考慮支柱軸向位移和縱向彎曲的雙輪前起落架擺振特性分析

摘要： 起落架支柱軸向壓縮將直接導致系統剛度和轉動慣量發生變化，但現有前起落架（nose landing gear，NLG）擺振模型中大多忽略支柱軸向位移的影響。建立了考慮支柱軸向位移和縱向彎曲的六自由度雙輪前起落架擺振非線性動力學模型。應用分岔理論研究了支柱軸向位移對擺振區域的影響，并將緩沖器最大壓縮行程分別與滑跑速度、垂向載荷和機輪轉動慣量進行組合，對組合參數進行雙參數分岔分析。采用四階Runge?Kutta法和快速傅里葉變換在擺振穩定區內進行時頻特性計算，研究了支柱扭轉、側向彎曲和縱向彎曲擺振自由度之間的相互作用。結果表明：在一定工況下，考慮支柱軸向位移影響后，支柱扭轉擺振和側向擺振區域均有縮小趨勢。雙輪前起落架擺振雙穩態區域內，當初始激勵接近零平衡狀態時，縱向擺振發生在2倍扭轉振動固有頻率附近；而當初始激勵遠離零平衡狀態時，縱向擺振發生在2倍側向振動固有頻率附近。

關鍵詞： 前起落架； 非線性擺振； 六自由度模型； 雙參數分岔； 振動頻率

中圖分類號： V226+.4 " "文獻標志碼： A " "文章編號： 1004-4523（2025）03-0517-12

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.03.008

Shimmy characteristics of dual?wheel nose landing gear considering the axial and longitudinal motions of strut

GAO Xiangguo1， LU Xiang2， SHAN Zezhong1

（1.College of Aeronautical Engineering， Civil Aviation University of China， Tianjin 300300， China；

2.School of Transportation Science and Engineering， Civil Aviation University of China， Tianjin 300300， China）

Abstract： The axial compression of the landing gear strut can directly lead to the change of system stiffness and rotational inertia， but the effect of strut axial displacement is mostly ignored in existing models of nose landing gear shimmy. A nonlinear dynamic model of six-degree-of-freedom dual-wheel nose landing gear shimmy with axial displacement and longitudinal bending of struts is established. The bifurcation theory is applied to study the effect of introducing axial displacement on the shimmy region， and the maximum compression stroke of the buffer is combined with sliding speed， vertical load， and wheel rotational inertia， respectively. The combined parameters are analyzed by two parameter bifurcation. The fourth order Runge-Kutta method and fast Fourier transform are used to calculate the time-frequency characteristics in the stable shimmy region， and the interaction between the degrees of freedom of torsion， lateral bending， and longitudinal bending of the strut is studied. The results show that under certain conditions， considering the influence of axial displacement of the strut， the areas of torsional and lateral shimmy of the strut have a tendency to shrink. In the bistable region of double wheel nose gear shimmy， when the initial excitation is close to zero equilibrium state， the longitudinal shimmy occurs near 2 times the natural frequency of torsional vibration. When the initial excitation is far from the zero equilibrium state， longitudinal shimmy occurs near 2 times the natural frequency of lateral vibration.

Keywords： nose landing gear；nonlinear shimmy；6?degree?of?freedom model；two?parameter bifurcation；vibration frequency

前起落架擺振將導致起落架結構磨損、機輪使用壽命降低及飛行儀表讀取誤差等［1］。前起落架系統中存在多個振動自由度耦合，同時也存在結構間隙、庫侖摩擦、二次項阻尼等眾多非線性因素［2］，是一種高維且高度非線性系統。近年來，針對前起落架擺振問題的非線性動力學研究方法主要有：靈敏度分析法［3］、多體動力學仿真［4］和分岔理論（bifurcation method）分析等。采用分岔分析方法，可以分析前起落架系統組合參數對擺振的影響，能進一步了解擺振機理。為了有效防止擺振，改進機輪擺振設計，深入研究擺振發生機理具有重要意義［2，5］。

學者們采用分岔分析的方法對前起落架非線性擺振進行了一系列研究。針對前起落架三自由度擺振模型，THOTA等［6］以單輪前起落架為對象，建立了含有支柱扭轉、側向（橫向）彎曲和輪胎側向偏移的三自由度擺振數學模型，并選取滑跑速度和垂向載荷作為延拓參數對模型進行了雙參數分岔分析。在此基礎上，THOTA等［7?8］在模型中增加了支柱的縱向（航向）彎曲自由度，建立了單輪前起落架四自由度模型，對非線性擺振模型進行頻譜分析，發現支柱的縱向擺振不會主動影響其他類型擺振（扭轉和側向擺振）。

此外，THOTA等［9］以雙輪前起落架為對象，建立了包含支柱扭轉、側向彎曲和兩個輪胎側向偏移的四自由度擺振數學模型，應用分岔理論分析了雙輪輪間距和機輪轉動慣量等參數對擺振穩定性的影響，同時進行了余維3分岔分析，發現輪間距和轉動慣量在一定范圍內增加均會使側向擺振變得更加穩定。CHENG等［10］基于THOTA的雙輪前起落架擺振數學模型，研究了雙Hopf分岔問題，在Neimark?Sacker分岔曲線上檢測到1︰3和1︰4的強共振點；并且由于高階項的影響，經雙Hopf分岔點延拓出的Neimark?Sacker曲線將擺振雙穩區的范圍進行了重新劃分。馮飛等［11］考慮雙輪是否共轉，建立了雙輪前起落架四自由度擺振模型，應用分岔理論分析了輪間距和雙輪共轉對擺振穩定性的影響。

針對六自由度起落架擺振模型，RAHMANI等［12?13］根據THOTA的雙輪模型，并結合油氣式緩沖器的試驗數據，建立了含有支柱縱向彎曲和軸向位移的六自由度擺振模型，應用靈敏度分析方法，研究了結構中自由間隙對擺振的影響，并且發現庫侖摩擦力是影響擺振起始點和類型的關鍵因素。HOWCROFT等［14?15］以雙輪主起落架為對象，考慮支柱的扭轉、側向、縱向、軸向四個自由度和兩個輪胎的變形，建立了六自由度擺振數學模型，采用分岔理論分別研究了模型有無結構間隙時的擺振動力學行為。

目前，國內外學者主要針對飛機前起落架的扭轉和側向擺振進行了分岔研究，并且在雙輪模型中大多只考慮支柱的扭轉和側向彎曲兩個擺振自由度。HOWCROFT等［12?13］和RAHAMNI等［14?15］的雙輪模型雖然考慮了支柱的縱向彎曲和軸向位移，但前者的模型對象為主起落架，后者對前起落架擺振模型沒有進行分岔分析，并且模型中僅考慮了緩沖器的壓縮行程，沒有考慮行程變化對系統剛度的影響，模型相對不夠完善。基于此，本文結合文獻［9］和［13］，建立含有支柱扭轉、側向彎曲、縱向彎曲和軸向位移以及雙輪側向偏移的前起落架擺振六自由度模型，同時考慮軸向位移對系統剛度的影響。應用該模型，研究了支柱軸向位移對擺振的影響；對比分析了六自由度模型和傳統四自由度模型的擺振分岔曲線圖，并選取緩沖器最大行程、滑跑速度、垂向載荷和機輪轉動慣量作為延拓參數，進行雙參數Hopf分岔分析。最后，采用四階Runge?Kutta法和快速傅里葉變換，詳細分析了擺振雙穩態區域內的頻域特性。

1 前起落架擺振六自由度模型

1.1 模型自由度描述

起落架系統各自由度如圖1和圖2所示。其中包含4個起落架結構自由度，即支柱扭轉角θ、側向彎曲角δ、縱向彎曲角β和支柱軸向位移U，以及2個輪胎側向偏移自由度λ（λL和λR）。

圖1（a）中FZ表示垂向作用在支柱頂端的集中載荷，S表示支柱的中心軸線，lg為前起落架的實際高度，γ為機輪平面的側傾角，FZL和FZR分別為左、右前輪受到地面的支持力；圖1（b）中的D為輪間距；圖1（c）中的?為支柱的前傾角，e為機械穩定距（機輪中心點到支柱軸線S的距離），eeff為有效穩定距。

本文對輪胎進行動力學分析時，應用了von Schlippe張線理論模型，如圖2所示。圖中α為側偏角；h和σ分別為輪胎觸地線長度的一半和輪胎的松弛長度；θ1為機輪的偏航角，由于考慮了支柱前傾角和縱向彎曲角，因此機輪偏航角θ1要略小于支柱扭轉角θ，二者之間的關系為θ1=θcos（β+?）。

圖1和圖2中V為飛機滑跑速度。

1.2 模型建立

在建立模型之前，需要進行下列幾點假設與定義：

（1）假設輪胎不出現滾動滑移；

（2）不考慮機身運動對前起落架擺振的影響；

（3）用支柱頂端的垂向集中載荷代替前起落架所承受的機體載荷；

（4）忽略輪胎變形對支柱軸向位移的影響，用緩沖器行程表示支柱的軸向位移；

（5）忽略支柱壓縮行程對起落架側向和縱向剛度的影響。

根據動力學平衡原理和Von Schlippe張線理論，建立了雙輪前起落架擺振的六自由度動力學模型。描述支柱的扭轉、側向彎曲、縱向彎曲和軸向位移的方程分別為：

圖3中，T為極限環的非退化折分岔曲線，紅色虛線所在的參數范圍內，系統存在單個穩定平衡點。從該區域范圍開始，逆時針方向觀察，當紅色虛線穿過l1的負半軸時，系統存在唯一的穩定極限環（綠色虛線參數范圍）；當綠色虛線穿過l1的正半軸時，系統出現兩個穩定性相反的極限環（藍色虛線參數范圍）；當藍色虛線穿過曲線T時極限環消失，留下單個穩定平衡點。

上述理論分析過程提供了擺振穩定分析的基本思路。由于Neimark?Sacker分岔在擺振問題中為亞臨界的，系統可能出現的多倍周期和擬周期運動是短暫的［8］，此處不對其進行具體分析。

根據本文所計算的分岔曲線，分岔分析基本流程如圖4所示。本文具體對擺振進行分岔計算時使用了Matlab中的Matcont工具箱。鑒于本文模型的動力學方程較為復雜，為了保證模型計算精度，在Matcont中選用了變步長ODE45延拓算法。

3 支柱軸向位移影響分析

在相同工況條件下，通過雙參數分岔曲線圖，將本文六自由度模型與THOTA四自由度模型進行比較，分析了增加軸向位移對扭轉和側向擺振區域的影響。此外，分別選取滑跑速度V、垂向載荷FZ和機輪轉動慣量I作為延拓參數，與緩沖器最大壓縮行程Um組合進行雙參數分岔分析。

3.1 模型比較

根據圖4所示的分析流程，選取滑跑速度V和垂向載荷FZ為延拓參數，對本文模型進行雙參數分岔計算，并與文獻［9］中THOTA傳統四自由度模型進行比較。

各擺振參數取值按表1進行選取，除本文增加的參數外，其余參數的取值均與文獻［9］相同，其中Um=0.6 m，I=0.1 kg·m2。計算得到的動力學模型分岔圖如圖5所示。可以看出，本文模型的扭轉擺振曲線相比四自由度模型有縮小趨勢，側向擺振曲線有向上移動趨勢。發生該變化主要是因為在考慮支柱軸向位移的同時，起落架扭轉剛度Kθ、側向轉動慣量Iδ和縱向轉動慣量Iβ也發生了變化。下面將從Kθ、Iδ、Iβ這三個參數來分析六自由度模型擺振曲線變化的原因。

首先計算不同Kθ時擺振曲線的分岔圖。由于暫時只觀察Kθ所帶來的影響，為控制其他參數不變，故選用THOTA四自由度模型來進行計算。根據式（23）可知，在考慮支柱軸向位移時，起落架扭轉剛度最大值約為1.1×106 N?m/rad，因此在3.8×105和1.1×106之間等間距選取Kθ值進行計算，結果如圖6中實線所示。圖6中虛線為THOTA四自由度模型在Kθ=3.8×105 N?m/rad時的擺振曲線。

由圖6中可以看出，隨著扭轉剛度Kθ增加，扭轉擺振曲線有明顯縮小的趨勢，并且側向擺振曲線向下移動。當Kθ值超過9.2×105 N?m/rad時，將不會出現扭轉擺振曲線，側向擺振曲線也不再向下移動。

在僅觀察不同Iδ值對擺振曲線影響時，同樣可以使用傳統四自由度模型；而觀察不同Iβ值的影響時，則需要使用考慮支柱縱向彎曲的五自由度模型，即式（1）～（6）。此外根據式（20）和（21）發現，Iβ和Iδ的值可以相互表示，因此在此處改變Iδ和Iβ值，同時計算傳統四自由度和五自由度模型擺振分岔曲線，在軸線位移變化范圍內，起落架側向轉動慣量約在300～600 kg?m2范圍內變動，計算結果如圖7所示。

圖7中（a1）、（b1）和（c1）為只考慮Iδ變化的四自由度模型擺振曲線；（a2）、（b2）和（c2）為考慮Iβ和Iδ變化的五自由度模型擺振曲線。可以看出，隨著Iδ值的變小，扭轉擺振曲線有擴大趨勢，側向擺振曲線有向上移動趨勢。考慮支柱縱向彎曲后發現，扭轉擺振曲線和側向擺振曲線幾乎沒有變化，這也符合文獻［8］中縱向擺振不主動參與其他類型擺振的結論。

增加支柱軸向位移后，隨著緩沖器的壓縮量增加，起落架扭轉剛度增大，而起落架側向和縱向轉動慣量減小。當Um取0.6 m時，在圖6和圖7中可以看出，扭轉剛度引起扭轉擺振曲線縮小程度比側向和縱向轉動慣量引起扭轉擺振曲線擴大程度更加明顯；相反，轉動慣量變化引起的側向擺振曲線向上移動程度比剛度程度更明顯。因此，圖5所示六自由度模型的扭轉擺振曲線會呈縮小趨勢，側向擺振曲線會呈向上移動趨勢，即扭轉擺振和側向擺振區域均縮小。

3.2 延拓參數的選取

在動力系統中，當速度項和加速度項同時為零時，動力系統達到平衡狀態。在前起落架擺振動力學方程（1）～（6）中，需要滿足各擺振變量的一階導與二階導同時為零，如下式所示：

式（32）～（36）表明，系統的平衡狀態與延拓參數Um、Fz和lg有關，但與延拓參數V和I無關。在擺振分岔分析中，只需考慮系統的零平衡狀態，雖然系統平衡狀態與參數V和I無關，但應用Hurwitz準則可以得出零平衡狀態的穩定性與所有延拓參數均有關［10］。其中lg可以用軸向位移表示，這里不作單獨分析。前起落架系統在穩定后的軸向位移接近緩沖器最大行程Um，可以用Um間接反映支柱軸向位移，因此選取參數Um、V、FZ和I進行擺振雙參數分岔分析。

3.3 雙參數分岔分析

3.3.1 緩沖器最大行程和滑跑速度

選取緩沖器最大行程Um和滑跑速度V作為延拓參數進行雙參數分岔計算。其中，FZ=2.86×105 N，I=0.8 kg?m2。雙參數分岔圖如圖8所示。

圖8中l1和l2為Hopf分岔曲線，中間陰影區域為扭轉擺振穩定區，兩側空白區域不發生擺振。為了更加直觀地理解各區域的擺振類型，分別在圖8中選取點A1（5，0.9），B1（75，0.6）和C1（175，0.5）對支柱的四個自由度進行了相平面和時間歷程的計算，如圖9所示。

圖9（a1）～（a3）分別為各點的扭轉側向擺振相圖9（b1）～（b3）和（c1）～（c3）為縱向彎曲和軸向位移的時間歷程。從相圖中可以看出，兩側空白區域內的A1和C1兩點處扭轉和側向擺振角度最終都趨于0°，不發生擺振。而中間陰影區域內的B1點處扭轉擺振幅值約為0.14 rad（8.02°），側向擺振幅值很小可將其忽略，主要發生扭轉擺振；圖9（b1）～（b3）中支柱縱向偏轉角僅有0.001 rad（0.06°）左右也可忽略，但能看出B1、C1點偏轉角度比A1點大，出現這一現象的原因是起落架支柱高度不同，相同工況下高度越高，縱向偏轉角度越大；在圖9（c1）～（c3）軸向位移時域圖中能看出，軸向位移的大小最終將接近緩沖器最大壓縮行程。

3.3.2 緩沖器最大行程和垂向載荷

選取緩沖器最大行程Um和垂向載荷FZ作為延拓參數進行雙參數分岔計算，其中V=180 m/s，I=0.8 kg·m2，FZ?Um的雙參數分岔圖如圖10所示。

n

圖10中的lA、lB分別為側向擺振和扭轉擺振的Hopf分岔曲線。由分岔曲線劃分得到的區域①不發生擺振，區域②發生扭轉擺振，區域③和④發生小幅扭轉側向擺振。

各區域內相圖如圖11所示，在區域①內相圖可以看出支柱扭轉和側偏擺振角度都趨于0 rad；區域②內扭轉擺振角度明顯大于側偏擺振角度且角度僅有0.005 rad（0.29°），可視為該區域內發生扭轉擺振，工程中應盡量避免在區域②內取值；區域③和④內扭轉和側偏擺振角度相差不大，發生較小幅度的扭轉側偏擺振。

3.3.3 緩沖器最大行程和轉動慣量

選取緩沖器最大行程Um和轉動慣量I作為延拓參數進行雙參數分岔計算，其中V=180 m/s，FZ=2.86×105 N，I?Um的雙參數分岔圖如圖12所示。

圖12中l為Hopf分岔曲線，空白區域為不擺振區域，陰影部分為扭轉側向擺振穩定區域。分別選取A2和B2點進行數值計算，得到圖13所示隨時間變化的相圖。由圖13（a）中可以看出，在給定初始激勵后，空白區域內A2處隨時間變化兩種擺振角度均趨于0 rad，圖13（b）在陰影區域內B2處兩種擺振角度最終呈穩定的周期變化。為了減少擺振的發生，在工程中I和Um參數值應盡量避免在陰影區域內選取。

4 支柱縱向彎曲影響分析

本節主要研究增加支柱縱向彎曲自由度后的擺振特性，故本節模型不考慮支柱軸向位移變化對起落架扭轉剛度、側向轉動慣量和縱向轉動慣量的影響，令Kθ=3.8×105 N?m/rad，Iδ=600 kg?m2，Iβ=750 kg?m2。

雖然現有學者分析支柱縱向彎曲對擺振的影響，但大多基于單輪前起落架模型。在雙輪前起落架中，由于機輪平面的側傾，使得兩輪的幾何滾動半徑不同［5］，這將影響擺振發生的頻率［19］，因此有必要使用雙輪前起落架模型分析支柱縱向彎曲自由度對擺振的影響。由于支柱縱向彎曲剛度較大，擺振幅值較小，為了體現支柱縱向彎曲自由度的擺振特性，本節將使用時頻分析方法進行研究。首先對模型進行雙參數分岔計算，劃分出擺振穩定區，之后在雙穩態區域內選取工況點來進行擺振時頻分析。

4.1 擺振穩定區劃分

圖14為雙輪前起落架擺振雙參數分岔圖。其中I=0.1 kg?m2，其余參數的取值均與表1相同。圖中左斜線的區域Ⅰ以扭轉擺振為主，為扭轉擺振穩定區；陰影區域Ⅱ為擺振雙穩區，其穩定后的擺振類型與初始激勵有關；右斜線的區域Ⅲ為側向擺振穩定區；空白的區域Ⅳ不發生擺振。

圖14中CL為側向擺振的Hopf分岔曲線，CT為扭轉擺振的Hopf分岔曲線。曲線CT上檢測出兩點退化的Hopf分岔點PGH1和PGH2，該兩點將扭轉擺振曲線分成了兩部分，實線部分存在穩定的極限環，而虛線部分為不穩定的極限環。曲線CL和CT的交點PHH1和PHH2是雙Hopf分岔點，經過該兩點進行兩次Hopf分岔延拓，可以得到兩條Neimark?Sacker（N?S）分岔曲線CNS1和CNS2，并且在N?S曲線上可以檢測到三個1︰3強共振點PR3和兩個1︰4強共振點PR4、PR3和PR4點附近會出現短暫的周期3和周期4的扭轉側向擺振現象。曲線CGC是由點PGH1和PGH2延拓的極限環分岔曲線，其與N?S曲線相切于極限環的分岔點PLPNS，并且共同組成了雙穩態區域的邊界。

在擺振穩定區內選取工況點計算時發現，扭轉擺振穩定區Ⅰ內的時頻特性與雙穩態區域初始激勵接近零平衡狀態時相同；側向擺振穩定區Ⅲ內的時頻特性與雙穩態區域初始激勵遠離零平衡狀態時相同。因此本文不再詳細分析扭轉和側向擺振穩定區內的時頻特性。下面主要對擺振雙穩態區域進行時頻特性分析。

4.2 擺振雙穩態區域

前起落架系統擺振是高度非線性系統，其在嚴格意義上不存在固有頻率［21］，本節不考慮結構變形所帶來的剛度變化，并忽略了耦合項的作用，分別對支柱扭轉、側向彎曲和縱向彎曲的單個自由度擺振固有頻率fθ， fδ和fβ進行了估算，表達式為［19］：

式（37）所使用的FZ值為2.86×105 N，計算得到fθ=9.71 Hz，fδ=15.3 Hz，fβ=31.5 Hz。

在雙穩態區Ⅱ內選取點A（80，450000）進行計算，其中I=0.1 kg?m2，Um=0.6 m。在該區域內給定了兩種初始激勵，初始激勵一（接近零平衡點）的角度θ=0.01 rad，δ=0.01 rad和β=0.01 rad，其余初值均為零；初始激勵二（遠離零平衡點）的角度θ=0.01 rad，δ=0.2 rad和β=0.01 rad，其余擺振變量（U除外）初值均為零。

圖15（a）～（f）為雙穩態區域內且在初始激勵一時的時間歷程和頻譜圖。圖15（a）、（c）和（e）分別為支柱扭轉、側向和縱向振動時間歷程圖。選取開始發生振動的0～10 s、穩定振動的40～50 s和90～100 s三個時間段進行頻域變換，得到圖15（b）、（d）和（f）所示的頻譜圖。

圖15（b）為扭轉振動頻譜圖，支柱扭轉振動頻率始終在11.2 Hz附近，接近扭轉擺振固有頻率估計值fθ=9.71 Hz，并且在33.7 Hz（約為3倍扭轉振動頻率）附近還伴有極小振幅的振動。需要說明的是，由于影響結構固有頻率的因素有很多，當改變滑跑速度和垂向載荷時，結構的固有頻率也有可能發生變化，所以B點穩定后的扭轉擺振頻率為11.2 Hz，與計算的固有頻率略有不同。圖15（d）為側向振動頻譜圖，開始振動時，側向擺振發生在16.1 Hz和11.2 Hz附近，即在側向固有頻率和扭轉固有頻率附近，穩定后側向振動發生在扭轉固有頻率附近。圖15（f）為縱向振動頻譜圖，開始振動時，縱向擺振發生在31.5 Hz附近，即縱向固有頻率附近，穩定后縱向振動發生在2倍扭轉固有頻率附近。

圖16的（a）～（f）為雙穩態區域內且在初始激勵二時的時間歷程和頻譜圖。由圖16（a）、（c）和（e）的時間歷程圖中可以看出，初始側向擺振角δ取0.2 rad（遠離零平衡點）時，側向擺振出現了較明顯的振幅，縱向不發生擺振。雙穩態區域內發生較小振幅的扭轉側向擺振。

圖16（b）為扭轉擺振在0～100 s內的頻譜圖，從圖中可以看出，在0～10 s內，扭轉振動的頻率出現了10.2、16.1、48.2 Hz三種頻率的疊加，但振動主要發生在16.1 Hz附近，其中10.2 Hz接近扭轉擺振的固有頻率，16.1 Hz接近側向擺振的固有頻率，48.2 Hz接近3倍的側向固有頻率。在40～50 s和90～100 s內，扭轉振動的頻率為16.1 Hz主要發生在側向擺振固有頻率附近；圖16（d）為側向擺振在0～100 s內的頻譜圖，在0～100 s內，側向振動始終發生在16.1 Hz附近（側向固有頻率附近）。圖16（f）為縱向擺振在0～100 s內的頻譜圖，在0～10 s內，縱向振動頻率主要在縱向擺振固有頻率31.5 Hz附近。在40～50 s和90～100 s內，縱向振動的頻率在32.1 Hz附近，主要發生在2倍側向擺振固有頻率附近。

綜上分析，在雙穩態（初始激勵接近零平衡狀態時）區域內穩定后，扭轉和側向振動都發生在扭轉固有頻率附近，同時扭轉振動還在3倍扭轉固有頻率附近存在極小振幅的振動，縱向振動發生在2倍扭轉擺振固有頻率附近；在雙穩態（初始激勵遠離零平衡狀態時）區域內，扭轉擺振的頻率主要發生在側向固有頻率附近，并且在3倍側向固有頻率附近也伴有小幅的振動。側向擺振的頻率始終發生在側向固有頻率附近。縱向擺振穩定后的頻率發生在2倍的側向固有頻率附近。

上述擺振穩定區之間的振動頻率規律與文獻［8］和［19］中單輪前起落架的研究結果相似，即縱向自由度不會主動影響其他擺振自由度。不同的是在單輪前起落架擺振雙穩態區域內，縱向振動僅發生在2倍的扭轉固有頻率附近。而在雙輪模型的雙穩態區域內，當初始激勵接近零平衡狀態時，縱向擺振發生在2倍扭轉振動固有頻率附近；初始激勵遠離零平衡狀態時，縱向擺振發生在2倍側向振動固有頻率附近。

5 結 "論

本文建立了含有支柱軸向位移和縱向彎曲的六自由度雙輪前起落架擺振模型，對增加軸向位移帶來的影響進行了雙參數Hopf分岔分析，并應用四階Runge?Kutta法和快速傅里葉變換詳細分析了擺振雙穩態區域內的時頻特性。主要結論如下：

（1）在一定工況條件下，考慮支柱軸向位移的六自由度模型相比THOTA傳統四自由度模型，扭轉擺振區域和側向擺振區域都有縮小趨勢。

（2）在單輪和雙輪前起落架中支柱縱向擺振的發生頻率帶并不完全相同。雙輪前起落架在雙穩態區域（初始激勵接近零平衡狀態）內，縱向擺振發生在2倍扭轉固有頻率附近；在雙穩態區域（初始激勵遠離零平衡狀態）內，縱向擺振發生在2倍的側向固有頻率附近。

（3）垂向載荷FZ和緩沖器最大行程Um的共同作用對擺振影響較明顯，并且在FZ和Um值都較大的區域內發生明顯的扭轉擺振，工程中應盡量避免FZ和Um值出現在該區域內。

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作者簡介： 高相國（1997―），男，碩士研究生。

E?mail： qn1318111912@163.com

通訊作者： 盧 "翔（1969―），男，博士，教授。

E?mail： xlu@cauc.edu.cn