放回不放回 迥異須辨明

在概率問題中，放回與不放回是兩種重要的基本抽樣方式，這兩種方式直接影響概率的大小. 下面結(jié)合例題具體分析.

知識鏈接

放回抽樣是指每次抽取一個單位樣本調(diào)查統(tǒng)計之后會將該樣本放回到總體中，其特點是下次抽樣時該單位樣本還有同等的機(jī)會被抽到，總體在抽樣過程中保持不變；不放回抽樣是指每次抽取一個單位樣本調(diào)查統(tǒng)計之后不再將該樣本放回到總體中，其特點是下次抽樣時總體中沒有之前被抽取的樣本，這些樣本不會再被抽中，總體的數(shù)目也會不斷減小.

誤區(qū)剖析

解答概率中的放回與不放回問題時，常見誤區(qū)如下：

1. 混淆放回與不放回抽樣方式，導(dǎo)致計算錯誤；

2. 忽視樣本數(shù)量的變化，特別是不放回抽樣中，忽視總體數(shù)目在不斷減小；

3. 審題不仔細(xì)，未準(zhǔn)確理解題目中條件，進(jìn)而未區(qū)分是放回抽樣還是不放回抽樣.

典例分析

例1 不透明的袋子中裝有1個紅球、2個白球，這些球除顏色外無其他差別，從中隨機(jī)摸出一個球，放回并搖勻，再從中隨機(jī)摸出一個球，那么兩次都摸出白球的概率是_______.

解析：列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩次都摸出白球的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案.

列表如下：

共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次都摸出白球的結(jié)果有4種，

∴兩次都摸出白球的概率為4/9. 故填4/9.

例2 一個不透明的盒子里裝有一個紅球、一個白球和一個綠球，這些球除顏色外都相同. 從中隨機(jī)摸出一個球，記下顏色后不放回，再從中隨機(jī)摸出一個球，則兩次摸到的球恰好有一個紅球的概率是______.

解析：列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩次摸到的球恰好有一個紅球的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案.

列表如下：

共有6種等可能的結(jié)果，其中兩次摸到的球恰好有一個紅球的結(jié)果有（紅，白），（紅，綠），（白，紅），（綠，紅），共4種，

∴兩次摸到的球恰好有一個紅球的概率為4/6=2/3.

例3 在一個不透明的袋子里有除顏色外完全相同的紅、黃、藍(lán)小球各一個，對于甲、乙兩人不同要求的作業(yè)，下列說法正確的是______.

A. 甲對，乙不對 B. 甲不對，乙對

C. 兩人都對 D. 兩人都不對

解析：甲是不放回摸球，利用畫樹狀圖法或者列表法可解，解答正確；乙是有放回摸球，利用列表法可解，解答正確.

故選C.

拓展訓(xùn)練

1. 一只不透明的袋子中裝有1個白球、1個紅球和1個綠球，這些球除顏色外都相同，將球攪勻，從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球.求兩次摸到的球顏色不同的概率.

2. 3張相同的小紙條上分別寫有“石頭”“剪子”“布”. 將這3張小紙條做成3支簽，放在不透明的盒子中攪勻. 甲、乙兩人通過抽簽分勝負(fù)，規(guī)定：“石頭”勝“剪子”，“剪子”勝“布”，“布”勝“石頭”. 甲先從盒子中任意抽出1支簽（不放回），乙再從余下的2支簽中任意抽出1支簽，求甲取勝的概率.

3. 為估計某地區(qū)黃羊的只數(shù)，先捕捉20只黃羊分別做上標(biāo)志，然后放回，待有標(biāo)志的黃羊完全混合于黃羊羊群后，第二次捕捉60只黃羊，發(fā)現(xiàn)其中兩只有標(biāo)志，從而估計該地區(qū)有黃羊______只.

4. 一個不透明的袋子內(nèi)裝有3個紅球、2個黃球、1個藍(lán)球，它們除顏色外其余均相同. 現(xiàn)從中隨機(jī)摸出一球，記下顏色后不放回攪勻，如此繼續(xù). 根據(jù)下表，小明在摸完兩次后，第3次摸球摸到紅色的概率是（ ）

A.1/2 B.1/4 C.3/4 D.1/3

5. 將三張除了正面所標(biāo)數(shù)字不同外（分別寫有數(shù)字3，4，5）其余均相同的撲克牌倒扣在桌面上，嘉淇根據(jù)抽牌結(jié)果畫出了如下圖所示正確的樹狀圖. 對于抽牌規(guī)則，有下列說法：

①隨機(jī)抽出一張牌放回，再隨機(jī)抽出一張牌；

②隨機(jī)抽出一張牌不放回，再隨機(jī)抽出一張牌；

③同時隨機(jī)抽出兩張牌.

其中符合樹狀圖抽牌規(guī)則的是（ ）.

A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③

6. 袋中裝有紅、黃、藍(lán)3個球，依次拿兩個（不放回），現(xiàn)給出以下四個關(guān)于概率的結(jié)論：

①第1次和第2次拿到紅球的概率不一樣；

②第1次拿到紅球的同時，第2次拿到黃球與第2次拿到藍(lán)球的概率一樣；

③第1次拿到紅球的同時，第2次拿到黃球與第2次拿到藍(lán)球的概率不一樣；

④第1次拿到紅球且第2次拿到藍(lán)球的概率，與第1次拿到藍(lán)球且第2次拿到紅球的概率一樣.

其中正確的為（ ）.

A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④

答案：1.2／3 2.1／2 3. 600 4. B 5. D 6. D

（作者單位：大連市西崗區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬學(xué)校）