彈跳小球-薄板系統的動力學行為研究

摘要： 通過物體在振動結構表面上的運動可實現輸送，隨著機械自動化與智能化的快速發展，這項技術面臨著更多的要求和挑戰。此類輸送 設備一般可簡化為彈跳小球在振動薄板表面上的運動模型。本文在細/宏觀尺度下，建立了理想情形下的小球?薄板碰撞理論模型，設計并搭建了彈跳小球?薄板系統動力學行為實驗平臺，通過聲壓傳感器和數據采集儀獲取并處理小球撞擊薄板的聲信號，分析激振頻率、振幅和小球質量對碰撞間隔和強度的影響。結果表明，小球?薄板碰撞間隔與碰撞強度不是一個固定值，呈現出帶有單峰值的狀態；隨著頻率和振幅的增大，小球?薄板碰撞間隔與碰撞強度均提高；增大小球的質量，小球?薄板碰撞間隔與碰撞強度均降低，并且該變化是一種相對趨勢的變化即均值體現，而非嚴格的絕對變化。特別地，在實驗中發現小球與薄板的碰撞時刻波形并不是瞬時的，而是有一段作用時間，這與小球與薄板相撞的耦合作用以及薄板受小球沖擊的受迫振動的衰減有關。

關鍵詞： 薄板； 振動； 彈跳小球； 聲壓傳感器； 實驗

中圖分類號： O326； O311 " "文獻標志碼： A " "文章編號： 1004-4523（2025）03-0631-06

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.03.020

Dynamic behaviors of a bouncing ball?thin plate system

CHEN Ling1， LI Shuang2， LI Cheng2，3， FAN Xueliang2， CAI Jianwen3

（1.Department of Rail Transit Engineering， Branch of Suzhou Construction amp; Communications，

Jiangsu Union Technical Institute， Suzhou 215104， China； 2.School of Rail Transportation， Soochow University，

Suzhou 215131， China； 3.School of Automotive Engineering， Changzhou Institute of Technology， Changzhou 213032， China）

Abstract： Conveying can be achieved through the motion of objects on vibrating structural surfaces. With the rapid development of mechanical automation and intelligence， this technology is facing more requirements and challenges. This type of conveying equipment can generally be simplified as a motion model of bouncing balls on a vibrating thin plate surface. This article designs and builds an experimental platform for the dynamic behavior of a bouncing ball-thin plate system at a micro/macro-scale using an ideal ball-thin plate collision theoretical model. By using sound pressure sensors and data acquisition instruments to extract and process the sound signal of the ball hitting the thin plate， the effects of excitation frequency， amplitude， and ball mass on collision interval and strength are analyzed. The results show that the collision interval and collision strength between balls and thin plates are not fixed values， but exhibit a state with a single peak value. As the frequency and amplitude increase， the collision interval and collision intensity between balls and thin plates increase. Increasing the mass of the ball results in a decrease in both the collision interval and collision intensity， and such a change is a relative trend reflected by the mean， rather than a strictly absolute change. Specifically， it is found in the experiment that the waveform of the collision time between the ball and the thin plate is not instantaneous， but has a period of time effect， which is related to not only the coupling effect of the collision between the ball and the thin plate， but also the attenuation of the forced vibration of the thin plate under the impact of the ball.

Keywords： thin plate；vibration；bouncing ball；sound pressure sensor；experiment

受脈沖載荷作用的薄板是多種工程問題的簡化模型。振動給料機（輸送機）、汽車車輛包括軌道交通機車自動組裝設備中的部件運輸、固體顆粒的傳遞和分離等都是利用物體在振動表面的運動來實現輸送的功能。這些系統可模型化為彈跳小球在振動薄板表面的運動行為，因此開展其動力學行為研究對相關工程應用有一定的指導意義。

自20世紀80年代起，人們即對一個剛性小球在做周期振動的臺面上的彈跳運動開展了一些研究［1?2］。EVERSON［1］描述了一個在振動平臺上反彈的完全彈性球受到周期性作用力的系統，揭示了小球的準周期運動。NAYLOR等［3］發現小球在垂直于振動平臺上的彈性反彈會產生混沌現象。AYMAR等［4］用手持球拍有節奏地彈球使其達到預設的幅度，發現恢復系數的變化會導致球的振幅變化。LEONEL等［5］通過使用速度變量和離散時間建立了粒子反彈系統的二維動力學理論。DA COSTA等［6］研究了彈跳球模型中的經典粒子系統及其與能量擴散有關的統計性質。FEOLI等［7］從經典和量子角度闡述了彈跳球的動力學性能，分別分析了慣性質量和引力質量的作用，刻畫了不同質量的粒子在均勻引力場中的行為。MARò［8］考慮彈跳球的自由落體運動和反彈后的垂直運動，導出了正則周期函數的二階導數，給出了任意大幅度運動和混動的充分條件。JIANG等［9］開展了彈跳球的混沌動力學實驗，討論了能級躍遷的概率和規則，分析了小球碰撞過程中的能量耗散。

不過，盡管已有部分學者對彈跳小球的運動開展了若干研究，但是關于小球和薄板系統耦合振動的研究并不多。HILL等［10］對單個彈性球在振蕩板上的反彈進行了初步探索，證明在某些情況下球可以先進行大反彈，然后開始小反彈。JIANG等［11］分析了完全非彈性球在垂直振動板方向上的彈跳行為，發現小球在振動板上會發生一系列次諧波分叉。

已有的部分研究運用了理論與數值分析，或在理論模型建立后進行了計算機模擬仿真，鮮有文獻直接搭建合適的實驗平臺，再對彈跳球?薄板的運動過程進行采集和分析，因此實驗測試數據很少見。不同于已有文獻采用的研究手段［12?18］，本文通過設計并搭建實驗平臺，采用聲壓傳感器和DASP數據采集儀捕獲小球與薄板碰撞瞬間的動力學行為，精確度比以往文獻常采用的高速相機更高。考慮了頻率、振幅對系統的作用效果，具體分析了各參數對小球?薄板碰撞間隔和碰撞強度的影響。研究結果可為智能機械化工程及后續進一步的微/納觀實驗提供參考。

1 理論模型

首先在理想情況下建立彈跳小球?薄板系統的理論模型［19?20］。假設振動薄板受外界正弦激勵，并且其質量遠大于小球質量，小球和振動薄板之間的碰撞是瞬時的，即薄板的運動不受碰撞沖擊的影響。此外，碰撞通常是非彈性的，即每次碰撞中都有能量損失。若能量沒有損失，則碰撞是彈性的［21?22］。

1.1 碰撞關系

碰撞屬于非連續和非光滑過程，因為本文考慮的小球?薄板系統不計摩擦作用，同時小球與薄板進行的是一個正碰撞行為，涉及到的非線性因素較少，因此非光滑因素在本文模型中的影響不大，可以忽略。考慮小球在碰撞前、后的速度變化，在靜止薄板上，令v_k^'、v_k分別為第k次碰撞薄板前、后瞬間小球的速度，則：

式中，α為恢復系數，用來衡量每一次碰撞后能量的損失程度，如果α=1，則該系統是保守的且碰撞是彈性的。

如圖1所示，薄板在外激勵下以正弦方式振動，u_k為地面參考系中薄板的速度。v ?_k^'、v ?_k分別表示以薄板為參考系時，在第k次碰撞薄板前、后瞬間小球的速度，在薄板參考系中有：

薄板緊固在振動勵磁機上，音頻頻率發生器產生不同頻率和振幅的正弦信號，通過功率放大器連接到振動勵磁機使得薄板保持正弦振動，進而觸發小球彈跳，運用聲壓傳感器和數據采集儀連接至計算機進行聲信號采集。

2.2 實驗內容

首先驗證設計實驗的可行性，采用頻率為180 Hz，音量為60 dB（改變音量來改變振幅）的正弦信號激振4 mm小球，DASP數據采集儀在計算機上進行自譜分析，如圖4所示。同時，為進一步觀察小球和薄板碰撞瞬間的波形，截取其中一小段進行觀察，如圖5所示。

由圖4所示的頻譜圖可知，采集到的薄板振動頻率為180 Hz，與音頻頻率發生器給出的頻率一致，這表明在實驗過程中，薄板受到的激振頻率沒有失真。從圖5中可以看出，當小球與薄板未進行碰撞時，采集的聲壓波形只有薄板的正弦振動；小球與薄板碰撞時，其聲壓波形異于僅有薄板振動時的波形，說明運用聲壓傳感器能夠很好地捕捉小球與薄板之間的碰撞行為，從而證實了本文實驗方案的可行性。

其次進行了頻率f分別為180、200、220 Hz，音量V分別為60、80 dB，小球直徑D分別為4、5 mm情況下的實驗。DASP數據采集儀在采集數據時，是將薄板的正弦振動和小球?薄板碰撞行為聲壓波形同時采集，不便于分析系統碰撞行為，因此對DASP采集的聲壓波形進行濾波，采用帶通濾波器濾去薄板的正弦振動，得到小球?薄板碰撞聲壓波形圖如圖6所示。

圖6（a）、（b）、（c）分別給出了小球直徑為4 mm，音量為60 dB，激振頻率分別為180、200、220 Hz時小球?薄板碰撞聲壓波形圖。可見隨著頻率的增大，小球與薄板碰撞的波形間隔相對越來越疏，這表明小球與薄板的碰撞間隔越來越大，小球脫離薄板彈跳越來越高，在空中運動的時間越來越長。由式（12）亦可知，頻率增大給小球提供了更大的反彈速度，進一步驗證了本文的理論模型。比較圖6（a）和（d）可知，在頻率和音量一定的情況下，小球的質量影響著系統的動力學響應。這一點與理想情況下的理論模型不同，類似于已有文獻的做法，為方便計算，本文理論模型中并未考慮小球的質量。但是，在本文實驗中發現，隨著小球質量的增大，碰撞波形間隔變密，小球?薄板的碰撞間隔變小，小球彈跳高度變低，反彈速度變小。因此，在細/宏觀尺度下，小球質量不可忽略。圖6（b）和（e）揭示了隨著音量的增大即振幅的增大，小球與薄板的碰撞間隔增大，小球反彈速度提高，因此振幅增大同樣增大了小球的反彈速度。

2.3 實驗數據處理與分析

進一步分析帶通濾波后的小球?薄板碰撞聲壓波形數據，得到如圖7所示的小球?薄板碰撞間隔統計圖，其中橫坐標表示小球?薄板碰撞間隔與激振周期之比，縱坐標表示所占個數。

由圖7可知，小球與薄板的碰撞間隔與激振周期之比并不是一個固定值，而是在一定區間內呈現分布狀態，并且具有單峰值。圖7（a）～（c）給出了小球質量和音量（振幅）一定時，不同頻率下的小球碰撞間隔與激振周期之比的統計圖。可見隨著頻率的增大，其比值相應地沿著橫坐標整體右移，同樣說明了小球碰撞間隔的相對增大，并且單峰值對應的比值也隨之增大。圖7（b）和（d）表明，在其他條件一定的情況下，小球質量越大，比值沿橫坐標左移，單峰值對應的比值減小。可見小球碰撞間隔縮短，質量的存在影響了小球的反彈速度。比較圖7（a）和（e）可見，隨著音量的增大，小球的碰撞間隔也增大，進而提高了小球的反彈速度。

進一步地，對小球?薄板碰撞時產生的聲壓進行了統計分析。如圖8所示，橫坐標表示碰撞時刻的聲壓，即兩者碰撞時碰撞的強度，縱坐標表示各聲壓值所占個數。

從圖8中可以看出，小球與薄板碰撞產生的聲壓也并非一個固定值，而是在一定區間內呈現分布狀態。聲壓值表示小球與薄板碰撞的強度，其值不是一個固定值有如下兩方面的原因：一方面，小球每次與薄板的碰撞間隔不同，則小球每次下落碰撞速度不同，造成碰撞強度存在差異；另一方面，小球彈跳過程中薄板自身也在做正弦振動，小球與薄板相撞時，可能恰逢薄板往波谷運動，兩者同向運動，碰撞強度較小，也可能恰逢薄板往波峰運動，兩者相向運動，碰撞強度較大。分析圖8（a）～（c）可見，隨著頻率的增大，小球與薄板的碰撞強度相對增強。圖8（b）和（d）表明，小球質量越大，小球與薄板的碰撞強度越弱。比較圖8（a）和（e）發現，隨著音量的增大，小球與薄板的碰撞強度亦增大。

3 結 論

通過理論建模并設計搭建實驗平臺，研究了彈跳小球?薄板系統的動力學行為。不同于已有文獻采用的實驗方法，本文采用聲壓傳感器和DASP數據采集儀捕獲小球與薄板的碰撞瞬間，精確度更高。考慮了頻率、振幅對系統的作用效果，具體分析了各參數對小球?薄板碰撞間隔和碰撞強度的影響。在實驗中發現了理論模型中忽略的小球質量對系統動力學存在影響，這是因為實驗研究的尺度在細/宏觀范圍，該范圍內小球質量相比微/納觀范圍而言不能忽略。分析結果表明，小球?薄板碰撞間隔與碰撞強度都不是一個固定值，而是在一定區間內呈現分布狀態；隨著頻率和振幅的增大，小球?薄板碰撞間隔與碰撞強度也增大；增大小球質量，小球?薄板碰撞間隔與碰撞強度均減小，并且該變化是一種相對趨勢的變化即均值的體現，而非嚴格的絕對變化。特別地，在實驗中發現小球與薄板的碰撞時刻波形并不是瞬時的，而是有一段作用時間，這與小球?薄板系統相撞的耦合作用以及薄板受小球沖擊的受迫振動的衰減有關。

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第一作者： 陳 "玲（1991―），女，碩士，講師。

E-mail：linglongzhuhai@163.com

通信作者： 李 "成（1983―），男，博士，教授。

E-mail：licheng@suda.edu.cn；licheng@czust.edu.cn