應(yīng)用GeoGebra分析粒子在電磁場中的運動

摘" "要：GeoGebra 軟件功能強大，易于上手，廣泛應(yīng)用于物理教學(xué)的可視化研究。將其融入高考綜合題中，可以為抽象概念創(chuàng)造具體的物理情境，從而加深學(xué)生對物理模型的理解。創(chuàng)新性地提出了利用GeoGebra軟件進行物理模型仿真的策略和步驟。基于這些策略，對近兩年物理高考試卷中的均勻場問題、綜合場問題及復(fù)合磁場臨界問題等代表性的電磁學(xué)問題進行了可視化研究。總結(jié)的仿真策略、技巧和方法為教師提供了有益的教學(xué)啟發(fā)，并為核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提供了實踐經(jīng)驗。

關(guān)鍵詞：GeoGebra；帶電粒子；軌跡；可視化

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2025）3-0085-5

高中物理電磁學(xué)部分理論性強、概念抽象，難以制作合適的教具進行演示。學(xué)生往往難以形成直觀的物理圖像，僅靠文字描述和公式介紹顯得枯燥，導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣低下。此外，該部分題目的設(shè)計綜合性強且難度較大，對學(xué)生的空間想象能力要求較高。帶電粒子在磁場中的運動是高中物理必修第三冊的熱門考點，尤其是帶電粒子在有界磁場中運動的臨界情況。此外，帶電粒子的多解問題和周期性問題等綜合性問題也具有較強的開放性。因此，使用仿真軟件輔助教學(xué)、建構(gòu)物理模型，對于突破電磁學(xué)教學(xué)中的重難點顯得尤為重要。

目前常用的仿真軟件包括ＭＡＴＬＡＢ［１］、Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ［２］、Ｍａｐｌｅ［３］、ＶＰｙｔｈｏｎ［４］、Ａｌｇｏｄｏｏ和Ｎｏｂｏｏｋ等。其中，ＭＡＴＬＡＢ、Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ和Ｍａｐｌｅ需要較強的編程基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)和創(chuàng)新的門檻較高，不利于推廣。Ｖｐｙｔｈｏｎ可以模擬物理動畫［５］，作圖能力強，但調(diào)試代碼時較為麻煩。幾何畫板的腳本功能使用難度較大，物理演示能力有限［６］。Ａｌｇｏｄｏｏ和Ｎｏｂｏｏｋ操作簡單，動態(tài)力學(xué)問題的演示效果很好，但原理較為復(fù)雜。雖然各種仿真物理實驗室的操作相對簡單［７－８］，但創(chuàng)新空間有限，系統(tǒng)預(yù)設(shè)的參數(shù)不便于實時調(diào)節(jié)，可能無法真實還原實驗情境。

相比之下，ＧｅｏＧｅｂｒａ軟件功能全面、編程簡單、免費開源，對計算機性能要求不高，能夠在多平臺和網(wǎng)頁上直接運行［９］。該軟件具有強大的交互性，數(shù)據(jù)計算準確，能夠節(jié)約實驗數(shù)據(jù)處理時間，并輕松繪制多維圖像，直觀展示圖像的動態(tài)變化效果，實現(xiàn)整個物理過程的可視化。因此，使用ＧｅｏＧｅｂｒａ軟件動態(tài)展示軌跡輔助教學(xué)，分析幾何關(guān)系和臨界條件，有助于學(xué)生理解動態(tài)變化過程，掌握常見結(jié)論并快速找到解題突破口。與常規(guī)的板書講解相比，動畫形式更能吸引學(xué)生的興趣，呈現(xiàn)方式更加規(guī)范和直觀。

1" " ＧｅｏＧｅｂｒａ軟件仿真的策略

對于教師如何恰當?shù)乩茫牵澹铮牵澹猓颍徇M行電磁學(xué)習(xí)題的仿真，提供了制作課件的思路，并結(jié)合案例進行應(yīng)用。內(nèi)容包括如何利用指令完成參數(shù)設(shè)置、動畫的繪制和美化等，如圖１所示。

（1）復(fù)習(xí)相關(guān)電磁學(xué)知識：

①分析幾何關(guān)系。

②分析運動特征。

（2）剖析題目，建構(gòu)物理情境：

①繪制幾何模型：使用交點工具創(chuàng)建點、線段、坐標系，利用圓形工具設(shè)置軌跡圓心和半徑。

②設(shè)計物理量：使用移動工具進行放縮，添加滑動條以設(shè)定可變參數(shù)范圍。

③設(shè)置物理場：根據(jù)條件創(chuàng)建電場或磁場，使用虛實度滑動條表示場內(nèi)部的填充效果。

（3）進行動畫設(shè)置：

①使用序列設(shè)置啟動位置，為動畫賦予布爾值和時間間隔；創(chuàng)建動點并連接線段，形成圓弧。

②根據(jù)題意初始化序列和動畫滑動條。

③建立相關(guān)力學(xué)方程，分析粒子運動。

④根據(jù)要求找到需要分析的狀態(tài)，并標注重要物理量。

（4）動畫調(diào)試和界面優(yōu)化：

①使用選框工具設(shè)置繪圖區(qū)，并與滑動條關(guān)聯(lián)，以實現(xiàn)圖像移動效果。

②應(yīng)用顯示條件使過程連貫，精心設(shè)計交互界面和物理變量構(gòu)件，注重美化。

（5）鞏固模型應(yīng)用，分析解決策略，達到活學(xué)活用。

2" " 案例研究

2．１" " 均勻場問題仿真

2．１．１" " 案例介紹

２０２３年全國甲卷第２０題：光滑絕緣圓筒內(nèi)存在勻強磁場，筒的Ｐ點開有小孔，過Ｐ的橫截面是以Ｏ為圓心的圓，如圖２所示。一帶電粒子從Ｐ點沿ＰＯ方向射入，并與筒壁發(fā)生碰撞。假設(shè)粒子在每次碰撞前后瞬間，速度沿圓上碰撞點的切線方向的分量大小不變，沿法線方向的分量大小不變且方向相反；電荷量不變，不計重力。下列說法中，正確的是（" " " ）

Ａ．粒子的運動軌跡可能通過圓心Ｏ

Ｂ．最少經(jīng)２次碰撞，粒子就可能從小孔射出

Ｃ．射入小孔時粒子的速度越大，在圓內(nèi)運動時間越短

Ｄ．每次碰撞后瞬間，粒子速度方向一定平行于碰撞點與圓心Ｏ的連線

2．１．２" " 案例分析

題目具有一定的創(chuàng)新性和綜合性，所考查的知識點也很具代表性。然而，可以進一步拓展，設(shè)計一個通用的圓形磁場中粒子偏轉(zhuǎn)情況的模擬程序，使題目更加開放，從而揭示更普遍的運動規(guī)律，并歸納出遞推結(jié)論。該程序可以設(shè)置電荷性質(zhì)和磁場方向的變化，允許拖動調(diào)整粒子起點位置，并通過改變速度矢量的大小和方向來觀察不同情況下粒子的運動狀態(tài)，生成多個動畫。同時，可以實時展示粒子運動軌跡的切線（速度方向），幫助學(xué)生全面理解粒子的運動性質(zhì)。

對于前三個選項，可以通過改變初速度的大小和方向，觀察粒子運動軌跡的動畫并分析，從而得出結(jié)論：粒子的運動軌跡不可能通過圓心，必須至少經(jīng)過3次碰撞才能從小孔射出，如圖3（a）所示。在改變粒子射入小孔的速度后，可以得到4次、5次和6次碰撞的運動軌跡，分別如圖3（b）（c）（d）所示。另外，還可以得到圖3（e）所示的多次碰撞軌跡，其相應(yīng)的運動時間需要結(jié)合軌跡分析圓心角的總和。通過程序可以顯示圓心并計算圓心角度數(shù)，從而得出速度與時間之間并無確定聯(lián)系的結(jié)論。對于Ｄ選項，動畫展示了運動軌跡的切線方向，即速度方向，證明碰撞后粒子的速度方向一定位于圓心連線上。

本題易出錯的主要原因是學(xué)生難以直觀理解或作圖能力不足，而軟件輔助教學(xué)可以更精確地揭示幾何關(guān)系，從而研究圓心角與速度、弦長與速度等的關(guān)系，得出定性和定量的結(jié)論。

2．２" " 組合場綜合問題仿真

2．２．１" " 案例介紹

２０２３年湖南卷第６題：如圖４所示，區(qū)域Ⅰ中存在勻強電場和勻強磁場，電場方向豎直向下，磁場方向垂直紙面向里，等腰直角三角形ＣＧＦ區(qū)域（區(qū)域Ⅱ）內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直紙面向外。圖中Ａ、Ｃ、Ｏ三點在同一直線上，ＡＯ與ＧＦ垂直，且與電場和磁場方向均垂直。Ａ點處的粒子源持續(xù)將比荷一定但速率不同的粒子射入?yún)^(qū)域Ⅰ中，只有沿直線ＡＣ運動的粒子才能進入?yún)^(qū)域Ⅱ。若區(qū)域Ⅰ中電場強度為E、磁感應(yīng)強度為B1，區(qū)域Ⅱ中磁感應(yīng)強度為B2，則從ＣＦ的中點射出的粒子在區(qū)域Ⅱ中運動的時間為t0。若改變電場或磁場強弱，能進入?yún)^(qū)域Ⅱ中的粒子在區(qū)域Ⅱ中運動的時間為t，不計粒子的重力及粒子之間的相互作用，下列說法中正確的是（" " ）

Ａ．若僅將區(qū)域Ⅰ中磁感應(yīng)強度大小變?yōu)椋睟1，則tgt;t0

Ｂ．若僅將區(qū)域Ⅰ中電場強度大小變?yōu)椋睧，則tgt;t0

Ｃ．若僅將區(qū)域Ⅱ中磁感應(yīng)強度大小變?yōu)锽2，則t=

Ｄ．若僅將區(qū)域Ⅱ中磁感應(yīng)強度大小變?yōu)锽2，則t=t

2．２．２" " 案例分析

分析題意可知，區(qū)域Ｉ中的復(fù)合電磁場起到了速度選擇器的作用，只有滿足洛倫茲力和電場力平衡的粒子才能沿直線ＡＣ進入?yún)^(qū)域Ⅱ。如果只改變區(qū)域Ｉ的電場或磁感應(yīng)強度（選項Ａ和Ｂ），則會改變粒子進入?yún)^(qū)域ＩＩ的初速度，從而改變粒子在區(qū)域ＩＩ中進行圓周運動的半徑。如果改變區(qū)域ＩＩ的磁感應(yīng)強度（選項Ｃ和Ｄ），則會直接改變粒子在區(qū)域ＩＩ中進行圓周運動的半徑。無論哪種情況，都可以通過幾何關(guān)系計算出粒子在區(qū)域ＩＩ中的運動時間對應(yīng)的圓心角。

通過ＧｅｏＧｅｂｒａ軟件設(shè)置對應(yīng)的復(fù)合場以及三角形磁場，根據(jù)題意，調(diào)整區(qū)域Ⅰ中電場強度E、磁感應(yīng)強度B1，以及區(qū)域Ⅱ中的磁感應(yīng)強度B2，使粒子從ＣＦ的中點射出。通過模擬動畫觀察粒子在復(fù)合場中的運動軌跡，可以直觀地分析出在區(qū)域Ⅱ中運動的時間為t0時對應(yīng)的圓心角為９０°。

對于選項Ａ，將磁場Ｉ的磁感應(yīng)強度改為原來的兩倍，此時粒子的運動軌跡如圖５（ａ）所示。通過軌跡分析可知，粒子從ＣＦ的四等分點處豎直向下射出。對于選項Ｂ，將區(qū)域Ｉ的電場強度變?yōu)樵瓉淼膬杀叮藭r粒子的運動軌跡如圖５（ｂ）所示，粒子從Ｅ＇點豎直向下射出。根據(jù)軟件標注，兩種情形下粒子在區(qū)域ＩＩ中的運動圓心角均為９０°，即運動時間仍為ｔ0。

對于選項Ｃ和Ｄ，改變磁場Ⅱ磁感應(yīng)強度的大小，粒子的運動軌跡分別如圖５（ｃ）（ｄ）所示，對應(yīng)的圓心角分別為６０°和４５°。通過軟件計算可知，改變磁場后粒子在區(qū)域 ＩＩ 中的運動時間也發(fā)生了變化。清晰的幾何圖像能為解題提供有益思路，幫助教師突破教學(xué)難點，有效提高學(xué)生的建模能力和科學(xué)思維。此外，在制作課件時，可以注重動畫色彩的搭配和輔助線的使用，以增強直觀性和嚴謹性。

2．３" " 復(fù)合磁場臨界問題仿真

2．３．１" " 案例介紹

２０２３年浙江卷第20題：如圖６所示，ｘＯｙ平面的第一象限內(nèi)有足夠長且寬均為L、邊界均平行x軸的兩個區(qū)域，其中區(qū)域Ⅰ存在磁感應(yīng)強度大小為B1的勻強磁場，區(qū)域Ⅱ存在磁感應(yīng)強度大小為B2的磁場，方向均垂直紙面向里，區(qū)域Ⅱ的下邊界與x軸重合。位于（０，3L）處的離子源能釋放出質(zhì)量為m、電荷量為q、速度方向與x軸夾角為６０°的正離子束，沿紙面射向磁場區(qū)域。不計離子的重力及相互作用，并忽略邊界效應(yīng)。

（１）求離子不進入?yún)^(qū)域Ⅱ的最大速度v1及其在磁場中的運動時間t。

（２）若B2=2B1，求能到達y=處的離子的最小速度v2。

2．３．２" " 案例分析

對于第（１）小問，根據(jù)離子在磁場中運動的規(guī)律，需要找到離子恰好不進入?yún)^(qū)域Ⅱ的最大速度v1。可以在ＧｅｏＧｅｂｒａ軟件中分段設(shè)置磁場條件，改變離子運動的速度，以找到圖７（ａ）中運動軌跡與磁場Ⅰ邊界相切的情況。在代數(shù)區(qū)設(shè)置顯示圓心，此時軌跡的圓心是B'1，并可以動態(tài)展示圓心角的變化，精準標明角度大小，實時計算出運動時間t。

對于第（２）小問，改變磁場條件，使得B2=2B1。能夠到達y=處的離子的臨界條件應(yīng)該與直線y=相切，在磁場Ⅰ和Ⅱ中的運動軌跡如圖７（ｂ）所示。可采用以下三種方法解題：

①幾何解法：計算運動半徑、離子速度，并利用正弦定理求出角度和邊的關(guān)系。

②比例關(guān)系法：根據(jù)B2=2B1，得出離子在磁場ＩＩ中運動半徑是磁場Ｉ中的，聯(lián)立可求出臨界速度。

③等效思想法：B2=2B1時，離子運動到y(tǒng)=處，等效于在B2=B1時，離子恰好運動到y(tǒng)=0處，軌跡如圖7（c）所示，根據(jù)仿真得到的幾何關(guān)系即可求出速度v2。

通過仿真，可以精確找到臨界條件，并通過角度變化加深對整個運動過程的理解。可以添加軌跡圓心的追蹤效果，方便觀察運動情況，在使用位似工具之前要先建立好交點。在制作課件時，可建立滑動條之間的聯(lián)系，簡化界面，以找到滑動條計數(shù)與軌跡的對應(yīng)關(guān)系。

3" " 建議與小結(jié)

三個案例解題的關(guān)鍵在于找到確切的幾何關(guān)系。這類涉及思維抽象和動態(tài)變化的問題，可以利用軟件仿真將粒子運動可視化。生動直觀的圖像比概括性文字更有助于學(xué)生理解物理概念，避免思維誤區(qū)，并激發(fā)他們的探究興趣，具有很強的啟發(fā)性。這種教學(xué)模式也易于推廣。

近年來，三維空間情境中的物理問題變得非常常見，對學(xué)生的空間想象能力要求也更高。教師可以考慮通過相應(yīng)的仿真，將問題分割和簡化。例如，２０２４年湖南卷中粒子在圓筒中的運動問題，２０２２年全國乙卷中經(jīng)典的Ｐｈｙｐｈｏｘ地磁場測量問題，以及２０２２年重慶卷中“全超導(dǎo)托卡馬克核聚變實驗裝置的約束問題”。利用軟件建立三維模型中的運動軌跡，能夠更高效地突破難點，并更好地體現(xiàn)可視化程序開發(fā)的優(yōu)越性。

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［９］金惠吉，王靜． ＧｅｏＧｅｂｒａ軟件在物理教學(xué)中的應(yīng)用研究綜述［Ｊ］．物理通報，２０２１（６）：１４５－１４８．

（欄目編輯" " 賈偉堯）

收稿日期：2024-09-01

基金項目：四川省教育信息技術(shù)研究項目“基于中華傳統(tǒng)科技文化的初中STEAM校本課程建設(shè)”（DSJZXKT023）；濟源市基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項目“高中物理教學(xué)中情境創(chuàng)設(shè)的實踐研究”（JY240656）。

作者簡介：鄧欣（2002-），女，中學(xué)二級教師，主要從事高中物理教學(xué)研究。