基于量綱分析和等效剛度法的套管柔性針彎曲特性研究

摘要：針對套管柔性針的精準穿刺控制問題，對套管柔性針的彎曲特性進行了探究。通過旋量理論和指數積方程建立了套管柔性針的運動學模型，提出了基于量綱分析理論和等效剛度法的套管柔性針彎曲特性分析方法，確定了影響針彎曲變形的參數，并采用函數回歸方法確定了變曲率特性函數。變曲率特性實驗表明系統誤差在2 mm內，滿足一般臨床手術的精度要求，驗證了套管柔性針的變曲率特性建模的精準性。

關鍵詞：微創介入手術；套管柔性針；運動學模型；變曲率特性

中圖分類號：TP242

Research on Bending Characteristics of Cannula Flexible Needles Based on Dimensional Analysis and Equivalent Stiffness Method

ZHAO Yanjiang^1，2* ZHANG He1 QIAN Cheng1 ZHANG Yongde1

1.Key Laboratory of Advanced Manufacturing and Intelligent Technology， Ministry of Education，Harbin University of Science and Technology，Harbin，150080

2.Weihai Research Institute，Harbin University of Science and Technology，Weihai，Shandong，264300

Abstract： Aiming at the problems of precise insertion control of cannula flexible needles， the bending characteristics of the needles were studied. The kinematics model of the cannula flexible needles was established by means of the screw theory and the exponential product equation. The bending characteristic analysis method of the cannula flexible needles was proposed based on the dimensional analysis theory and the equivalent stiffness approach to identify the parameters affecting the bending deformations of the needles， and the variable-curvature characteristic function was determined by function regression method. The variable-curvature characteristic experiments were carried out， and the systematic error values are within 2 mm， which meets the accuracy requirements of general clinical surgery and the accuracy of the proposed the variable-curvature characteristic modeling for the cannula flexible needles is proved.

Key words： minimally invasive surgery; cannula flexible needle; kinematics model； variable-curvature characteristic

0 引言

微創介入手術因創傷面積小、術后康復快等特點受到癌癥患者和醫生的青睞^［1］。與傳統的剛性活檢針不同，柔性針可穿刺出圓弧軌跡，避開骨骼和敏感器官等障礙^［2-3］。柔性針運動學建模和變曲率特性直接影響柔性針穿刺控制的精確性，對其進行研究具有重要的理論意義及臨床應用價值^［4］。

在運動學模型研究方面，WEBSTER等^［5］基于非完整運動學和李群理論，建立了斜尖柔性針的自行車模型和單輪車模型，并利用實驗驗證了自行車模型的準確性。KHADEM等^［6］對自行車模型進行改進，使用Frenet-Serret框架來降低模型的階數、減小模型的復雜性，將針的轉向問題轉化為控制針尖距離預期曲線軌跡的調節問題。趙燕江等^［7］以實際軌跡和誤差分析為依據簡化自行車模型，提出了帶有返程的自行車模型，提高了柔性針穿刺精度，并利用實驗進行了驗證。FALLAHI等^［8］將自行車模型替換為在2個正交方向上獨立運動的單輪車模型。此外，XIONG等^［9］、PARK等^［10］、DUINDAM等^［11］、CAI等^［12］分別基于單輪車模型進行了路徑規劃研究。

在變曲率特性研究方面，ENGH等^［13］在自行車模型的基礎上采用占空比的方法來控制斜尖柔性針的穿刺曲率，得到不同曲率的穿刺軌跡。LI等^［14］采用占空比的方法實現了變曲率針穿刺，并用函數回歸的方法得出針的曲率和占空比因數之間的關系。利用占空比控制斜尖柔性針變曲率穿刺時存在針尖滯后和組織損傷的問題。為解決這些問題，有學者通過改變針結構來實現對針尖轉向的主動控制，從而改變穿刺曲率。PETRUSKA等^［15］設計的磁控柔性針利用磁場控制針尖擺動，從而穿刺出變曲率軌跡。WEBSTER等^［16-17］提出的預彎曲同心管柔性針通過相互旋轉和相對運動實現變曲率控制，進而實現針尖位置的變曲率穿刺控制。ROESTHUIS等^［18］、GERBONI等^［19］設計的腱驅動柔性針通過控制針鉸鏈結構的彎曲來控制穿刺方向和偏移量，進而實現變曲率穿刺。KO^［20］等設計的可控柔性針由相互連接的4個聯鎖機構組成，通過改變各部分的長度來改變穿刺軌跡曲率。WATTS等^［21］基于歐拉伯努利梁理論的多段梁方法提出可控柔性針的轉向模型，并通過實驗驗證了可控柔性針的變曲率穿刺性能。以上的研究雖然采用不同方法實現了變曲率穿刺，但都沒有對針的變曲率特性進行深入研究，也沒有給出比較實用的彎曲特性模型。

為探究套管柔性針的變曲率特性，本文根據套管柔性針^［22-23］的穿刺運動特性建立其運動學模型，結合對套管柔性針彎曲特性的理論分析，確定穿刺過程中套管柔性針產生彎曲變形的影響參數。利用圓弧擬合的方法得到套管柔性針在某個針芯伸出長度下的彎曲半徑，利用函數回歸的方法得到不同針芯伸出長度與套管柔性針穿刺半徑的關系，進而確定變曲率特性函數。最后，通過變曲率特性實驗驗證了套管柔性針的變曲率特性模型的精準性。

1 套管柔性針運動學模型

1.1 運動學建模

套管柔性針具有3個自由度：柔性針芯的移動和轉動、柔性套管的移動。如圖1所示，將柔性針芯的移動速度、柔性套管的移動速度、柔性針芯的旋轉速度分別定義為u1、u2和u3。假設套管柔性針在組織內的彎曲為圓弧^［5］。在針和組織特性確定的情況下，穿刺半徑取決于柔性針芯伸出套管的長度l。通過改變柔性針芯和柔性套管的相對位置來調整套管柔性針的穿刺半徑ρ。確定所需的穿刺半徑（針尖伸出的長度l）后，柔性針芯和柔性套管通常會以相同速度同時進給，這種協同運動速度在文中定義為u12。穿刺過程中，針尖的角速度為ωx。

上述模型過于理想，分析模型的誤差可知，模型與實際運動存在偏轉角誤差和回彈誤差，因此，本文對運動學模型進行改進。穿刺路徑初始段為圓弧時，由于套管柔性針針軸與支撐的間隙、支撐本身的柔性^［23］，針尖會發生一定的偏轉，設偏轉角為φ，如圖2所示。本文將采用偏轉角改進的單輪車模型定義為“偏轉單輪車模型”（只適用于第一段穿刺路徑為圓弧的情況）。第一段穿刺路徑為直線時，不會出現偏轉角φ。

在單輪車運動學模型中，轉動針軸以改變針尖斜面方向時，針尖位置假定為不變。實際上，由于針尖斜面方向的改變，組織對針尖斜面的有效作用面積和作用力均會隨之減小^［23］，因而針尖會回彈，如圖3所示。本文對不同路徑形式的回彈進行分析和分類：用R表示圓弧路徑，用L表示直線路徑，令b1表示RR路徑形式的回彈、b2表示RL路徑形式的回彈、b3表示LR路徑形式的回彈，如圖4所示。本文將采用回彈改進的單輪車模型定義為“回彈單輪車模型”，將包含偏轉角改進和回彈改進的單輪車模型定義為“偏轉回彈單輪車模型”。

考慮偏轉角誤差和回彈誤差在不同穿刺狀況的影響，對單輪車模型進行改進，得到套管柔性針運動學模型：

P=fs，l（ρ）""" 單輪車模型（單段路徑）

fs，a（ρ，φ）偏轉單輪車模型（單段路徑）

fm，l+（ρ，b）彈變單輪車模型（多段路徑）

fm，a+（ρ，φ，b）偏轉彈變單輪車模型（多段路徑）（1）

式中：ρ為穿刺圓弧半徑；φ為偏轉角；b為回彈誤差，b=［b1 b2 b3］T。

單段路徑不需要考慮回彈誤差即b=0，路徑為直線時，針彎曲模型可簡化為單輪車模型；路徑為圓弧時，針彎曲模型可簡化為偏轉單輪車模型。多段路徑中，若初始段路徑為直線（用下標l+表示），則不需要考慮偏轉角誤差即φ=0，運動符合回彈單輪車模型；若初始段路徑為圓弧（用下標a+表示），則針彎曲模型可簡化為偏轉回彈單輪車模型。

1.2 運動學計算

套管柔性針的運動學模型如圖1所示。針尖坐標系Ψt相對于世界坐標系Ψw的位姿可由齊次變換矩陣表達：

gwt=Rwtpwt01∈SE（3）（2）

式中：Rwt為坐標系Ψt相對于坐標系Ψw的旋轉矩陣，Rwt∈SE（3）；SE（3）為一個特殊的歐幾里得群，SE（3）R^4×4；pwt為坐標系Ψt相對于坐標系Ψw的位置矩陣，pwt∈R3。

套管柔性針的穿刺路徑可離散成若干段，那么令針尖在第i段的瞬時速度矢量vi=［0 0 u12］T、瞬時角速度矢量ωi=［u12/ρi 0 u3］T，其中，ρi為第i段路徑的彎曲半徑。

套管柔性針第i段的針芯伸出套管的長度li越大，彎曲半徑ρi越小，因此設定ρi與li的關系為

ρi=f（li）（3）

則套管柔性針第i段的運動旋量可表示為

ξ^i=viωi∧=

0－u300

u30－u12/f（li）0

0u12/f（li）0u12

0000（4）

式中：∧為楔運算符，表示將一個六維向量R6轉換成一個4×4的矩陣；ξi為第i段的旋量，ξi∈R3；ξ^i∈se（3），se（3）是歐氏群SE（3）的李代數表達，物理上表示剛體的廣義瞬時速度。

設gi（ti）=exp（ξ^iti）為第i段的變換矩陣，則運動學齊次變換矩陣的指數積形式為

gwt（T）=gwt（0）∏ni=1gi（ti）（5）

式中：gwt（0）為坐標系Ψt相對于坐標系Ψw的初始位置；T為穿刺n段路徑所用的總時間，T=∑ni=1ti；ti為第i段路徑穿刺的時間。

2 套管柔性針變曲率特性分析

套管柔性針躲避障礙物的能力取決于針的彎曲程度，因此有必要對影響套管柔性針的彎曲特性進行分析^［24］。MISRA等^［25-26］對針組織的相互作用進行量綱分析，得到了影響柔性針曲率半徑的因素，如增大針直徑會降低針的可操縱性。本文在上述研究的基礎上使用量綱分析對套管柔性針的變曲率特性進行研究。如圖5所示，假設套管柔性針的彎曲半徑ρ是套管柔性針的彈性模量En和慣性矩In、組織斷裂強度Gc、組織的非線性（超彈性）材料特性C10、套管柔性針的針尖斜角α、人體組織與套管柔性針表面的摩擦因數μ和基座推動套管柔性針的穿刺力Finput的函數：

ρ=f（En，In，α，C10，Gc，μ，Finput）（6）

En=En（Ec，Es）" In=In（Ic，Is）

式中： Ec、Es分別為套管、柔性針芯的彈性模量，Pa； Ic、Is分別為套管、柔性針的慣性矩，mm4。

彈性模量只與物質材料有關，而套管與柔性針芯材料一致，因此En（Ec，Es）=Ec=Es。

量綱分析是對量綱相似的變量進行分組的一種方法，白金漢Π定理是量綱分析中的關鍵方法。為深入了解系統的基本屬性，本文利用白金漢Π定理進行量綱分析，得到以下由基本變量En、In、Gc、C10表示的量綱一群：

Π1=ρEnC104InG2c

Π2=FinputEnC104InG3c

Π3=αEnC10InG2c

Π4=μEnC10InG2c（7）

因此，式（7）的量綱一形式如下：

ρρ0=ρEnC104InG2c=

g（FinputEnC104InG3c，αEnC10InG2c，μEnC10InG2c）（8）

ρ0=G2cEnC104In（9）

式中：ρ0為長度比例系數。

由此可知，套管柔性針彎曲特性受軟組織的組織彈性和組織斷裂韌性以及套管柔性針物理特性共同影響。

考慮套管柔性針的結構特點，對其截面進行幾何分析。分析結果表明，柔性套管與柔性針芯的截面直徑存在差異，套管柔性針為階梯形變截面（變剛度）懸臂梁結構，如圖6所示。本文基于等效剛度法^［27］對套管柔性針彎曲特性進行分析，將變截面梁轉化為剛度相同的等截面梁來簡化模型，使等效后的等截面結構在相同的受力條件下具有與原變截面結構相同的響應（如位移、應力等）^［28-29］。

本文根據兩種梁彎曲應變能相同的原理，推導出變截面梁的等效剛度的計算公式。變截面梁彎曲應變能為

U=12∫^L－l0EcIcy¨2dx+12∫LL－lEsIsy¨2dx=

12∫L0EnIny¨2dx（10）

式中：L為套管柔性針的長度；y為套管柔性針在針尖處的撓度。

套管柔性針通常被當作懸臂梁研究，因此，選取近似撓度曲線函數：

y=a1（x2－x46L）（11）

那么

y·=2a1x－2a13L2x3（12）

y¨=2a1L2－x2L2（13）

Ic=πD4c/64

Is=πD4s/64（14）

式中：Dc為柔性套管直徑；Ds為柔性針芯直徑。

將式（14）代入式（10），可得

U=∫L0EnIn（2a1L2－x2L2）2dx=

∫^L－l0En（πD4c64）（2a1L2－x2L2）2dx+

∫LL－lEn（πD4s64）（2a1L2－x2L2）2dx（15）

進而求得

In=∫^L－l0（πD4c64）（（L－l）2－x2（L－l）2）2dx∫L0（L2－x2L2）2dx+

∫LL－l（πD4s64）（l2－x2l2）2dx∫L0（L2－x2L2）2dx（16）

根據式（9）、式（16）可知，通過調整針芯伸出套管的長度l可改變套管柔性針的彎曲半徑ρ。從針彎曲剛度的角度分析，l越大，套管柔性針的等效剛度越小，ρ越小，反之亦然。因此，ρ與l反相關。

3 實驗研究

3.1 實驗材料選擇與制備

本文通過實驗探究套管柔性針的變曲率特性。實驗采用的套管柔性針規格如下：柔性針芯材質為鎳鈦合金，針尖斜角45°，直徑1 mm；套管材質為鎳鈦合金，內徑為1.1 mm，外徑為1.2 mm。套管柔性針的尺寸符合醫用18G活檢針的規格要求，實物如圖7所示。

3.2 實驗設備

套管柔性針穿刺實驗臺如圖8所示，控制模塊和驅動器模塊用于控制套管柔性針的穿刺和柔性針芯伸出套管的長度。

3.3 變曲率特性測定實驗

為探究針芯伸出長度l與彎曲半徑ρ的關系，選取不同的伸出長度進行套管柔性針變曲率特性的測定實驗。為確保實驗結果的可靠性和統計意義，每個穿刺實驗均被重復執行5次，針的穿刺速度為2 mm/s。實驗過程如下：

1）通過控制模塊和驅動器模塊調節柔性針芯伸出柔性套管的長度l。

2）通過穿刺機構將針尖穿刺進瓊脂膠，穿刺過程中，l不變，利用相機將圖像傳輸到計算機。

3）在針穿刺軌跡上，以一定的間隔提取離散節點的坐標，利用MATLAB軟件對穿刺軌跡上的離散節點進行圓擬合，計算出穿刺軌跡的曲率半徑，進而計算出穿刺軌跡的彎曲半徑。

4）選取伸出長度l為2，6，10，14，18，22，26，30 mm的套管柔性針重復以上3個步驟。

5）利用函數回歸方法，得到不同針芯伸出長度與套管柔性針穿刺半徑的規律，確定變曲率特性函數。

部分穿刺實驗結果如圖9所示。根據實驗結果可知，ρ隨l的增大而減小。

對實驗結果進行處理，得到套管柔性針在不同長度l下的彎曲程度，如圖10所示。

對離散點進行彎曲半徑ρ與伸出長度l的函數回歸，得到的多項式回歸函數為

ρ2=2.80×10^－1l2－16.77l+424.5

ρ3=7.80.802×10^－4l3+2.45×10^－1l2－16.36l+423.6

ρ4=－3.52×10^－4l4+2.19×10^－2l3－0.1543l2－

13.88l+421（17）

由圖11可以看出，3個回歸函數的回歸擬合曲線非常接近。本文對這3個函數的回歸效果進行分析，如表1所示，四次函數回歸的R2更接近1且均方根誤差足夠小，滿足精度要求。因此，將四次多項式回歸函數作為套管柔性針的變曲率特性函數。

3.4 變曲率特性驗證

為驗證套管柔性針變曲率特性函數的準確性，選取針芯伸出套管長度l為12 mm和20 mm的套管柔性針進行穿刺試驗，為確保實驗結果的可靠性和統計意義，對每種伸出長度的套管柔性針都重復進行5次穿刺實驗，穿刺試驗環境均與測定實驗設置一致。

變曲率特性驗證試驗的結果如圖12所示，l為12 mm、20 mm時，四次多項式回歸函數的理論路徑均與實驗路徑基本一致。變曲率特性驗證實驗的結果如表2所示。實驗結果表明，實驗平均誤差和均方根誤差均小于2 mm，滿足精度要求^［30-32］，驗證了套管柔性針變曲率特性的準確性。

實驗誤差產生的原因主要有：

1）套管柔性針變曲率特性由函數回歸方法得到，函數本身存在一定誤差。

2）穿刺機構本身和控制系統都存在一定的機械和控制誤差。

3）采用相機采集的軌跡數據不夠準確，影響函數回歸結果。

4）實驗使用的瓊脂膠的物理特性（組織彈性、組織斷裂韌性）很難保持一致，會對實驗結果產生一定的影響。

盡管本研究使用的仿生組織（瓊脂膠）與人體組織的非線性特征存在差異，但套管柔性針的彎曲特性建模方法的適用性不受影響。對不同器官（乳腺、肝臟等）以及同一器官內不同區域（正常肝臟組織與較硬的肝臟腫瘤組織）的大量組織樣本進行測量，并將測量結果整合進樣本數據庫能夠獲得更全面的套管柔性針可變曲率彎曲特性。

4 結論

本文運用旋量理論和指數積方程建立了套管柔性針的運動學模型，采用白金漢Π定理進行量綱分析，同時結合等效剛度法對套管柔性針彎曲特性進行分析，明確了針在穿刺軟組織時影響針彎曲變形的參數。利用圓弧擬合方法得到套管柔性針在某個針芯伸出長度下的彎曲半徑。利用函數回歸的方法得到針芯伸出長度與套管柔性針穿刺半徑的關系，確定了套管柔性針的變曲率特性函數。最后，選取針芯伸出長度12 mm、20 mm的套管柔性針分別進行5次變曲率特性驗證實驗。實驗結果表明：針芯伸出長度12 m、20 m的平均誤差分別為0.92 mm和1.07 mm，均方根誤差分別為1.08 mm和1.20 mm，最大誤差分別為1.3 mm和1.5 mm，所有誤差均在2 mm內，滿足一般臨床手術的精度要求，驗證了套管柔性針的變曲率特性模型的精準性。

在未來的研究工作中，筆者將增加對生物組織的驗證試驗，深入探索套管柔性針的變曲率特性，以全面理解套管柔性針在不同條件下的彎曲行為。此外，還將把套管柔性針變曲率特性用于三維環境下的穿刺軌跡規劃實驗，為套管柔性針的精準穿刺控制提供堅實的理論基礎和實驗支持。

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（編輯 張 洋）

基金項目：國家自然科學基金（U23A20391，52775015）；山東省自然科學基金（ZR2023ME132）

作者簡介：

趙燕江*，男，1979年生，教授、博士研究生導師。研究方向為醫療機器人、多指靈巧手。發表論文40余篇。E-mail：zhaoyj@hrbust.edu.cn。

本文引用格式：

趙燕江，張鶴，錢程，等.基于量綱分析和等效剛度法的套管柔性針彎曲特性研究［J］. 中國機械工程，2025，36（3）：455-462.

ZHAO Yanjiang， ZHANG He， QIAN Cheng， et al. Research on Bending Characteristics of Cannula Flexible Needles Based on Dimensional Analysis and Equivalent Stiffness Method［J］. China Mechanical Engineering， 2025， 36（3）：455-462.