考慮不確定性的武器多體系統快速魯棒性設計

摘要：考慮不確定性參數的武器多體系統魯棒性設計存在多體系統動力學建模、分析和魯棒性設計優化求解效率較低的難題。為此，基于概率論數理統計方法進行武器多體系統不確定性建模和表征，包括隨機參數快速識別和表征以及載荷隨機過程的高效模擬。以某艦載火炮為例，利用多體系統傳遞矩陣法進行炮口振動品質的快速求解，并與ADAMS仿真結果對比。基于PCE-Kriging（PCK）代理模型、多目標子集模擬優化方法和單循環魯棒性求解策略，將原始雙循環魯棒性設計優化問題轉化為單循環優化問題并進行高效求解。基于不確定性輸入、某艦炮的多體系統傳遞矩陣法動力學模型及相應的PCK代理模型，分別采用雙循環及單循環魯棒性設計優化方法進行該艦炮模型的魯棒性設計，對比優化結果驗證了所提快速魯棒性設計方法的性能。

關鍵詞：多體系統動力學；多體系統傳遞矩陣法；子集模擬優化；魯棒性設計優化

中圖分類號：TG156

Rapid Robust Design of Multibody Weapon Systems Considering Uncertainty

MA Yuanzhuo1 LI Chenxu^1* WANG Youyu2 ZHANG Zhiyong3 DING Anai4 LI Hongshuang4

1.College of Renewable Energy，Hohai University，Changzhou，Jiangsu，213200

2.School of Energy and Power Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing，210094

3.School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin，300072

4.School of Aeronautics，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing，210016

Abstract： The robust design of multibody weapon systems considering uncertain parameters had the problems of low efficiency in multibody system dynamics modeling， analysis and robust design solutions. Therefore， based on the probability theory and mathematical statistics， the uncertainties were formulated and characterized within multibody weapon systems， including quick identification and representation of random parameters， and the efficient simulation of load stochastic processes. Using naval artillery as an illustrative example， the multibody system transfer matrix method was quickly employed to ascertain the vibration quality of the artillery muzzles. The results were compared with ADAMS simulation outcomes. By harnessing PCE-Kriging（PCK） surrogate model， multi-objective subset simulation optimization method， and a single-cycle robust solution strategy， the original double-cycle robust design optimization problem was transformed into a single-cycle optimization problem and solved efficiently. Based on uncertain input， the dynamics model of multibody system transfer matrix method of a naval artillery and the PCK surrogate model， the robustness of the naval artillery model was finally designed using double-cycle and single-cycle robust design optimization methods. The performance of single-cycle robust design method was verified by comparing the optimization results.

Key words： multibody system dynamics; multibody system transfer matrix method; subset simulation optimization; robust design optimization

0 引言

考慮不確定性參數的武器多體系統魯棒性設計問題涉及多個領域的研究，其中多體系統動力學是當今力學研究熱點之一，是兵器、船舶、航空、航天、車輛、通用機械等工業大量產品動態性能設計與試驗的重要基礎。近50年迅速發展起來的各類多體系統動力學方法^［1-6］普遍存在如下特征：必須建立系統總體動力學方程；系統拓撲結構一旦改變，系統總體動力學方程需重新推導；復雜系統總體動力學方程涉及矩陣階次高（通常不小于系統的自由度數），計算速度隨系統規模增大而明顯減慢。

RUI等^［7-10］基于傳遞矩陣思想提出并不斷完善了多體系統傳遞矩陣法。該方法無需系統總體動力學方程并使系統矩陣階次遠低于系統自由度數，實現了多剛體系統動力學、多剛柔體系統動力學、受控多體系統動力學、特別是復雜發射系統動力學的快速計算^［11-13］，但該方法還未能考慮多體系統在真實工況下普遍存在的不確定性影響。目前，國內外不確定性多體動力學分析的相關研究工作相對較少，且多采用區間方法處理多體系統中的不確定性^［14-16］。區間方法的優點是只需確定隨機參數上下界，所需先驗統計信息較少，但缺點是精度較差，容易“過度估計”隨機性對多體系統動力學響應的影響，導致不確定性建模的精度較低。因此，該類方法并不適用于考慮不確定性的多體系統魯棒性設計這類復雜問題。同時，在國內外針對多體系統魯棒性設計的研究中，不確定性多體系統動力學分析也仍以區間方法為主^［17］，并采用雙循環方法求解魯棒性設計優化問題^［18-22］，當前還沒有針對考慮不確定性參數的武器多體系統魯棒性設計的相關研究工作。

隨著計算機技術的不斷發展，代理模型方法逐步在上述面向復雜非線性結構響應的效率提升問題中得到有效應用。例如：基于元學習的多可信度深度神經網絡代理模型方法^［23］；Kriging代理模型方法^［24-27］；基于多項式響應模型、Kriging模型和徑向基函數模型方法的混合代理模型方法^［28］等。在尋找高效的求解策略的同時，如何合理嵌入代理模型進一步提高效率，也是當前考慮不確定性參數的武器多體系統魯棒性設計需要解決的問題。

總的來說，考慮不確定性的多體系統魯棒性設計目前仍然面臨著不確定性多體系統建模與分析的精度和效率較低、魯棒性設計求解效率較低等難題。針對上述問題，本文首先基于概率論數理統計的方法，進行武器多體系統不確定性的建模和表征；其次，以某艦載火炮為例，采用多體系統傳遞矩陣法建立艦炮多體系統動力學模型，并利用ADAMS軟件驗證動力學模型的精度；然后，利用PCE-Kriging（PCK）代理模型、多目標子集模擬優化方法和單循環魯棒性設計優化策略，從三方面提高考慮不確定性參數的武器多體系統魯棒性設計優化的計算效率；最后，基于本文建立的艦載火炮動力學模型，以雙循環魯棒性設計優化方法的優化結果為對照，驗證單循環魯棒性設計優化方法的效率。

1 多體系統不確定性識別和表征

多體系統在設計、制造和使用過程中不可避免地存在一些不確定性因素，這些不確定性因素往往影響著多體系統的性能和安全性，這些不確定因素包括隨機變量（時不變，如加工尺寸）及隨機過程（時變，如隨機激勵）等。因此，考慮不確定性參數的武器多體系統的魯棒性設計優化首先需要對系統中的隨機參數和隨機過程進行識別與表征。

1.1 隨機參數表征方法

為表征多體系統結構幾何尺寸及材料屬性參數中廣泛存在的隨機性，需首先利用數據相容性、異常性及等同性檢測等對原始輸入數據進行數據處理。然后，優先基于參數方法，在常規分布類型庫中，依據顯著性水平，為相應參數選取數據擬合精度最佳的分布類型。若各常規分布模型擬合精度均不達標，則采用基于最大熵準則的非參數方法，分別計算數據樣本的前四階統計矩，構成相應參數的近似概率密度函數。篇幅所限，數據處理和參數估計方法細節見文獻［29-30］。

1.2 載荷隨機過程模擬

在多體系統的運行過程中輸入載荷并不是一成不變的，常會受不確定性影響而出現波動。為更好地體現輸入載荷隨時間變化的特性（即時變特性），輸入載荷需要用隨機過程來表征。對于載荷等實測數據，需首先基于實測數據進行歸一化處理，并擬合得到歸一化均值、標準差及自相關函數等統計量與時間的函數關系；然后，可采用Karhunen-Loeve（K-L）級數展開法和級數最優線性估計（expansion optimal linear estimation， EOLE）兩種非侵入式方法對多體系統的隨機載荷進行隨機過程模擬。

1.2.1 K-L級數展開法

K-L級數展開法可模擬平穩和非平穩、高斯和非高斯隨機過程，這些隨機過程通常用于表示工程分析和設計中的空間變化或者時間變化量。

設隨機過程X（x，t）定義在概率空間（Ω，A，P）并在有界域D上索引，假設隨機過程的均值函數為（x），方差為E（X（x，t）－（x））2，限制邊界x∈D，這個隨機過程可以表示為

X（x，t）=（t）+∑∞i=1λiξi（t）gi（x）（1）

式中：ξi（t）為隨機參數；λi、gi（x）為協方差函數的特征值和特征函數。

1.2.2 EOLE方法

EOLE方法首先將目標時間的區間［0，T］離散為s個離散時間點ti， i=1，2，…，s?？紤]計算上的簡便，時間步長Δt一般取定值。在所有時間點處多維隨機變量的相關矩陣可以表示為

Σ=ρX（t1，t1）ρX（t1，t2）…ρX（t1，ts）ρX（t2，t1）ρX（t2，t2）…ρX（t2，ts）ρX（ts，t1）ρX（ts，t2）…ρX（ts，ts）s×s

（2）

設此矩陣的特征值和特征向量分別為ηi和φTi，隨機過程X（t）可以利用下式進行近似：

X（t）=μX（t）+σX（t）∑pi=1UiηiφTiρX（t）（3）

式中：Ui為相互獨立的標準正態隨機變量。

1.2.3 方法案例

利用某艦載火炮實測膛壓數據，通過擬合得到膛壓數據的歸一化均值、標準差、自相關函數及相應擬合函數，如圖1所示。然后利用K-L方法和EOLE方法對隨機過程進行表征，分別得到輸入膛壓抽樣樣本曲線，如圖2所示。不難發現：兩種方法抽樣模擬的膛壓隨機過程均與實測膛壓數據擬合所得的歸一化統計量基本一致。對于該問題，上述兩種模擬方法均可采用。為簡化描述，后文選取EOLE模擬的隨機過程作為魯棒性設計的載荷隨機過程輸入。

2 多體系統確定性建模

2.1 多體系統傳遞矩陣法建模

本節通過多體系統傳遞矩陣法建立多體系統的動力學響應求解模型，以圖3所示的某艦炮模型為例，其中俯仰體、回轉體和炮尾為剛體，身管為彈性體，俯仰體5的射角為θ。

首先，利用新版多體系統傳遞矩陣法（NVMSTMM）建立身管傳遞矩陣。每個元件輸入、輸出狀態矢量如下所示：

ZI=（X¨，Y¨，Z¨，Ω·x，Ω·y，Ω·z，Mx，My，Mz，Qx，Qy，Qz，1）TI

ZO=（X¨，Y¨，Z¨，Ω·x，Ω·y，Ω·z，Mx，My，Mz，Qx，Qy，Qz，1）TO（4）

每個元件傳遞方程為

ZO=UZI（5）

將彈性鉸進行切斷，分成兩個子系統，彈性鉸視為外力和外力矩加入剛體傳遞矩陣中?？偟膫鬟f矩陣為

Z9，8=U8U7U6U5Z5，4

Z4，3=U3Z2，1（6）

Z2，1=（X，Y，Z，Θx，Θy，Θz，0，0，0，0，0，0，1）TI

Z4，3=（X，Y，Z，Θx，Θy，Θz，0，0，0，0，0，0，1）TO

Z5，4=（X，Y，Z，Θx，Θy，Θz，0，0，0，0，0，0，1）TI

Z9，8=（X，Y，Z，Θx，Θy，Θz，0，0，0，0，0，0，1）TO

（7）

式中：U3、U5、U7、U8均為一端輸入一端輸出剛體傳遞矩陣，U6為滑移鉸傳遞矩陣。

相關的傳遞矩陣具體形式及推導過程見文獻［31］。兩個傳遞方程所有的邊界均為自由邊界條件。

將式（7）代入式（6），使用四階龍格庫塔方法積分求解，得到相應射角下炮口振動響應。

2.2 ADAMS有限元軟件建模

為驗證多體系統傳遞矩陣法的建模精度，本文使用ADAMS有限元法對艦炮進行建模，艦炮有限元模型如圖4所示。在ADAMS操作界面，定義積分格式為線性，選擇與炮尾連接處的標記點，并將連接方式定義為剛性，第二個標記點選擇為炮管口的一點，定義連接方式為自由，斷面為實心圓，直徑為0.1 m。設置仿真時間為1 s，步數為1000步，得到炮口處的X、Y方向的振動響應。

2.3 對比驗證

2.3.1 振動響應

傳遞矩陣法艦炮模型與ADAMS模型參數一致，取振動時間為1 s區間段，射角為45°時，所得計算結果與ADAMS有限元法結果對比，X和Y方向振動響應值見圖5。

2.3.2 振動品質

獲得炮口X及Y方向在時間歷程上的振動響應后，將炮口位置絕對位移X方向3.188 m、Y方向5.731 55 m扣除，獲得相應的相對位移。為綜合評價炮口的振動特性，本文按如下相對振動響應的均方根量化其綜合振動品質。

z=g21+g22

g1=∑ntt=1［x（ti）］2，g2=∑ntt=1［y（ti）］2

（8）

式中：nt為時間t離散點數。

按式（8）分別計算多體系統傳遞矩陣法及ADAMS有限元法所得的振動品質指標并進行比較，多體系統傳遞矩陣法所得結果相對于ADAMS方法誤差僅為2.91%。同時，上述單次動力學仿真計算，ADAMS方法需60 s，而多體系統傳遞矩陣法僅需45 s，在保證精度的同時效率更高。

3 多體系統快速魯棒性設計優化方法

3.1 問題描述

該多體系統魯棒性設計優化決策模型如下：

min μx（［g1（x，d）］2+［g2（x，d）］2）

min σx（［g1（x，d）］2+［g2（x，d）］2）

s.t. dlk≤dk∈d≤duk" k=1，2，…，n（9）

其中，μx（［g1（x，d）］2+［g2（x，d）］2）為X和Y方向振幅在時間歷程上二范數的平方和算術平方根均值；σx（［g1（x，d）］2+［g2（x，d）］2） 為相應的標準差。優化目標為兩個方向振幅均值及方差在時間歷程上的均方和最小。d為設計變量向量，x為相應的隨機變量向量。該案例中，x～N（d，σ），d取值范圍及相應變異系數如表1所示。

由表1可知，該考慮不確定性參數的武器多體系統減振魯棒性設計是一個雙目標優化問題。魯棒性設計在每一步設計點迭代時，均需要進行物理模型的不確定性傳播分析，如圖6所示，因此，該問題同時還是一個天然嵌套的雙循環問題。外循環為設計優化，需反復迭代方能收斂到最優，而內循環為不確定性傳播分析，通常需要對真實物理模型進行成千上萬次統計計算。內外嵌套后計算量十分巨大，這嚴重制約了該類魯棒性設計的求解效率和收斂精度。

針對上述問題，本文從代理模型、優化方法和設計策略三方面對魯棒性設計優化方法進行改進：①使用PCK代理模型擬合仿真過程的隱式方程，有效縮減真實動力學分析次數；②采用多目標子集模擬優化方法，提高確定性優化效率的同時避免優化陷入局部最優；③利用單循環魯棒性設計優化策略將雙循環的魯棒性設計問題轉化為單循環問題求解，提高計算效率。

3.2 PCK代理模型

武器多體系統的輸入設計變量與動力學特性之間的關系通常為強非線性隱式函數，這給武器多體系統綜合魯棒性設計帶來極大的阻礙。代理模型利用少量信息即可高效近似武器多體系統魯棒性設計的原始模型，能夠有效提高快速魯棒性設計的可行性。本文采用基于多項式混沌展開（PCE）和Kriging模型的PCK代理模型，其表達式如下：

gPCK（x）=∑P－1i=0ciψi（x）+z（x）（10）

式中：∑P－1i=0ciψi（x）為多項式混沌展開項；z（x）為隨機過程項。

以上文艦炮動力學模型為例，采用該方法建立炮口綜合響應指標g關于輸入設計變量的PCK代理模型，僅需50個訓練點（即真實動力學響應求解次數），其中，初始訓練點為12個，自適應增加訓練點38個。為驗證代理模型精度，將隨機選取測試點集處計算所得多體系統傳遞矩陣法、ADAMS有限元法的真實響應值和自適應PCK模型預測值一一對比，如表2所示，所得最大相對誤差僅為2.89%。不難發現，PCK模型能在保證精度的同時有效提高多體系統仿真計算效率。

3.3 多目標子集模擬優化

為實現魯棒性設計快速求解的同時有效避免優化陷入局部最優，本文采用多目標子集模擬優化求解該優化問題。原始單目標子集模擬優化方法的詳細過程可參考文獻［32］。

單目標與多目標子集模擬優化算法的主要區別集中在第二步樣本優劣的排序與種子樣本的選取。不同于單目標優化，多目標優化可直接利用目標函數值和約束值的大小作為判斷樣本優劣的依據，進而選擇合適的種子樣本，避免優化陷入局部最優。同時，由于考慮不確定性的多體系統魯棒性設計優化問題為雙目標問題，故本文選擇多目標子集模擬優化方法作為確定性設計優化方法，其優化流程如圖7所示。

本文針對原始雙循環魯棒性設計優化問題，提出整合子集模擬優化方法的單循環處理方法，單循環求解思路如圖8所示。

3.4 單循環魯棒性設計

單循環處理方法僅對鄰域樣本集內樣本點進行求解，可有效降低不確定性魯棒性設計的計算量，具體操作步驟如下：

1）初始化。初始化設計變量，并進行確定性設計優化。計算所得樣本點之間的歐氏距離，找到與任意樣本距離最近的點x，由它鄰域歐氏距離T內的樣本點集｛x1，x2，…，xk｝得到種子樣本矩陣η，對它們進行魯棒性設計，根據F=F（x），取響應值最大的樣本點作為閾值樣本。

2）更新。計算新的樣本點xk+1，并得出對應的響應值，若F（xk+1）≤F（xk），則更新其鄰域｛x1，…，xk，xk+1｝，以此更新種子樣本矩陣η，同時將樣本點xk+1加入信息矩陣，即保存計算后的樣本信息，在后續計算中重復利用，并繼續將響應值最大的樣本點作為閾值樣本。

3）終止準則。如果滿足終止準則或計算的樣本數達到最大可承受值，則停止并輸出當前數值；否則，繼續執行步驟2）。

4 計算結果

基于上文所述的不確定性量化、多體系統傳遞矩陣法艦炮動力學分析模型和PCK代理模型，分別采用雙循環和單循環魯棒性設計策略進行優化計算，對比分析優化結果、驗證單循環方法的精度和效率。

4.1 雙循環方法

采用雙循環方法求解考慮不確定性的艦炮魯棒性設計問題。多目標子集模擬每層樣本N（種群數）為100，p0取0.2，共進行迭代（種群數）20次，外層采用1700個樣本，內層用蒙特卡羅法求解每個樣本點對應的振動品質均值及方差，每個樣本需100次抽樣，共需1700×100=170 000次原始結構系統分析次數，所得帕累托前沿及結果如圖9所示。

圖9中所有數據構成了考慮振動品質均值及方差雙目標下的可行域解集，其中振動品質均值最小為0.4148。振動品質均值為0.4427、標準差為0.0999的一組（第11組）解集對應的設計值見表3。

4.2 單循環方法

采用單循環方法求解上述問題，僅需8720次結構分析，所得帕累托前沿及結果如圖10所示。相較于原始雙循環方法的170 000次計算，計算效率明顯提高。

圖10中所有數據構成了考慮振動品質均值及方差雙目標下的可行域解集，其中振動品質均值最小為0.3027。振動品質均值為0.3642、標準差為0.0960的一組（第13組）解集對應設計值見表4。

5 結論

本文利用不確定性量化、多體系統傳遞矩陣法、PCK代理模型和單循環魯棒性分析策略等方法對不確定性多體系統魯棒性設計流程進行改進，并以某型艦載火炮為例進行驗證，得出以下結論。

1）利用多體系統傳遞矩陣法可實現武器多體系統的建模和分析。以艦炮為例建立動力學模型，與ADAMS有限元軟件所得結果相比，響應值誤差小于2.91%，單次計算時間減少25%。

2）PCK代理模型方法可精確、快速擬合多體系統仿真過程中的隱式方程。在艦炮模型上進行驗證，僅用50個訓練樣本即可構建PCK代理模型，且最大相對誤差僅為2.89%。

3）單循環魯棒性優化方法相比于傳統雙循環方法，效率上有了巨大的提升。在第4節算例驗證中，單循環方法僅需8720次計算即可得到誤差較小的結果，單循環方法相較于雙循環方法的170 000次計算，計算效率明顯提高。

綜上所述，在保證精度的同時，所提方法顯著提高了考慮不確定性參數的武器多體系統魯棒性設計問題的求解效率，可為相關領域的研究提供參考。

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（編輯 王旻玥）

基金項目：國家自然科學基金（12102125）；中國博士后科學基金（2021M690868，2019M661849）；中央高?；究蒲袠I務費專項資金（B230201050）；江蘇省研究生科研與實踐創新計劃項目（SJCX24_0204）

作者簡介：

馬遠卓，男，1989年生，副教授、碩士研究生導師。研究方向為結構魯棒性設計優化與可靠性評估方法。E-mail：20200007@hhu.edu.cn。

李晨旭*（通信作者），男，2000年生，碩士研究生。研究方向為結構魯棒性設計優化與可靠性評估方法。E-mail：221606040002@hhu.edu.cn。

本文引用格式：

馬遠卓，李晨旭，汪有鈺，等.考慮不確定性的武器多體系統快速魯棒性設計［J］. 中國機械工程，2025，36（3）：398-406.

MA Yuanzhuo， LI Chenxu， WANG Youyu， et al. Rapid Robust Design of Multibody Weapon Systems Considering Uncertainty［J］. China Mechanical Engineering， 2025， 36（3）：398-406.