘋果樣本的等級時，采集樣本的近紅外光譜數據，同樣提取預處理后光譜數據的100個主成分作為模型輸入x_new，將其送至n個EORELM模型，分別產生預測類標{y1，y2，…，yn}，各模型預測類標通過多數投票法集成，出現最多的類標作為集成模型最終的預測等級。算法1總結了基于Bagging算法的EORELM集成方法（BE-EORELM模型），該模型中訓練子集的抽樣比例、 基學習器的個數以及基學習器中隱藏節點的個數等參數是影響分級精度和分級速度的重要因素，參數的設置根據實際應用結果確定。

算法1 基于BE-EORELM模型的蘋果分級方法

輸入：所有訓練集蘋果樣本的原始數據、 證據編碼方案選擇、 集成模型參數設定值。

輸出：新蘋果樣本的等級類標預測值。

第1部分 訓練集的生成

對每一個蘋果樣本：

通過近紅外光譜數據預處理及特征提取，獲得樣本輸入xj；

根據SSC數值生成質量函數mj；

根據mj和證據編碼方案生成樣本輸出tj；

所有樣本輸入輸出匯總為訓練集T。

第2部分 集成模型訓練

根據設定的基分類器個數，通過對T有放回抽樣，獲得一系列子訓練集；

在每個子訓練集上建立EORELM模型。

第3部分 新樣本類標預測

通過近紅外光譜預處理及特征提取，獲得新樣本輸入x_new；

每個EORELM模型根據x_new進行類標預測；

通過多數投票綜合所有EORELM模型的結果，得出最終類標預測。

4 紅富士蘋果實驗及結果討論

為了驗證BE-EORELM模型的性能，挑選產自我國山東省煙臺市的435個紅富士蘋果進行實驗。構建基學習器模型時，每個EORELM的輸入層有100個節點，輸出層有3個節點，隱藏層節點數等參數通過實驗確定。

4.1 模型參數的選擇

為了獲得更好的模型性能，首先確定BE-EORELM模型中關鍵參數。本文中對所有蘋果樣本進行五折交叉驗證，固定某組選定的具體樣本劃分，計算測試集樣本的分級準確率均值。初始設置集成模型參數如下：每個EORELM的隱藏層節點個數h=50，Bagging算法中訓練子集的抽樣比例為0.95。當基學習器的個數n變化時，相應的分級正確率如圖6所示。由圖可見，由于EORELM權重初始化以及Bagging算法中樣本選擇的隨機性，因此分級準確率呈現一定的波動，此現象在后續實驗中也會出現。當只有單一分級模型時，所有證據編碼方案得到的分級準確率都較低。隨著基學習器數量的增加，分級準確率逐漸上升，當n為20～40時，分級準確率提升較為明顯；但當n大于40時分級準確率大致趨于穩定或略有下降，因此后續實驗中設置基學習器個數n=40。

設定n=40，抽樣比例為0.95，分級準確率隨隱藏層節點個數的變化如圖7所示。由圖可知，隨著基學習器隱藏層節點個數h的增加，各編碼方案的分級準確率提高，其中Pignistic、 Hurwitz編碼方案的提高趨勢更為明顯。

具有較多隱藏層節點的集成模型（例如h∈［80，100］）相較于具有更少節點的集成模型一般會呈現更好的分級性能。考慮到蘋果數據的特征個數和模型的計算復雜度，本文選擇隱藏層節點個數h為 80。

設定證據有序集成模型有40個基學習器， 每個學習器的隱藏層有80個節點，分級準確率隨抽樣比例的變化如圖8所示。 由圖可以看出： 隨著Bagging算法中子訓練集的抽樣比例提升到0.4，分級準確率呈顯著上升趨勢，在0.4～0.7之間有一定波動；當抽樣比例大于0.7后，分級準確率保持在85%左右，且變化較為平穩。在保證模型準確率的前提下，為了提高模型訓練速率，本文中選取抽樣比例為0.7。

通過上述實驗確定了模型的基學習器數量、 基學習器隱藏層節點個數及 Bagging 抽樣比例分別為40、 80和0.7。值得注意的是，由于集成模型的隨機性，所選參數只能達到較優的性能，無法獲得最優性能，因此在一組數據上得到的參數設置也不一定是最優設置。

針對基學習器隱藏層激活函數對模型預測準確率的影響，本文中使用相同的數據對隱藏層激活函數分別為sigmoid、 tanh和sin的模型進行五折交叉驗證，分級準確率如表2所示。表中結果顯示，分別選取3種激活函數時，分級準確率的差異較小，在后續的實驗中選擇激活函數為sigmoid。

4.2 集成模型實驗結果對比

本節中用435個紅富士蘋果樣本進行五折交叉驗證，比較傳統極限學習機、 有序極限學習機和4種編碼決策下的單一證據有序極限學習機這6種單一模型以及不同編碼決策下的BE-EORELM模型的分級性能，并與文獻［20］中提出的基于證據有序神經網絡的Bagging集成分級模型（BE-ENNOP模型）的分級準確率和模型訓練時間進行對比。BE-EORELM模型選用4.1節確定的參數，同時將BE-ENNOP模型的參數調至最優（基學習器個數為50，隱藏層神經元個數為30，抽樣比例為0.95）開展實驗。固定分級準確率較高的交叉驗證數組索引，在每一折交叉下進行5次實驗，取測試集上所有交叉所有重復的平均值作為最終的分級準確率和訓練時間數據，結果見表3。由表可知，不論是以極限學習機還是以神經網絡為基礎的方法，考慮類標有序性的有序模型性能都優于普通的分類模型，進一步考慮類標不確定性的證據有序模型分級準確率又優于一般的有序模型。各種編碼方案下的集成模型比單一模型具有更好的分級性能，使用Hurwitz編碼方案的BE-EORELM模型的分級準確率達到91.02%。相較于BE-ENNOP模型，本文中提出的BE-EORELM模型在分級準確率持平或者更優的同時，還大幅提升了訓練速度，模型訓練時間縮減至少2個數量級。

5 結論

考慮有序類標的認知不確定性，本文中提出了基于證據有序極限學習機的Bagging集成模型，實現蘋果的無損自動分級。在Dempster-Shafer理論框架內，根據SSC生成描述不確定性的質量函數，設計證據編碼方案，并采用Bagging算法將EORELM基學習器加以集成，通過紅富士蘋果數據集的分級實驗，得到以下主要結論：

1）由于高斯質量函數能夠更合理地描述SSC數據的認知不確定性，因此證據有序模型的分級準確率優于直接使用硬分割的有序模型。

2）各種證據編碼方案的集成模型比單一模型具有更優的分級性能， 相較于BE-ENNOP模型， BE-EORELM模型能夠在保證分級準確率的同時，縮減模型訓練時間。

本文中提出的集成方法不僅適用于蘋果分級，同樣可用于其他果蔬的分級。在今后的工作中，我們將進一步研究采用其他基學習器和集成策略改善樣本分級性能，還將研究基于更復雜決策策略的樣本空間證據劃分方法。

參考文獻：

［1］ PANG G J， ZHANG F H， SONG X L. Path and countermeasures for transformation and upgrading of apple industry in China［J］. Cooperative Economy and Technology， 2018， 598（23）： 24.

［2］ 陳慶光， 劉強， 張競成， 等. 多視角三維視覺成像的蘋果果形測量與分類［J］. 杭州電子科技大學學報（自然科學版）， 2022， 42（4）： 34.

［3］ 喬正明， 詹成. 基于近紅外光譜和SSA-ELM的蘋果糖度預測［J］. 食品與機械， 2021， 37（9）： 121.

［4］ 李速專， 童何馨， 袁雷明， 等. 間隔連續投影算法應用于近紅外光譜蘋果糖度模型的優化［J］. 食品安全質量檢測學報， 2019， 10（14）： 4608.

［5］ 王迎超， 張婧婧， 賈東霖， 等. 基于K-means聚類和改進MLP的蘋果分級研究［J］. 河南農業科學， 2023， 52（1）： 161.

［6］ 耿新雪， 張婧婧， 梁雪林， 等. 紅富士蘋果在線分級系統的設計與實現［J］. 電子設計工程， 2023， 31（10）： 124.

［7］ 馬斌， 韓俊英. 基于深度學習的蘋果果實品種鑒定與識別研究［J］. 軟件， 2022， 43（6）： 17.

［8］ 孟慶龍， 尚靜， 黃人帥， 等. 基于主成分回歸的蘋果可溶性固形物含量預測模型［J］. 保鮮與加工， 2020， 20（5）： 185.

［9］ MA L Y， BI S H， ZHANG C F. Apple grading system based on near infrared spectroscopy and evidential classification forest［C］//2019 International Conference on Advanced Mechatronic Systems（ICAMechS）， August 26-28， 2019， Kusatsu， Japan. New York： IEEE， 2019： 326.

［10］ BI S H， LI X， MA L Y， et al. Apple internal quality fusion predictionbymulti-patternrecognitiontechnologyandevidencetheory［J/OL］.MobileNetworksandApplications，2022：1［2022-02-05］. https：//doi.org/10.1007/s11036-021-01899-y.

［11］ GUTIRREZPA，PREZ-ORTIZM，SNCHEZ-MONEDEROJ，et al. Ordinal regression methods： survey and experimental study［J］. IEEETransactionsonKnowledgeandDataEngineering，2016， 28（1）： 127.

［12］ 阮騰飛， 張三國， 申立勇. 基于比例優勢模型的有序數據分類［J］. 系統科學與數學， 2022， 42（10）： 2817.

［13］ GU B， GENG X， SHI W L， et al. Solving large-scale support vector ordinal regression with asynchronous parallel coordinate descent algorithms［J］. Pattern Recognition， 2021， 109： 107592.

［14］ 吳迎崗. 基于有序神經元LSTM的短文本相似性檢測［J］. 計算機應用與軟件， 2021， 38（12）： 314.

［15］ RAJASEKHARGP，GRANGERE，CARDINNALP.Deepdomainadaptationwithordinalregressionforpainassessment using weakly-labeled videos［J］. Image and Vision Computing， 2021， 110：104167.

［16］ GRIGOROUDIS E， NOEL L， GALARIOTIS E， et al. An ordinal regression approach for analyzing consumer preferences in the art market［J］. European Journal of Operational Research， 2021， 29（2）： 718.

［17］ 王曙光， 郭楓， 丁時磊， 等. 帕金森病患者服藥依從性變化軌跡及預測因素的縱向研究［J］. 齊齊哈爾醫學院學報， 2023， 44（6）： 583.

［18］ DEMPSTER A P. Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping［J］. The Annals of Mathematical Statistics， 1967， 38（2）： 325.

［19］ SHAFER G. A mathematical theory of evidence［M］//Princeton： Princeton University Press， 1976.

［20］ MA L Y， WEI P， QU X H， et al. Apple grading method based on neural network with ordered partitions and evidential ensemble learning［J］. CAAI Transactions on Intelligence Technology， 2022， 7（4）： 561.

（責任編輯：劉建亭）

基金項目： 國家自然科學基金項目（61803175）； 山東省自然科學基金項目（ZR2021MF074， ZR2023MF094）

第一作者簡介： 馬荔瑤（1988—），女，山東臨沂人。副教授，博士，碩士生導師，研究方向為機器學習和不確定性推理。E-mail： cse_maly@ujn.edu.cn。

通信作者簡介： 畢淑慧（1981—），女，山東淄博人。教授，博士，碩士生導師，研究方向為機器學習和魯棒控制。E-mail： cse_bish@ujn.edu.cn。