黏彈性四參數地基上兩跨連續修正Timoshenko梁的橫向自振特性分析

摘要： 為解決黏彈性四參數地基上兩跨連續修正Timoshenko梁的橫向振動問題，將兩跨連續修正Timoshenko梁與黏彈性四參數地基進行組合，建立新的振動控制方程，運用回傳射線矩陣法，結合二分法和黃金分割法，分析了黏彈性四參數地基上兩跨（等跨、不等跨）連續修正Timoshenko梁與單跨修正Timoshenko梁自振特性之間的聯系與區別。結果表明：對于黏彈性四參數地基上的修正Timoshenko梁，單跨梁的各階自振頻率小于兩跨連續梁的各階自振頻率，單跨梁的偶數階自振頻率和衰減系數與兩等跨連續梁的奇數階自振頻率和衰減系數相同，不等跨兩跨連續梁奇數階自振頻率小于兩等跨連續梁奇數階自振頻率；兩等跨連續修正Timoshenko梁的偶數階振型關于跨中支座對稱，奇數階振型關于跨中支座反對稱。

關鍵詞： 黏彈性四參數地基； 兩跨連續修正Timoshenko梁； 回傳射線矩陣法； 橫向振動； 模態

中圖分類號： TU471+.2； TU348 " "文獻標志碼： A " " "文章編號：： 1004?4523（2025）03?0604?08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004?4523.2025.03.017

Analysis of transverse free vibration characteristics of two?span continuously modified Timoshenko beams on viscoelastic four?parameter foundation

LIU Wei1， WANG Guobing2

（1.School of Civil Engineering， Lanzhou University of Information Science and Technology， Lanzhou 730300， China；

2.Geotechnical Engineering Research Institute， Xi’an University of Technology， Xi’an 710048， China）

Abstract： In order to solve the transverse vibration problem of two?span continuously modified Timoshenko beam on viscoelastic four?parameter foundation， a new vibration governing equation is established by combining two?span continuously modified Timoshenko beam with viscoelastic four?parameter foundation. By using the echo matrix method， bisection and golden section method， the relation and difference between the natural vibration characteristics of two?span （equal?span， unequal?span） continuously modified Timoshenko beam and single?span modified Timoshenko beam on viscoelastic four?parameter foundation are analyzed. The results show that for the modified Timoshenko beam on the viscoelastic four?parameter foundation， the natural frequency of each order of the single?span beam is less than that of the two?span continuous beam， the even?order natural frequency and attenuation coefficient of the single?span beam are the same as the odd?order natural frequency and attenuation coefficient of the two equal?span continuous beam， and the odd?order natural frequency of the unequal?span two?span continuous beam is less than that of the two?span continuous beam. The even?order mode shapes of two equal?span continuous modified Timoshenko beams are symmetrical with respect to the supports in the middle of the span， and the odd?order modes are antisymmetric with respect to the mid?span.

Keywords： viscoelastic four?parameter foundation；two?span continuously modified Timoshenko beam；return ray matrix method；transverse vibration；mode

地基梁作為眾多工程構件的基本模型，被廣泛應用于鐵路軌道［1］、公路路面［2］、輸水渠道［3］、隧道管棚［4］、建筑工程中的地下條形基礎［5］等，其動力學特性分析在工程領域及學術界備受關注。目前梁的彎曲振動已有多種理論，其中初等梁理論因求解方便、應用最廣而成為經典，但其對梁的高階振動、高度局部承載、高跨比較大等情況，存在靜力問題計算撓度偏小和動力問題高估振動頻率等不足［6］。Timoshenko梁理論的振動控制方程解耦后存在撓度關于時間的4階導數項物理意義不明確、第二頻譜、截面剪切修正系數多解等問題［6?8］。為解決這些問題，陳镕等［7］對經典的Timoshenko梁運動方程進行修正，指出考慮梁剪切變形引起的轉動慣量后，時間的4階導數項自然會消失，解決了經典Timoshenko梁理論一個振型對應兩個振動頻率的問題。夏桂云［8］利用固有頻率和臨界頻率的關系論證了Timoshenko梁產生第二頻譜的理論原因，通過實例驗證Timoshenko梁第二頻譜的存在，并從理論上預測存在第二頻譜現象的其他結構。王家樂等［9］指出當地基梁為深梁或者計算結構高階自振頻率時（諸如沖擊等問題），應采用修正Timoshenko梁理論。修正Timoshenko梁理論考慮了梁的剪切變形及其所引起的轉動慣量的影響，在深梁和高頻振動特性的分析方面優于經典Timoshenko梁理論。基于修正Timoshenko梁理論，余云燕等［10］運用回傳射線矩陣法求解了三種經典邊界條件下變截面修正Timoshenko梁的自振頻率。吳曉等［11］應用Timoshenko梁修正理論求解了泡沫鋁合金梁的自振頻率表達式及其在簡諧荷載作用下強迫振動的解析解。LI等［12］推導出分數階標準固體黏彈性地基上修正Timoshenko梁的振動控制方程，分析土體參數對修正Timoshenko梁波速、自振頻率的影響。但以上研究以單跨梁為主。

對兩跨連續梁自振特性的研究，多以彈性地基模型和簡單梁理論為主。鄭仰坤等［13］利用MIDAS有限元分析軟件和DASP設備分別對連續梁進行模態分析，得出不同跨徑比下連續梁的前3階振型及其頻率。張盼等［14］采集連續梁振動視頻并將其轉化為數字圖像，經MATLAB程序讀取整個振動過程梁邊緣的數據，通過DASP系統對觀測數據進行模態分析，得到兩跨連續梁的前2階頻率和振型。吳晶等［15］用DASP軟件對兩跨連續梁進行試驗模態分析，得出該連續梁的前2階頻率及其阻尼比。周盛林等［16］基于Bernoulli?Euler梁理論，采用模態分析法獲得雙跨梁的頻率方程，由此求解出雙跨梁的自振頻率。LI等［17］采用模態展開法研究了兩跨梁的自由振動特性，對中間支座錯位的兩跨梁振動特性進行分析。由以上研究可以看出，對兩跨連續梁的研究采用有限元分析和試驗分析的居多。余云燕等［18］求解了黏彈性Pasternak地基上Timoshenko梁在不同約束條件下單跨及兩跨連續地基梁的自振頻率、衰減系數和模態，但未考慮地基水平摩阻的影響，也未分析跨度比對黏彈性四參數地基上兩跨連續修正Timoshenko梁的影響。

回傳射線矩陣法（MRRM）不僅能精確計算復雜桿系結構的初期瞬態響應，而且能準確計算結構的自振頻率和振型，尤其在高階自振頻率和振型的計算上更有優勢。故本文基于修正Timoshenko理論，建立黏彈性四參數地基上修正Timoshenko梁的橫向振動控制方程，運用回傳射線矩陣法解耦后，結合二分法和黃金分割法，分析黏彈性四參數地基上兩跨（等跨、不等跨）連續修正Timoshenko梁與單跨修正Timoshenko梁自振特性之間的聯系與區別。

1 振動控制方程及方程的解

黏彈性四參數地基上兩跨連續修正Timoshenko梁的力學模型如圖1（a）所示，土體與修正Timoshenko梁的相互作用采用黏彈性Pasternak地基模型，并考慮地基水平摩阻的影響，建立整體坐標系（x，v），將地基梁劃分為2個單元3個節點，節點的編號如圖1（a）所示，對地基梁的每個單元JK引入2個對偶局部坐標系〖（x，y）〗^JK和〖（x，y）〗^KJ，原點分別在節點J和節點K，如圖1（b）所示。

對圖1（a）取微段隔離體，其受力情況如圖2所示。圖中，ys表示梁中心軸至梁頂端的距離。黏彈性地基梁在彎曲變形時，梁一般繞其中性軸轉動，造成梁底相對于地基有一定的水平變形，如果地基與梁間的接觸面比較粗糙，將對梁有水平約束作用。設梁底寬為w，地基與梁底的水平剪切系數為τ，梁中性軸距底邊為y_x，梁的截面轉角為?，梁底相對滑動為y_x ?。

在如圖3所示的極坐標ρ?o?θ下，令ρ=√（ω ?_n^2+δ_n^2 ），θ=arctan（δ_n/ω ?_n），由dρ和dθ組成的每個局域運用二分法和黃金搜索法進行迭代求解，即用二分法搜索出行列式實部和虛部變號的點，再用黃金分割法搜索行列式模的極小值點，adj|I-R（ω）|的每一個非零列可看作黏彈性地基梁自由振動時非零出射波幅向量d（ω）。當行列式的模小于預先給定的誤差時，停止迭代，則結構的自振頻率ω ?_n=ρcosθ，衰減系數δ_n=ρsinθ，可通過式（20）求得a，則結構中任意點處的橫向位移可由式（7）求出，將各點位移歸一化后即可得到結構的振型曲線。實際計算中，利用MATLAB語言編制相關程序。

2 算例分析

黏彈性四參數地基上兩跨連續修正Timoshenko梁的力學計算模型如圖1（a）所示，修正Timoshenko梁的計算參數如表1所示，土體的計算參數參考文獻［19］中的數值，如表2所示。

黏彈性四參數地基上兩跨連續修正Timoshenko梁的各項物理參數采用表1和2中的數值，7種工況下各跨梁的長度計算參數如表3所示。其中，工況1為單跨梁，工況2～6為不等跨兩跨連續地基梁，工況7為兩等跨連續地基梁。根據回傳射線矩陣法求解各工況下結構的前8階自振頻率和衰減系數的數值解如表4所示。

由表4可知，工況1的各階自振頻率明顯小于其他工況下的各階自振頻率，表明黏彈性四參數地基上單跨修正Timoshenko梁的各階自振頻率小于兩跨連續修正Timoshenko梁的各階自振頻率，但其隨階數增長的速度明顯大于兩跨連續修正Timoshenko梁。工況1的偶數階自振頻率和衰減系數與工況7的奇數階自振頻率和衰減系數相同，表明黏彈性四參數地基上單跨修正Timoshenko梁的偶數階自振頻率和衰減系數與兩等跨連續修正Timoshenko梁的奇數階自振頻率和衰減系數相同，這一結果與文獻［18］的結論一致。工況2～6的奇數階自振頻率小于工況7的奇數階自振頻率，其偶數階自振頻率大于工況7的偶數階自振頻率，表明黏彈性四參數地基上不等跨兩跨連續修正Timoshenko梁奇數階自振頻率小于兩等跨連續修正Timoshenko梁奇數階自振頻率，但其偶數階自振頻率大于兩等跨連續修正Timoshenko梁偶數階自振頻率。針對工況2～6，第1階自振頻率隨著跨度比的增大而增大，衰減系數隨著跨度比的增大而減小，從第2階開始，隨著跨度比的增大，自振頻率和衰減系數的變化并沒有統一的規律，但在不同跨度比時結構的自振頻率和衰減系數差異十分明顯，表明跨度比對黏彈性四參數地基上兩跨連續修正Timoshenko梁自振特性的影響較大。

圖4為各工況下結構的前8階模態。由圖4可知，工況3、工況5和工況7的第5階自振頻率和衰減系數完全相同，工況4和工況7的第3階及第7階自振頻率和衰減系數也完全相同，但其對應的振型曲線未完全重合，表明即使跨度比變化時結構具有相同的自振頻率和衰減系數，但振型曲線受跨度比的影響不完全相同。針對工況7的結構振型曲線，其偶數階關于跨中支座對稱，其奇數階關于跨中支座反對稱，工況1的奇數階振型關于跨中支座對稱，偶數階關于跨中支座反對稱，而工況2～6的結構振型曲線變化較為復雜，并沒有統一的規律，表明跨度比對黏彈性四參數地基上兩跨連續修正Timoshenko梁的模態影響較大。同時，黏彈性四參數地基上兩等跨連續梁的振型曲線與單跨梁的振型曲線有本質的區別。

3 結 "論

將回傳射線矩陣法推廣至黏彈性四參數地基上兩跨連續修正Timoshenko梁的振動分析中，結合二分法和黃金分割法，分析了黏彈性四參數地基上兩跨（等跨、不等跨）連續修正Timoshenko梁與單跨修正Timoshenko梁自振特性之間的聯系與區別。得出以下結論：

（1）對于黏彈性四參數地基上修正Timoshenko梁，單跨梁的各階自振頻率小于兩跨連續梁的各階自振頻率，但其隨階數增長的速度明顯大于兩跨連續梁；單跨梁的偶數階自振頻率和衰減系數與兩等跨連續梁的奇數階自振頻率和衰減系數相同。

（2）黏彈性四參數地基上不等跨兩跨連續修正Timoshenko梁奇數階自振頻率小于兩等跨連續修正Timoshenko梁奇數階自振頻率，但其偶數階自振頻率大于兩等跨連續修正Timoshenko梁偶數階自振頻率。

（3）黏彈性四參數地基上，隨著跨度比的增大，不等跨兩跨連續修正Timoshenko梁的高階自振頻率和衰減系數變化并沒有統一的規律，但在不同跨度比時結構的自振頻率和衰減系數差異十分明顯。

（4）雖然跨度比變化時結構具有相同的自振頻率和衰減系數，但是振型曲線受跨度比的影響并非完全重合。

（5）黏彈性四參數地基上，兩等跨連續修正Timoshenko梁的偶數階振型關于跨中支座對稱，其奇數階振型關于跨中支座反對稱，單跨修正Timoshenko梁的奇數階振型關于跨中支座對稱，偶數階振型關于跨中支座反對稱，隨著跨度比的變化，不等跨兩跨連續修正Timoshenko梁的振型曲線變化較為復雜，并沒有統一的規律。

（6）本文計算方法可求解任意邊界條件下及復雜參數結構的橫向自振特性，從而為工程實踐提供理論基礎。

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通信作者： 柳 "偉（1990―），男，碩士，講師。E?mail： 279339776@qq.com