身邊的概率問題

在日常生活中我們經常會遇到用概率知識來進行決策的問題，下面結合例題具體介紹.

典例剖析

例1 某保險公司的一張關于某地區的生命表的部分摘錄如下：

根據上表解答下列各題：

（1）某人今年50歲，他當年去世的概率是多少？他活到80歲的概率是多少？（保留三位有效數字）

（2）如果有20 000個50歲的人參加該保險，當年死亡的人均賠償金為10萬元，預計保險公司需付賠償金的總額為多少？

解析：本題主要考查利用頻率估算的問題. 準確從表格中獲取信息是解題關鍵.

（1）P（50歲去世的人）= 951 ÷ 78 009 ≈ 0.012 2；

P（活到80歲）= 16 078 ÷ 78 009 ≈ 0.206.

（2）951 ÷ 78 009 × 20 000 × 10 ≈ 2 438.18（萬元）.

例2 “十一”黃金周期間，某購物廣場舉辦迎國慶有獎銷售活動，每購物滿100元，就會有一次轉動大轉盤的機會，請你根據大轉盤（如圖1）來計算：

（1）享受7折優惠的概率；

（2）得20元的概率；

（3）得10元的概率；

（4）中獎得錢的概率.

解析：本題考查知識點為幾何概率，解題關鍵是把事件的概率轉化為扇形面積和圓的面積的比.

（1）享受7折優惠的概率為80／360 =2／9；

（2）得20元的概率為90／360 =1／4；

（3）得10元的概率為60 + 60／360 =1／3；

（4）中獎得錢的概率為90 + 60 + 60／360 = 7／12 .

例3 某商場為掌握元旦期間顧客進店購物時刻的分布情況，元旦當天將顧客購物的時刻t 分為四個時間段：A 段，7：00 ≤ t lt; 11：00；B 段，11：00 ≤ t lt; 15：00；C 段，15：00 ≤ t lt; 19：00；D段，19：00 ≤ t ≤ 23：00. 該商場統計了5000名顧客的購物時刻，并繪制出了顧客購物時刻的扇形統計圖和頻數分布直方圖，如圖2所示，其中扇形統計圖中A，B，C，D 四段各部分圓心角的度數比為1∶3∶4∶2. 請根據以上信息解答下列問題：

（1）補全頻數分布直方圖，顧客購物時刻的中位數落在_______（填寫表示時間段的字母）段.

（2）為活躍節日氣氛，該商場設置購物后抽獎，設立了特等獎一個、一等獎兩個、二等獎若干，并隨機分配到了A，B，C，D四個時間段中.

①特等獎出現在A時間段的概率是_______；

②請利用畫樹狀圖或列表的方法，求兩個一等獎出現在同一時間段的概率.

解析：本題考查了畫樹狀圖法求概率、中位數、扇形統計圖和頻數分布直方圖等知識. 畫樹狀圖法可以不重不漏地列舉出所有可能發生的情況，適合于兩步或兩步以上完成的事件.

（1）根據圓心角的比算出各部分的數量，求出C段的顧客人數，補全頻數分布直方圖，再由中位數的定義得出顧客購物時刻的中位數落在C組即可；

因為扇形統計圖中A，B，C，D四段各部分圓心角的度數比為1∶3∶4∶2，所以C段的顧客人數為：5000 × 4/1 + 3 + 4 + 2 = 2000（人）

補全頻數分布直方圖，如圖3所示.

因為扇形統計圖中A，B，C，D四段各部分圓心角的度數比為1∶3∶4∶2，且1 + 3 lt;4 + 2，所以顧客購物時刻的中位數落在C組.

（2）①直接根據概率公式進行計算即可.

因為各獎項隨機分配到了A，B，C，D四個時間段中，所以特等獎出現在A時間段的概率是1/4.

故答案為1/4.

②畫樹狀圖，再利用概率公式進行計算即可.

樹狀圖如圖4所示.

所以兩個一等獎出現在同一時間段的概率為4/16 =1/4.

總結提升

1. 當一次試驗涉及兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，為了不重復、不遺漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法或畫樹狀圖法. 當一次試驗涉及三個或更多個因素時，為了不重復、不遺漏地列出所有可能的結果，則通常只采用畫樹狀圖法. 列表和畫樹狀圖的目的都是不重不漏地列舉所有可能性相等的結果，在很多問題中，二者是共通的.

2. 在列舉可能結果的時候，需要注意是放回情形還是不放回情形.

拓展訓練

1.小明和小軍兩人一起做游戲．游戲規則如下：每人從1，2，…，12中任意選擇一個數，然后兩人各擲一次均勻的骰子，誰事先選擇的數等于兩人擲得的點數之和誰就獲勝；如果兩人選擇的數都不等于擲得的點數之和，就再做一次上述游戲，直至決出勝負．如果你是游戲者，你會選擇（ ）.

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

2.某校舉行“盛世華誕譜新篇，同心共筑中國夢”主題演講比賽，決賽階段只剩下甲、乙、丙、丁四名同學，則甲、乙兩名同學獲得前兩名的概率是______.

3. 看了“田忌賽馬”的故事后，小楊用數學模型來分析：齊王與田忌的上、中、下三個等級的三匹馬記分如下表，每匹馬只賽一場，兩場相比，大數為勝，三場兩勝則贏.已知齊王的三匹馬出場順序為10，8，6. 若田忌的三匹馬隨機出場，則田忌能贏得比賽的概率為______.

4. 圖5②是用圖5①的七巧板拼成的“龍馬精神”圖形，現將一個飛鏢隨機投擲到該圖形上，則飛鏢落在陰影部分的概率是______.

5. 一個不透明的箱子里裝有3個紅色小球和1個白色小球，每個小球除顏色外其他完全相同，每次把箱子里的小球搖勻后隨機摸出一個小球，記下顏色后再放回箱子里.

（1）現從該箱子里摸出1個小球，該球是白色小球的概率為______；

（2）現從該箱子里摸出1個小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個小球，用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率.

答案：1. C 2.1/6 3.1/6 4. 1/4 5.（1）1/4 （2）3/8.

（作者單位：遼寧省孤兒學校）