短時延網絡控制系統穩定性分析與控制新方法
2025-03-21 00:00:00鄒全施駿業鞠金濤
濟南大學學報(自然科學版) 2025年2期
摘要： 為了減小現有時變短時延網絡控制系統分析與控制結論的保守性， 提出一種新的穩定性分析和控制器設計方法。首先將網絡控制系統建模為具有指數不確定的線性離散系統， 根據系統矩陣的不同的特征值選擇不同的標稱點， 將指數不確定項轉化為一個常數項和范數有界的不確定性之和， 給出范數上界的最小值的確定方法； 然后選擇一般形式的Lyapunov函數， 采用魯棒控制理論和矩陣不等式技術， 給出使系統漸近穩定和狀態反饋控制器存在的充分條件。算例結果表明， 本文中提出的方法能顯著改善控制質量， 提高最大允許時延上界， 減小了結論的保守性。
關鍵詞： 網絡控制系統； 時變時延； 矩陣不等式； 魯棒控制
文章編號：1671-3559（2025）02-0291-09
中圖分類號： TP273
文獻標志碼： A
A Novel Method for Stability Analysis and Control of Networked Control Systems with Short Time-delay
ZOU Quan1， SHI Junye2， JU Jintao1
（1. School of Electrical and Information Engineering， Changzhou Institute of Technology， Changzhou 213032， Jiangsu， China;
2. School of Mechanical Engineering， Shanghai Jiao Tong University， Shanghai 200240， China）
Abstract： A novel stability analysis and controller design method was proposed to reduce the conservatism of existing conclusions for networked control system （NCS） with short time-varying delay（STVD）. A NCS with STVD was modeled as a linear discrete system with exponential uncertainty. Different nominal point was selected according to different eigenvalue of system matrix， and then the exponential uncertainty was transformed into the sum ofaconstantpartandanorm-bounded uncertainty.Themethodfordeterminetheminimum value of the norm of uncertainty was given. Using robust control theory and matrix inequalities method， a common form Lyapunov function was selected to derive the sufficient conditions of asymptotic stability and the existence of the state feedback controller. Three numerical examples show that the proposed method can significantly improve control quality， increase the upper bound of maximum allowable delay bound， so the conservatism of the conclusions is reduced.
Keywords： networked control system; time-varying delay; matrix inequality; robust control
網絡控制系統（networked control system，NCS）是指通過數據通信網絡構成閉環的反饋控制系統，具有如布線簡單、 診斷與維護容易、 系統靈活性高等諸多優點。在NCS中，由于傳感器信息與控制器信息須要通過通信網絡進行傳輸，因此不可避免地產生網絡誘導時延。網絡誘導時延受調度策略、 網絡及節點負載的影響，通常是時變的，若網絡誘導時延小于采樣周期，則稱作為短時延。當將通信網絡應用于閉環控制場合時，在系統設計過程中必須充分考慮通信網絡的實時性。由于網絡誘導時延較小，通常小于采樣周期，如以太網等，因此研究具有短時延的NCS既有理論意義又有實用價值。
對于NCS中存在的時變時延，通常采用2種方法來處理。第一種方法是將有時變時延的NCS建模為具有不確定性的離散系統，然后用魯棒控制方法來處理不確定性。樊衛華等［1］利用線性變換方法，將時變不確定短時延所引起的不確定性分解為一個固定部分與一個范數有界不確定性之和的形式，給出了系統穩定的充分條件和狀態反饋控制器的設計方法。崔桂梅等［2］研究了短時延NCS的狀態反饋保性能控制問題。邱占芝等［3-4］研究了短時延網絡控制系統的動態輸出反饋控制問題。謝成祥等［5］改進了文獻［1］中的建模方法，避免了標稱模型不可控的問題，但未考慮如何減小不確定性的范圍，所得結果具有一定的保守性。
為了減小穩定性分析與控制器設計過程中的保守性，Zhang等［6］將短時延NCS建模為具有范數有界不確定性的線性離散系統的過程，提出了一種標稱點方法，使不確定性的范數極小化，從而減小了結論的保守性。周紅艷等［7-9］將文獻［6］的結果應用于短時延廣義網絡控制系統中，得到了指數保性能控制和最優指數H∞控制。Zhang等［10-11］采用非脆弱控制方法，分別研究了短時延網絡控制系統的有界輸入-有界輸出（BIBO）穩定性和輸出反饋H∞指數穩定性問題。
處理時變時延的第二種常用方法是時滯系統方法，即將有時變時延的NCS視為時延可變的時滯系統，用時滯系統理論分析系統的穩定性并設計控制器。這類方法主要圍繞Lyapunov-Krasovskii泛函（LKF）的構造和LKF的導數中的積分項的處理來實施。吳金晶等［12］同時使用Wirtinger不等式和Jenson不等式來處理LKF的導數中的積分項，從而得到保守性較小的穩定性結論，并減少待求解問題中的決策變量數。Rouamel等［13］通過引入新的交叉項，用Wirtinger不等式來處理LKF導數中的積分項，減小了結論中的保守性。Lin等［14］針對一類具有時變時延的線性系統，通過構造一種新的時延乘積型增廣LKF，采用廣義自由矩陣的積分不等式，獲得了保守性較小的穩定性準則。Zhang等［15］將傳感器到控制器時延和控制器到傳感器時延視作2個獨立的部分，構建了一個新的含2個自由參數的LKF，然后得出了一個參數相關的保守性較小的穩定性準則。上述文獻中所得出的結論均未考慮傳感器的采樣周期。
學者們針對網絡誘導時延為常數且存在數據包丟失的情況開展了相關研究。Cai等［16］給出了網絡控制系統最優控制問題的充分必要條件。Wang等［17］設計了狀態預測器獲取狀態預測值， 在此基礎上設計了模型預測控制器。Steinberger等［18］針對離散被控對象，在時延為采樣周期正整數倍的情況下，采用小增益定理得到保守性較小的穩定性準則。Hu等［19］建立了一個考慮噪聲影響的采樣周期和隨機時變時延的統一框架，將網絡控制系統建模為一個易于處理的隨機增廣模型，并設計了一個穩定控制器。文獻［16-17］中僅考慮了固定時延，因而應用場合受到限制，文獻［18］中則人為擴大了網絡誘導時延，因此產生了一定的保守性。
本文中提出一種改進的標稱點方法，將時變短時延網絡控制系統建模為一個時變參數的離散系統，選擇合適的標稱模型，使不確定部分的范數上界最小，并選擇一般形式的Lyapunov函數來得出保守性更小的系統穩定的充分條件和狀態反饋矩陣的確定方法。
1 問題描述
考慮如圖1所示的網絡控制系統，設τsc（k）、 τcs（k）分別為第k個采樣時刻傳感器到控制器時延和控制器到執行器時延， x（t）∈Rn、 u（t）∈Rm分別為被控對象t時刻的n維狀態向量和m維控制輸入向量， xk、 uk分別為第k個采樣時刻的狀態向量和按此狀態向量計算得到的控制輸入向量，連續時間被控對象用線性定常系統來表示，即
x·（t）=Ax（t）+Bu（t） ，（1）
式中： x·（t）為狀態變量的導數； A和B為適維常數矩陣。
τsc（k）、 τcs（k）—第k個采樣時刻傳感器到控制器時延和控制器到執行器時延； x（t）∈Rn、 u（t）∈Rm—被控對象t時刻的n維狀態向量和m維控制輸入向量； xk、 uk—第k個采樣時刻的狀態向量和按此狀態向量計算得到的控制輸入向量。
設x（t）在離散時間點0lt;t0lt;t1lt;…lt;tklt;…上采樣，采樣周期為常數，定義為T=tk+1-tk， k≥0。本文中作如下假設：
假設1 傳感器為時間驅動，控制器和執行器均為事件驅動。
假設2 在tk時刻的網絡誘導時延為τk，定義為τkτsc（k）+τcs（k）， 其中， τk滿足0≤τm≤τk≤τM≤T，τm和τM分別為網絡誘導時延的下界和上界。
記xk=x（tk）， uk=u（tk），由上述假設，在一個采樣周期內，作用于被控對象上的控制輸入為
u（t）=uk-1， t∈［tk， tk+τk），
uk，t∈［tk+τk， tk+1）。（2）
于是，在考慮網絡誘導時延時，對系統（1）按采樣周期離散化，可得
xk+1=Gxk+H0（τk）uk+H1（τk）uk-1 ，（3）
式中： G=eAT； H0（τk）=∫T-τk0eAsdsB和H1（τk）=∫TT-τkeAsdsB為時延所導致的不確定項，稱為指數不確定性。顯然，有
HH0（τk）+H1（τk）=∫T0eAsdsB"，（4）
式中s為時間積分變量。
由于0≤τm≤τk≤τM≤T，式（3）是一個具有輸入時延的線性時變系統。現有文獻中，大多采用無記憶狀態反饋控制，即
uk=Kxk ，（5）
式中K為狀態反饋矩陣， 并選擇Lyapunov函數為
V（k）=xTkPxk+xTk-1Qxk-1 ，（6）
式中P、 Q均為對稱正定矩陣。
令ΔV（k）=V（k+1）-V（k）lt;0，將式（3）代入，將式（3）中的時變項轉化成范數有界的不確定項，利用魯棒控制理論得到以線性矩陣不等式表示的閉環系統漸近穩定的充分條件，通過線性不等式的可行解獲得狀態反饋矩陣K。若時延上界等于采樣周期，即τM=T，那么，如果系統開環不穩定，即矩陣A具有正實部的特征值（等價于矩陣G有單位圓外的特征值）時，所得到的線性矩陣不等式將沒有可行解。證明如下：
將式（5）代入式（3），有
xk+1=Gxk+H0（τk）Kxk+H1（τk）Kxk-1 。
如果在某個時刻tk， k≥0， τk=τM=T， 那么H0（τk）=0，有
xk+1=Gxk+HKxk-1 ，
于是有
ΔV（k）=V（k+1）-V（k）=xTk+1Pxk+1+xTkQxk-xTkPxk+xTk-1Qxk-1=xkxk-1TGTPG+Q-PGTPHK*（HK）TPHK-Pxkxk-1 ，
式中“*”表示矩陣的對稱項。
由于Lyapunov定理要求對任意的k，ΔV（k）lt;0均成立，因此ΔV（k）lt;0是閉環系統漸近穩定的充分條件，上式等價于
GTPG+Q-PGTPHK*（HK）TPHK-Plt;0 。
由負定矩陣的性質， 上式成立必然有GTPG+Q-Plt;0成立。 進一步地， 由于Q是正定的， 因此GTPG-Plt;0成立， 而這要求G的全部特征值都要位于單位圓內， 即系統開環穩定。如果系統開環不穩定， 則GTPG-Plt;0不成立，說明當系統開環不穩定時，選擇式（6）所示的Lyapunov函數，使用魯棒控制理論推導得到的線性矩陣不等式將沒有可行解。
事實上，即使τMlt;T，由于在處理不確定項的過程中須要對不確定項的范數的上界進行估計，上界一般都會被放大，可能將時延等于采樣周期的情況包含進去；因此，如果系統開環不穩定，那么所得到的線性矩陣不等式可能沒有可行解。從另一方面考慮， τM=T相當于是一個線性矩陣不等式是否有可行解的邊界， τM與T越接近，就越不容易求得線性矩陣不等式的可行解，因而結論存在較大的保守性。
本文中將研究一種新的標稱模型確定方法， 以更準確地求得不確定部分范數的上界， 并采用一般形式的Lyapunov函數得出系統漸近穩定的充分條件以及控制器的設計方法， 從而減小結論的保守性。
2 不確定項的處理
不同于文獻［6］中所使用的標稱點方法，本文中先將系統矩陣A轉化為Jordan標準型，然后根據特征值的不同情形來選擇標稱模型，將H0（τk）轉化為以下形式：
H0（τk）=Hn0+DF（τk）E ，（7）
式中： Hn0、 D和E為待確定的適維常數矩陣；當τm≤τk≤τM時， F（τk）滿足FT（τk）F（τk）≤I， I為單位矩陣。
考慮系統矩陣A有p個一重實特征值λ1、 λ2、 …、 λp， 一對共軛復數特征值σ+jω、 σ-jω，一個r重實特征值λ的情形。令v1、 v2、 …、 vp為與一重實特征值相對應的特征向量， vp+1+jq、 vp+1-jq為與共軛復數特征值對應的特征向量， vp+2、 vp+3、 …、 vp+r+1為與r重特征值對應的特征向量（廣義特征向量）。根據矩陣理論，構造變換矩陣
V=（v1v2…vpvp+1qvp+2vp+3…vp+r+1） ，
使得
Λ=V-1AV=diag{λ1， λ2， …， λp， Jc， J} ，
其中Jc=σω-ωσ；
J=λ1
λ…
…1
λ 。
這樣，在處理復數特征值時就可以避免復數運算，于是， H0（τk）可以表示為
H0（τk）=V∫T-τk0eAsdsV-1B=
Vdiag{S1（τk），S2（τk），…，Sp（τk），
Sp+1（τk），Sp+2（τk）}V-1B，（8）
其中Si（τk）=∫T-τk0eλisds， i=1， 2， …， p ；
Sp+1=（τk）=∫T-τk0eJcsds ；
Sp+2（τk）=∫T-τk0eJsds 。
針對特征值的不同情況，將式（8）所示的指數不確定項轉換成一個常數項與一個范數有界不確定項之和的形式。
首先考慮一重實數特征值的情形。當i=1， 2， …， p時，按照文獻［6］中的方法，選取一個標稱點τni滿足
τm≤τk≤τM ，（9）
則
Si（τk）=∫T-τk0eλisds=Si0+DiFi（τk） ，（10）
式中： Si0=∫T-τni0eλisds； DiFi（τk）=∫T-τkT-τnieλisds。
定義
δiτk-τni ，（11）
因此δi在區間［τm-τni， τM-τni］上變化， τni的選取應使得不確定項DiFi（τk）的變化范圍最小。
當λi=0時，不確定項DiFi（τk）=-（τk-τni）=-δi， 因此，取
τni=τm+τM2 ，（12a）
可使得不確定的變化范圍最小，且
DiFi（τk）≤αi=τM-τm2 。
當λi≠0時，不確定項為
DiFi（τκ）=eλi（T-τni）λi （e-λiδi-1） 。
這是一個關于δi的單調函數，且當δi=0，即τk=τni時， DiFi（τni）=0，因此， τni的選取應使得
DiFi（τm）=-DiFi（τM）。
由此可以解得
τni=1λi ln 2e-λiτm+e-λiτM"，（12b）
此時，DiFi（τk）≤αi=DiFi（τm）=DiFi（τM）。
綜上，針對一重實特征值情形，可根據式（12）確定標稱點，然后選擇Di=αi，使得F2i（τk）≤1。
以下研究共軛復數特征值的情況。同樣，選取一個標稱點τn（p+1）滿足式（9），并采用與式（11）相同的方式定義δp+1，使得
Sp+1（τk）=∫T-τk0eJcsds=S（p+1）0+Dp+1Fp+1（τk） ，（13）
其中
S（p+1）0=∫T-τn（p+1）0eJcsds;
Dp+1Fp+1（τk）=∫T-τkT-τn（p+1）eJcsds 。
考慮到
eJcs=eσscos ωssin ωs
-sin ωscos ωs，
因此
Dp+1Fp+1（τk）=eJc［T-τn（p+1）］∫-δi0eJcsds=
eJc（T-τn（p+1））1σ2+ω2 M（δp+1），
其中
M（δp+1）=m1-m2m2m1，
m1=e-σδp+1sin（-ωδp+1+φ）-sin φ ，
m2=e-σδp+1cos（-ωδp+1+φ）-cos φ ，
φ=arcsinσσ2+ω2 。
由于
MT（δp+1）M（δp+1）=η（δp+1）00η（δp+1），
式中
η（δp+1）=（1-e-σδp+1）2+2e-σδp-1（1-cos ωδp+1）≥0
，（14）
也即M（δp+1）2=η（δp+1），因此， τn（p+1）的選擇應使得η（δp+1）的最大值最小。上述結果可以通過以下優化問題的求解得到
minτm≤τn（p+1）≤τM
minτm-τn（p+1）≤δp+1≤τM-τn（p+1）η（δp+1） 。（15）
求出τn（p+1）后代入式（14），然后再求出η（δp+1）的最大值，記為α2p+1，此時，Dp+1可取為
Dp+1=αp+1σ2+ω2 eJc［T-Τn（p+1）］
，（16）
這樣可使FTp+1（τk）Fp+1（τk）≤I。
最后，處理不確定項
Sp+2（τk）=∫T-τk0eJsds=S（p+2）0+Dp+2Fp+2（τk） ，（17）
其中S（p+2）0=∫T-τn（p+2）eJsds;
Dp+2Fp+2（τk）=∫T-τkT-τn（p+2）eJsds 。
τn（p+2）為與J所對應的標稱點， δp+2=τk-τn（p+2），這樣，對不確定項Dp+2Fp+2（τk），采用文獻［6］中的方法求出標稱點τn（p+2），并得到不確定項的范數的上界ρ，即
∫-δp+20eJsds2lt;ρ 。
取αp+2=ρ， Dp+2=αp+2eJ［T-τn（p+2）］，則
FTp+2（τk）Fp+2（τk）≤I 。
由上述分析可以發現，在式（7）中，可取
Hn0=Vdiag{S10， S20， …， Sp0， S（p+1）0， S（p+2）0}V-1B，
D=Vdiag{D1， D2， …， Dp， Dp+1， Dp+2}，
F（τk）=diag{F1（τk），F2（τk），…，Fp（τk），Fp+1（τk），Fp+2（τk）}，
E=V-1B，
其中F（τk）滿足FT（τk）F（τk）≤I。而由式（4）可得
H1（τk）=H-H0（τk）=H-Hn0-DF（τk）E=
Hn1-DF（τk）E 。（18）
與文獻［6］中的處理方法相比，本文中提出的處理方法是針對不同的特征值選擇不同的標稱點，只有重特征值部分的指數不確定性的范數上界的估計存在保守性，其他情況下的指數不確定性的范數上界可以精確計算，因此，指數不確定性上界估計值的保守性更小。對于重特征值部分，也可以采用文獻［6］中的方法2，使用多標稱點方法處理，可以進一步減小指數不確定性上界估計值的保守性。
3 穩定性分析與狀態反饋控制律設計
考慮網絡誘導時延時，時變短時延網絡控制系統的離散化模型如式（3）所示，將式（7）、 （18）代入，得
xk+1=Gxk+［Hn0+DF（τk）E］uk+
［Hn1-DF（τk）E］uk-1。（19）
取如式（5）所示的控制律，得到
xk+1=Gxk+［Hn0+DF（τk）E］Kxk+
［Hn1-DF（τk）E］Kxk-1。（20）
為了得到更一般形式的穩定性結論，將式（20）作狀態增廣，得
zk+1=［Ξ0+D—F（τk）E—］zk ，（21）
式中： zk=xkxk-1；
Ξ0=G+Hn0KHn1K
I0；
D—=D
0；
E—=（EK -EK）。
取Lyapunov函數為
V（k）=zTkPzk 。（22）
沿zk的軌跡求差分并令其小于0，并將式（21）代入，可得
ΔV（k）=zTk｛［Ξ0+D—F（τk）E—）TP（Ξ0+D—F（τk）E—］-
P｝zklt;0，（23）
式（23）等價于
［Ξ0+D—F（τk）E—］TP［Ξ0+D—F（τk）E—］-Plt;0 。（24）
由Schur補引理，式（24）等價于
-P-1Ξ0+D—F（τk）E—
*-Plt;0 。（25）
式（25）可以寫成以下形式：
-P-1Ξ0*-P
+D—0
F（τk）（0 E—）+
（0 E—）TFT（τk）D—
0
Tlt;0，（26）
式（26）等價于
-P-1+εD— D—TΞ00
*-PE—T
**-εIlt;0 ，（27）
其中εgt;0。對式（27）兩邊左乘、 右乘diag{I， P-1， I}，并令X=P-1，則式（27）可化為
-X+εD— D—TΞ0X0
*-XXE—T
**-εIlt;0 。（28）
根據以上推證可得定理1。
定理1 對式（19）所示的離散線性不確定系統，采用式（5）所示的控制律，則閉環系統（20）漸近穩定的充分條件是存在對稱正定矩陣X，標量εgt;0，使得不等式（28）成立。
說明 當狀態反饋矩陣K已知時， Ξ0和E—中中均不含未知項，于是式（28）是一個線性矩陣不等式。由此可以發現，式（6）所使用的Lyapunov函數是式（22）的特殊情況，即當式（22）中的矩陣P取成分塊對角矩陣時，式（22）就可以變成式（6）的形式。由于放寬了對Lyapunov函數的約束，因此
使結論的保守性顯著減小。當K已知時，可以根據式（28）是否有可行解來判斷是否可以保證閉環系統的穩定性；但是，如果狀態反饋矩陣K未知，即在須要設計狀態反饋控制律以使得閉環系統漸近穩定的情況下，式（28）則是一個雙線性矩陣不等式，須要借助專業工具包如TOMLAB、 PENLAB等求解。
如果不要求無記憶狀態反饋控制，那么也可以通過線性不等式的可行解來求取控制律。根據文獻［5］中的方法，對式（19）作狀態增廣，得
zk+1=Ψzk+［H～n0+D～F（τk）E］μk ，（29）
式中： zk=xkuk-1；
Ψ=GH0I； H～n0=Hn0I；
D～=D0； μk=uk-uk-1。
取控制律為
μk=K～zk ，（30）
則閉環系統方程為
zk+1=［Ψ+H～n0K～+D～F（τk）EK～］zk ，（31）
由此得到定理2。
定理2 對系統（29），采用式（30）所示的控制律，閉環系統（31）漸近穩定的充分條件是存在對稱正定矩陣X、 矩陣Y，標量εgt;0，使得線性矩陣不等式（32）成立，并且K～=YX-1為待求的狀態反饋矩陣，
-X+εD～ D～TΨX+H～n0Y0
*-X（EY）T
**-εI
。（32）
證明 取Lyapunov函數為V（k）=zTkPzk，令
ΔV（k）=zTk+1Pzk+1-zTkPzklt;0 ，
將式（31）代入，則上式等價于
［Ψ+H～n0K～+D～F（τk）EK～］TP［Ψ+H～n0K～+
D～F（τk）EK］-Plt;0 。
與定理1的推導過程相同，可得式（32），具體過程從略。證畢。
4 算例研究
為了便于比較，本文中采用與文獻［6］中相同的3個算例。
算例1 雙質量-彈簧-阻尼系統如圖2所示，
m1、 m2—質量塊1、 2的質量； k1、 k2—彈簧1、 2的彈性系數；
b1、 b2—阻尼器1、 2的阻尼常數； f1、 f2—作用在質量塊1、 2上
的力； y1、 y2—質量塊1、 2的位移； v1、 v2—質量塊1、2的速度。
圖2 雙質量-彈簧-阻尼系統
設m1和m2分別為質量塊1、 2的質量，k1和k2分別為彈簧1、 2的彈性系數，b1和b2分別為阻尼器1、 2的阻尼常數， f1和f2分別為作用在質量塊1、 2上的力， y1和y2分別為質量塊1、 2的位移， v1和v2分別為質量塊1、 2的速度。
定義狀態變量為x=（y1， y2， v1， v2）T，控制輸入u=（f1， f2）T，則系統模型可表示為
x·（t）=0010
0001
-k1-k2m1k2m1-b1-b2m1b2m1
k2m2-k2m2b2m2-b2m2
x（t）+00
00
1m10
01m2
u（t）
式中： m1=2 kg； m2=1 kg； k1=1.5 N/m； k2=1 N/m； b1=2 N·s/m； b1=0.5 N·s/m。可以發現，系統矩陣有2對共軛復數特征值， λ1，2=-0.635 5±j1.138 5， λ3，4=-0.239 5±j0.619 5。取采樣周期T=0.2 s， τm=0， τM=T。根據前述方法，可求出λ1，2所對應的指數不確定項的范數上界為0.099 8，標稱點為τn1=0.103 2，λ3，4所對應的指數不確定項的范數上界為0.100 0，標稱點為τn2=0.101 2，范數上界均小于文獻［6］中的結果。根據定理2，將式（32）中的Y用K～X代替，并令K～=（K-I），這樣，式（32）就轉化為關于K、 X和ε的雙線性矩陣不等式，用PENLAB軟件求解該矩陣不等式，可求得狀態反饋矩陣為
K=0.021 30.061 4-0.092 7-0.010 1
-0.225 8-0.157 5-0.133 1-0.427 6。
假設初始條件x0=x（0）=（1， 0.5， 0， 0）T， u-1=（0， 0）T，在用文獻［6］的定理2求得的狀態反饋控制律作用下的狀態響應曲線如圖3（a）所示，在用本文中定理2所得狀態反饋控制律作用下的狀態響應曲線如圖3（b）所示。由圖3可見，在用本文中定理2所得的狀態反饋控制器作用下，其狀態響應在10 s處已接近于0，而文獻［6］中得到的控制器，其狀態響應在15 s時才接近0，因此，本文中定理2的結果的響應過程明顯優于文獻［6］中定理2的結果。事實上，如采用如式（30）所示的有記憶狀態反饋控制器，能取得更好的控制效果。
算例2 考慮如下的線性定常對象：
x·（t）=010-0.1x（t）+0
0.1u（t） ，
采樣周期T=1.0 s。在無網絡誘導時延時， 狀態反饋矩陣K=（-3.75 -11.5）能使得閉環系統漸近穩定。 存在網絡誘導時延時， 時延下界從τm=0 s開始逐步增大， 按文獻［6］中的正向搜索方法， 求出與不同的時延下界相對應的時延上界， 結果見表1。 由表中數據可以發現， 由于本文中提出的方法采用了一般形式的Lyapunov函數， 因此在各種時延下界的情況下所得到保證系統穩定的時延上界要大于文獻［6］中定理1的計算結果。 同時， 在時延下界大于0.424 3 s時， 文獻［6］中的定理1的線性矩陣不等式沒有可行解，而本文中方法依然有可行解，直到時延下界達到約0.712 0 s時， 才沒有可行解， 此時對應的固定時延的系統在狀態反饋矩陣不變時將變得不穩定。
算例3 考慮如下狀態方程所描述的被控對象：
x·（t）=-10-0.51-0.50000.5
x（t）+001u（t） ，
取采樣周期為T=0.5 s。文獻［6］中在不同的時延下界的情況下計算了存在狀態反饋控制律以保證系統漸近穩定的最大允許時延的上界的估計值，根據本文中定理2，通過觀察線性矩陣不等式（32）是否存在可行解（即是否存在狀態反饋控制律（30）使閉環系統漸近穩定）的方法來估計最大允許時延的上界，結果見表2。由表可知，運用本文中提出的方法可將最大允許時延上界增大到一個采樣周期，大大減小了結論的保守性。求解線性矩陣不等式（32），得控制律（30）中的K～=（0.042 5，0.026 3，-0.871 4， -1.070 5），取系統的初始狀態為x0=（-5， 0， 5）T， u-1=0，系統的狀態響應曲線如圖4所示。由圖可見，該狀態響應過程雖然與文獻［20］中的狀態響應過程差別不大， 但圖中狀態響應過程是在τM=T的情況下得到的，而文獻［20］中響應曲線對應的網絡誘導時延的上界為0.2T，因此，本文中提出的方法能適應更大的時延的情況，因而時延上界估計值的保守性較小。
5 結論
本文中研究了一種新的時變短時延網絡控制系統的穩定性分析和控制器設計方法，提出一種改進的標稱點方法，通過線性變換對系統進行Jordan分解，根據不同的特征值選擇不同的子系統的標稱點，將短時延網絡控制系統建模為范數有界的離散不確定系統，給出了不確定項的范數上界。本文中給出的范數的上界僅在子系統的系統矩陣存在重特征值時具有保守性，其余情況下均是準確的上界，因此，采用本文中提出的建模方法可使不確定項的范數上界估計的保守性大大減小。在穩定性分析中，采用更一般形式的Lyapunov函數，適應范圍更加廣泛，同樣也減小了控制器設計過程中的保守性。最后通過仿真算例與現有文獻中的結果進行了比較，結果證明了本文中提出的方法的有效性。
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（責任編輯：劉 飚）
基金項目： 國家自然科學基金項目（62303075）
第一作者簡介： 鄒全（1980—），女，江蘇常州人。講師，碩士，研究方向為信號與信息處理。E-mail： 16718161@qq.com。
