Sidon空間和循環子空間碼的構造

摘 要：子空間碼特別是循環子空間碼在隨機網絡編碼中具有高效的編碼和譯碼算法，因此近年來受到了廣泛關注.Sidon空間是構造循環子空間碼的重要工具，利用有限域上的本原元和不可約多項式的根，構造了不同維數的Sidon空間，并在此基礎上得到了碼字個數更多的循環子空間碼.

關鍵詞：有限域;循環子空間碼;Sidon空間;不可約多項式的根

中圖分類號：O157.4 文獻標志碼：A文章編號：1000-2367（2025）03-0066-06

子空間碼，尤其是循環子空間碼具有高效的編碼和譯碼算法，在隨機網絡編碼^［1-2］中得到了廣泛的應用.近年來，文獻［3-4］研究了子空間碼的構造方法，因此對于給定的n，k，q，尋找碼字個數和最小距離盡可能大的循環子空間碼也成為數學研究者關注的重點之一.目前，研究循環子空間碼主要有兩種思路：一種是通過線性化多項式構造循環子空間碼，如文獻［5］使用線性化多項式x^qk+x^q+x∈F_q［x］構造出碼字個數為（qⁿ-1/q-1），最小距離為2k-2的循環子空間碼.更多的用線性化多項式構造循環子空間碼的方法，可參考文獻［6-8］.另一種思路是用Sidon空間構造循環子空間碼.ROTH等^［9］提出了Sidon空間的概念，并找到了Sidon空間與循環子空間碼之間的關系.文獻［10］利用Sidon空間的并集來構造具有更多碼字的循環子空間碼，且最小距離仍然為2k-2.文獻［11］給出了幾個Sidon空間的直和仍然是Sidon的充分條件，為構造Sidon空間提供了新的思路.有關Sidon空間構造循環子空間碼的更多方法，可參考文獻［12-13］.本文利用有限域上的本原元和不可約多項式的根構造了一些新的Sidon空間，進而得到了新的循環子空間碼，并在此基礎上得到了碼字個數更多且最小距離仍為2k-2的循環子空間碼.

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Constructions of Sidon spaces and cyclic subspace codes

Liu Xuemei， Zhang Jiarong

（College of Science， Civil Aviation University of China， Tianjin 300300， China）

Abstract： Subspace codes， especially cyclic subspace codes， have attracted much attention in recent years due to their efficient coding and decoding algorithms in random network coding. Sidon space is an important tool for constructing cyclic subspace codes. In this paper， by using primitive elements and the root of irreducible polynomial over finite fields， we give a new construction of Sidon spaces with different dimensions， obtaining a new cyclic subspace code based on them.

Keywords： finite fields; cyclic subspace code; Sidon space; the root of irreducible polynomial

［責任編校 陳留院 楊浦］