Ding模范疇上的模型結構

設R為有單位元的結合環，首先證明Ding投射維數有限的R-模范疇DP^lt;∞（R）和Ding內射維數有限的R-模范疇DI^lt;∞（R）為冪等完備正合范疇，其次分別構造DP^lt;∞（R）和DI^lt;∞（R）中的正合模型結構，并證明這2個模型范疇的同倫范疇，分別三角等價于Ding投射模的穩定范疇DP（R）和Ding內射模的穩定范疇DI（R）.

Ding投射模; Ding內射模; 模型結構; 穩定范疇

O154

A

0422-05

03.014

貫穿全文，所有環均指有單位元的結合環，若無特別說明，所有模均指左模.設R為環，用Mod（R）表示左R-模類，分別用P（R）（F（R）、I（R）、FI（R）、GP（R）、GI（R）、DP（R）、DI（R））表示投射（平坦、內射、FP-內射、Gorenstein投射、Gorenstein內射、Ding投射、Ding內射）模類，分別用pdRM（fdRM、idRM、FP-idRM）表示R-模M的投射（平坦、內射、FP-內射）維數，分別用P^lt;∞（R）（F^lt;∞（R）、I^lt;∞（R）、FI^lt;∞（R）GP^lt;∞（R）、GI^lt;∞（R）、DP^lt;∞（R）、DI^lt;∞（R））表示投射（平坦、內射、FP-內射、Gorenstein投射、Gorenstein內射、Ding投射、Ding內射）維數有限的模類.

1967年，Quillen^[1]提出了模型范疇的概念.一個Abel范疇A上的模型結構是指滿足一些性質的3類態射，分別稱為（平凡）余纖維化、（平凡）纖維化和弱等價.一個模型范疇是指具有模型結構的雙完備范疇.2002年，Hovey^[2]發現Abel范疇A上的模型結構與A中對象類的三元組（C，W，F）有一一對應關系，其中W為thick類（W對直和項封閉且W中任意短正合列滿足2-out-of-3性質），（C∩W，F）和（C，W∩F）為A中的完備余撓對.將滿足上述2個條件的三元組（C，W，F）稱為A中的Hovey三元組.一個范疇A上的模型結構可以由Hovey三元組（C，W，F）決定，其中，C為余纖維對象類，F為纖維對象類，W為平凡對象類，其模型結構中的（平凡）余纖維化是單態射且余核為（平凡）余纖維對象，（平凡）纖維化是滿態射且核為（平凡）纖維對象，弱等價是可分解為平凡余纖維化和平凡纖維化復合的態射.如果完備余撓對（C∩W，F）和（C，W∩F）還是遺傳的，則稱（C，W，F）為遺傳Hovey三元組.2011年，Gillespie^[3]定義了正合范疇上的模型結構，證明了在（弱）冪等完備正合范疇A上的模型結構與A中的Hovey三元組（C，W，F）一一對應.

稱雙邊諾特且左右自內射維數有限的環為Gorenstein環.2002年，Hovey^[2]在Gorenstein環R上構造了Mod（R）中的2種模型結構（GP（R），P^lt;∞（R），Mod（R））和（Mod（R），I^lt;∞（R），GI（R））.稱雙邊凝聚且左右自FP-內射維數有限的環為Ding-Chen環.2010年，Gillespie^[4]在Ding-Chen環R上構造了Mod（R）中的2種模型結構（DP（R），F^lt;∞（R），Mod（R））和（Mod（R），FI^lt;∞（R），DI（R））.由文獻[5]知，當R為Gorenstein環時，Mod（R）=GP^lt;∞（R）=GI^lt;∞（R），所以Gorenstein環R上Mod（R）中的2種模型結構可以分別轉化為一般環R上冪等完備正合范疇GP^lt;∞（R）和GI^lt;∞（R）中的正合模型結構（GP（R），P^lt;∞（R），GP^lt;∞（R））和（GI^lt;∞（R），I^lt;∞（R），GI（R）），參見文獻[6].眾所周知，凝聚環是諾特環的推廣，所以Ding-Chen環是Gorenstein環的推廣.但當R為Ding-Chen環時，由文獻[7]知，Mod（R）=DP^lt;∞（R）=DI^lt;∞（R）不一定成立.

受以上研究的啟發，本文分別構造了一般環R上DP^lt;∞（R）和DI^lt;∞（R）中的正合模型結構.證明了三元組（DP（R），F^lt;∞（R），DP^lt;∞（R））為冪等完備正合范疇DP^lt;∞（R）中的遺傳Hovey三元組，其模型范疇的同倫范疇三角等價于Ding投射模的穩定范疇.證明了三元組（DI^lt;∞（R），FI^lt;∞（R），DI（R））為冪等完備正合范疇DI^lt;∞（R）中的遺傳Hovey三元組，其模型范疇的同倫范疇三角等價于Ding內射模的穩定范疇.

1 預備知識

定義 1^[5]

設X、Y是R-模類.記

⊥Y={M∈Mod（R）|Ext1R（M，B）=0，B∈Y}，

X⊥={M∈Mod（R）|Ext1R（A，M）=0，A∈X}，

稱對子（X，Y）是余撓對，如果X⊥=Y且⊥Y=X.稱余撓對（X，Y）是完備的，如果對每個R-模M，存在短正合列

0→B→A→M→0

和

0→M→B′→A′→0，其中，B，B′∈Y，A，A′∈X.稱余撓對（X，Y）是遺傳的，如果對任意A∈X，B∈Y，有Ext^i≥1R（A，B）=0.

定義 2^[4]

1） 稱R-模M為Ding投射模，如果存在投射R-模的正合序列

P=…→P0→P1→P0→P1→…，

使得Mker（P0→P1）且對任意F∈F（R），序列HomR（P，F）仍正合.用DP（R）表示Ding投射R-模類.

2） 稱R-模N為Ding內射模，如果存在內射R-模的正合序列

I=…→I1→I0→I0→I1→…，

使得Nker（I0→I1）且對任意E∈FI（R），序列HomR（E，I）仍正合.用DI（R）表示Ding內射R-模類.

引理 1^[8]

DP（R）和DI（R）關于直和項封閉.

引理 2^[9]

1） 設M為Ding投射模，則以下結論成立：

（i） 對任意平坦維數有限的R-模L，有

Ext^i≥1R（M，L）=0.

（ii） M為投射模或fdRM=∞.

2） 設N為Ding內射模，則以下結論成立：

（i） 對任意FP-內射維數有限的R-模E，有Ext^i≥1R（E，N）=0.

（ii） N為內射模或FP-idRN=∞.

定義 3^[10]

1） 設M是任意R-模，M的Ding投射維數定義為

DpdRM=inf{n|存在正合列0→Gn→…→

G1→G0→M→0，其中Gi∈DP（R）}.

若不存在這樣的n，則記DpdRM=∞.用DP^lt;∞（R）表示Ding投射維數有限的R-模類.

2） 設N是任意R-模，N的Ding內射維數定義為

DidRN=inf{n|存在正合列0→N→E0→E1→…→En→0，其中Ei∈DI（R）}.

若不存在這樣的n，則記DidRN=∞.用DI^lt;∞（R）表示Ding內射維數有限的R-模類.

注 1

由于投射模是Ding投射模，因此

DpdRM≤pdRM.特別地，當pdRMlt;∞時，等號成立.類似地，由于內射模是Ding內射模，因此DidRN≤idRN.特別地，當idRNlt;∞時，等號成立.

定義 4^[11]

設X為R-模類，M為R-模.M的X-預覆蓋是一個R-同態φ：X→M，其中X∈X，使得對所有X′∈X，序列

HomR（X′，X）HomR（X′，φ）HomR（X′，M）→0

正合.（對偶地，可定義M的X-預包絡）.

引理 3^[11]

1） 設M為R-模.若DpdRM=nlt;∞，則M存在滿的DP-預覆蓋φ：GM，使得K=ker（φ）滿足pdRK=n－1.（如果n=0，則K=0）.

2） 設N為R-模.若DidRN=nlt;∞，則N存在單的DI-預包絡ψ：NH，使得L=coker（ψ）滿足idRL=n－1.（如果n=0，則L=0）.

引理 4

1） 設M為R-模，且DpdRMlt;∞，若M∈DP（R）⊥，則pdRM=DpdRM.

2）設N為R-模，且DidRNlt;∞，若N∈⊥DI（R），則idRN=DidRN.

證明

只證明1），2）的證明和1）類似.設DpdRM=n，則由引理3的1）可得短正合列

0→K→A′→M→0，

其中，A′∈DP（R），pdRK=n－1.因為A′∈DP（R），所以由定義可得短正合列

0→A′→Q→A→0，

其中，Q∈P（R），A∈DP（R）.考慮下列推出圖：

00

0KA′M0

0KQH0

AA

00

由最中間一行可知

pdRH=pdRK+1=n，即H∈P^lt;∞（R）.又由假設可得Ext1R（A，M）=0，即短正合列

0→M→H→A→0

（1）

可裂，所以HMA.因為P^lt;∞（R）對直和項封閉，所以pdRMlt;∞，因此pdRM=DpdRM.

2 主要結果

本節首先證明DP^lt;∞（R）和DI^lt;∞（R）為冪等完備正合范疇，其次構造這2個范疇中的正合模型結構，并且證明這2個模型范疇的同倫范疇，分別三角等價于Ding投射模的穩定范疇和Ding內射模的穩定范疇.

引理 5

1） DP^lt;∞（R）∩F^lt;∞（R）=P^lt;∞（R）.

2） DI^lt;∞（R）∩FI^lt;∞（R）=I^lt;∞（R）.

證明

只證明1），2）的證明和1）類似.首先證明“”：設M∈DP^lt;∞（R）∩F^lt;∞（R），且DpdRM=n，則存在正合列

0→Kn→Pn－1→…→P1→P0→M→0，

其中，Pi∈P（R）（i=0，1，…，n－1），Kn∈DP（R）.因為fdRMlt;∞，所以fdRKnlt;∞，則由引理2的1）（ii）知Kn∈P（R），因此pdRM≤n，故M∈P^lt;∞（R）.

其次證明“”：設M∈P^lt;∞（R），因為P（R）DP（R）且P（R）F（R），所以DpdRM≤pdRM且fdRM≤pdRM，所以M∈DP^lt;∞（R）且M∈F^lt;∞（R），故M∈DP^lt;∞（R）∩F^lt;∞（R）.

注 2

稱A為Frobenius范疇，如果A是具有足夠多投射對象和足夠多內射對象的正合范疇，并且投射對象和內射對象一致.對任意的Frobenius范疇A，其穩定范疇A為商范疇A/～，這里“～”的定義是：設f＼，g為范疇A中任意2個態射，若它們的差f－g可以通過投射-內射對象分解，則f～g.由文獻[12]知，Frobenius范疇的穩定范疇可以作成三角范疇.因為DP（R）（DI（R））為投射（內射）可解類，所以DP（R）（DI（R））按照通常的正合結構構成正合范疇.

下面證明DP（R）（DI（R））為Frobenius范疇.

命題 1

1） DP（R）為Frobenius范疇，其投射-內射對象為所有投射R-模.特別地，DP（R）的穩定范疇DP（R）是三角范疇.

2） DI（R）為Frobenius范疇，其投射-內射對象為所有內射R-模.特別地，DI（R）的穩定范疇DI（R）是三角范疇.

證明

只證明1），2）的證明和1）類似.取DP（R）中任意短正合列0→X→Y→Z→0.因為對任意投射左R-模P，有

Ext1R（P，X）=0=Ext1R（Z，P），

所以由長正合序列引理得

HomR（P，Y）→HomR（P，Z）→Ext1R（P，X）=0，

HomR（Y，P）→HomR（X，P）→Ext1R（Z，P）=0.

因此，投射R-模在DP（R）中既是投射對象又是內射對象.對任意X∈DP（R），根據定義，存在R-模的短正合序列

0→X′→P′→X→0

和

0→X→P″→X″→0，其中，P′，P″∈P（R），X′，X″∈DP（R）.因此，正合范疇DP（R）具有足夠多的投射對象和足夠多的內射對象，故DP（R）為Frobenius范疇，其穩定范疇DP（R）是三角范疇.

引理 6

DP^lt;∞（R）和DI^lt;∞（R）為冪等完備正合范疇.

證明

首先由文獻[11]的命題2.3知，DP^lt;∞（R）對擴張封閉，所以DP^lt;∞（R）為正合范疇.此外，由文獻[11]的定理2.3知，DP^lt;∞（R）對直和項封閉，所以DP^lt;∞（R）為冪等完備正合范疇.類似地，可證明DI^lt;∞（R）也為冪等完備正合范疇.

注 3

設A為具有正合模型結構（C，W，F）的弱冪等完備正合范疇，根據文獻[3]的命題5.2（4）知，Acf=C∩F是Frobenius范疇，其投射-內射對象為C∩W∩F.對任意對象M，N∈Acf，根據文獻[3]的命題4.4（5）知，任意2個態射f，g：M→N在A中同倫，當且僅當它們的差f－g可以通過

C∩W∩F分解.因此，結合注2知Acf/～=Acf，故Acf/～具有自然的三角結構.此外，根據文獻[13]的推論1.2.7及其定理1.2.10（i）知，包含Acf→A誘導了等價Acf/～→Ho（A），這里的Ho（A）為模型范疇A的同倫范疇（即，弱等價的局部化）.通過等價，同倫范疇Ho（A）具有三角結構.因此，等價

Ho（A）Acf/～是三角等價.

下面通過Hovey對應來構造DP^lt;∞（R）和DI^lt;∞（R）中的正合模型結構.

定理 1

1） 設A=DP^lt;∞（R），則三元組（DP（R），F^lt;∞（R），DP^lt;∞（R））為冪等完備正合范疇A中的遺傳Hovey三元組，并且模型范疇A的同倫范疇三角等價于Ding投射模的穩定范疇，即

Ho（A）DP（R）.

2） 設B=DI^lt;∞（R），則三元組（DI^lt;∞（R），FI^lt;∞（R），DI（R））為冪等完備正合范疇B中的遺傳Hovey三元組，并且模型范疇B的同倫范疇三角等價于Ding內射模的穩定范疇，即

Ho（B）DI（R）.

證明

只證明1），2）的證明和1）類似.顯然，F^lt;∞（R）為thick類，下面需要證明

（DP（R），Flt;∞（R）∩DPlt;∞（R））

和

（DP（R）∩Flt;∞（R），DPlt;∞（R））

為DP^lt;∞（R）中的完備遺傳余撓對.

由引理5知

DP^lt;∞（R）∩F^lt;∞（R）=P^lt;∞（R）.

由引理2的1）（ii）知，若M∈DP（R）且fdRMlt;∞，則M∈P（R）.因此，只需證明（DP（R），P^lt;∞（R））和（P（R），DP^lt;∞（R））為DP^lt;∞（R）中的完備遺傳余撓對.

首先證明（DP（R），P^lt;∞（R））為DP^lt;∞（R）中的完備遺傳余撓對.由引理2的1）（i）知，對任意G∈DP（R），A∈P^lt;∞（R），有Ext^i≥1R（G，A）=0.因此，得到

DP（R）⊥P^lt;∞（R）

和

P^lt;∞（R）DP（R）⊥.下證DP（R）⊥P^lt;∞（R）.設M∈⊥P^lt;∞（R），因為DpdRMlt;∞，所以由引理3知，存在短正合列

0→A→G→M→0，

（2）

其中，G∈DP（R），A∈P^lt;∞（R）.由假設可得

Ext1R（M，A）=0，所以短正合列（2）可裂，則GAM.又由引理1知，DP（R）對直和項封閉，故M∈DP（R）.所以得到

DP（R）=⊥P^lt;∞（R）.

下證P^lt;∞（R）DP（R）⊥.設M∈DP（R）⊥，因為DpdR（M）lt;∞，所以由引理4知pdRM=DpdRM，則M∈P^lt;∞（R）.因此，得到P^lt;∞（R）=DP（R）⊥，故（DP（R），P^lt;∞（R））為DP^lt;∞（R）中的遺傳余撓對.對任意M∈DP^lt;∞（R），由短正合列（1）和（2）的存在性可得余撓對（DP（R），P^lt;∞（R））的完備性.

其次證明（P（R），DP^lt;∞（R））為DP^lt;∞（R）中的完備遺傳余撓對.因為對任意P∈P（R），A∈DP^lt;∞（R），有Ext^i≥1R（P，A）=0，所以得到

DP^lt;∞（R）P（R）⊥

和

P（R）⊥DP^lt;∞（R）.

考慮在DP^lt;∞（R）內，總有DP^lt;∞（R）P（R）⊥，故

DP^lt;∞（R）=P（R）⊥.

下證P（R）⊥DP^lt;∞（R）." 設M∈⊥DP^lt;∞（R），對M進行投射分解，則存在短正合列

0→A→P→M→0，

（3）

其中，P∈P（R）.因為M∈DP^lt;∞（R），所以由文獻[11]的命題2.3知A∈DP^lt;∞（R）.由假設可得Ext1R（M，A）=0，所以短正合列（3）可裂，則PAM，故M∈P（R）.因此，得到

P（R）=⊥DP^lt;∞（R），

故（P（R），DP^lt;∞（R））為DP^lt;∞（R）中的遺傳余撓對.對任意M∈DP^lt;∞（R），存在短正合列

0→M→M→0→0且由短正合列（3）的存在性，所以得到余撓對（P（R），DP^lt;∞（R））的完備性.

因為

Acf=DP（R）∩DP^lt;∞（R）=

DP（R），

C∩W∩F=DP（R）∩F^lt;∞（R）∩

DP^lt;∞（R）=P（R），所以由命題1和注3得三角等價

Ho（A）DP（R）.

參考文獻

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Model Structures over Ding Module Categories

TANG Qiangling， ZHANG Chunxia

（School of Mathematical Sciences， Chongqing Normal University， Chongqing 401331）

Let R be an associative ring with identity. We first prove that the category of R modules of finite Ding projective dimension DP^lt;∞（R） and the category of R modules of finite Ding injective dimensionDI^lt;∞（R） are idempotent， complete and exact categories. Secondly， the exact model structures in these two categories are constructed， where the associated homotopy categories are triangulated equivalent to the stable category of Ding projective modules DP（R） and Ding injective modules DI（R）， respectively.

Ding projective module; Ding injective module; model structures; stable category

2020 MSC：18N40

（編輯 余 毅）