GPLs/Al復合材料陣列開口結構的自由振動

摘要： 針對板經典解析解中不可避免的場函數假設依賴邊界約束問題，提出一種具有高自由選擇性的一般性場函數方法，研究GPLs/Al復合材料板陣列開口結構的自由振動特性。場函數由高自由度的基函數和待定權重系數求積后求和得到，其中權重系數具有線性相關性，其基礎解系恰好由邊界約束的位移函數線性方程組確定，因此邊界約束的改變只需要修改邊界位移函數線性方程組。由此建立的一般性場函數半解析法在處理邊界約束上既解決了場函數依賴邊界問題，又具備了快速轉換邊界條件的優點，同時在開口結構和陣列結構上以微分求和替代積分的計算方式具有更高的計算效率和魯棒性。本文在GPLs/Al復合材料板單開口及陣列開口的自由振動研究中，從固有頻率和模態分析發現，隨著開口分布的均勻性增加，開口結構的質量矩陣和剛度矩陣同步減小，其自由振動特性趨于完整板的自由振動特性。

關鍵詞： 自由振動； GPLs/Al復合材料； 陣列開口； 一般性場函數法

中圖分類號： O323； TB333 " "文獻標志碼： A " "文章編號： 1004-4523（2025）03-0612-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.03.018

Free vibration of GPLs/Al composite with an array cutouts

YAN Jianwei1，2， JIANG Sicen1，2， HE Linghui3

（1.State Key Laboratory of Performance Monitoring and Protecting of Rail Transit Infrastructure， East China Jiaotong University， Nanchang "330013， China； 2.School of Civil Engineering and Architecture， East China Jiaotong University， Nanchang 330013， China； 3.CAS Key Laboratory of Mechanical Behavior and Design of Materials， University of Science and Technology of China，

Hefei 230027， China）

Abstract： In this paper， we propose a general displacement field function method， which consists of the highly freely chosen basic function and a series of undetermined weighted coefficients to study the free vibration characteristics of GPLs/Al composite plate with an array cutouts. This general displacement field function method can solve the boundary constraint dependence when choosing the displacement field function to obtain the analytical solution in classical plate theory. There is a linear correlation between the weight coefficients. The system of linear equations is constructed based on the boundary constraints， thus the fundamental system of solutions can then be determined. By changing the system of linear equations as well as the fundamental system of solutions， the type of boundary constraint can be easily transferred. This proposed semi-analytic method not only solves the problem of assumed field function dependence on boundary constraints in the classical solution， but also has the superiority of fast conversion of boundary conditions. Meanwhile， by introducing the scatter integral method， a much more efficient and robust method is obtained other than the continuous integral method on the study of free vibration for the structure with an array cutouts. In this paper， we study the free vibration of GPLs/Al composite plates with a single and array cutouts. From the natural frequency and modal analysis， it is found that the generalized mass matrix and stiffness matrix of the open structure decrease synchronously when the cutouts distributed uniformly， and its free vibration characteristics tend to that of the complete plate.

Keywords： free vibration；GPLs/Al composite；cutouts；general displacement field function method

工程結構的力學性能受到材料屬性的影響，工程材料逐步從單一材料向可設計的復合材料發展。與均質材料相比，復合材料在輕質和力學性能方面具有相當的優勢［1?2］。復合材料靈活的可設計性為傳統功能材料設計開辟了全新的空間，也能夠滿足不同的功能需求從而具有越來越廣泛的應用前景。復合材料具有獨特的優點，例如比剛度大、比強度大等。早期金屬基復合材料的增強體主要以微尺度纖維或陶瓷顆粒等為主，在力學性能上有顯著的提高，但整體的延展性和斷裂韌性等則明顯不足。現代技術的發展為納米增強復合材料及其拓撲結構提供了新的視角和源動力，促進了納米增強復合材料的快速發展。大量研究［3］表明，納米尺度的增強體能極大地提升金屬基復合材料的強度且保持良好的塑性和延展性。近年來，石墨烯和碳納米材料因其獨特的力學特性和高自潤滑性而被廣泛關注。石墨烯納米片（GPLs）以極高的楊氏模量、斷裂強度及比表面積和延展性［4?5］為金屬基復合材料的研究開辟了新方向。板單元構件是工程結構應用中最常見的基本單元呈現形式，廣泛應用于土木交通、航空航天、汽車工業等領域。由于安裝連接、減重和拓撲結構設計的需要，通常會在板內開口。相對于完整的板結構而言，開口的形式和尺寸會造成板質量和剛度分布的變化，這必然會影響結構的振動特性。對于開口板的振動特性，國內外學者從解析法、半解析法和數值模擬上進行了較多的研究，并取得了很多成果。

AVALO等［6］采用雙傅里葉級數近似場函數和Rayleigh?Ritz法數值模擬研究了雙方形開口薄板的自由振動特性。LAURA等［7］等采用近似割圓法研究了簡支各向同性板圓形開口的橫向自由振動。上述數值模擬計算中，不論是方形開口還是圓形開口，求解的中心思想是將因開口造成動能和勢能的缺失考慮成對完整板體系的剛度矩陣和質量矩陣的影響，預設場函數由邊界約束形式決定。相類似地，CHO等［8］從能量法導出拉格朗日運動方程，隨后將系統的固有頻率和模態轉化成多自由度系統的特征值求解問題從而避開預設場函數，研究了任意邊界約束下方形、橢圓形及組合開口形式板的自由振動。KWAK等［9］提出獨立坐標耦合法，將開口局部的坐標和整體坐標通過運動學關系耦合在一起，從而簡化了復雜積分區域的勢能和動能積分。LIEW等［10］采用離散Ritz法和子域分解方式研究了中心開口矩形板的自由振動特性。根據中心開口板結構的中心對稱性，可采用四分之一結構即L型板進行研究，L型板可進一步細分成三個矩形子域，各子域之間的邊界為對稱或反對稱邊界，從而將有缺失的開口板問題重新轉化為完整的矩形板進行求解問題。需要注意的是，上述簡化方法的前提是要求結構關于中心對稱。為了解決非中心對稱開口板的振動問題，CHEN等［11］將分區的邊界采用虛擬彈簧模擬，研究了各種非中心對稱開口形式的面內和面外振動頻率和振型。上述研究方法中，整體坐標系和開口局部坐標系間的轉化關系處理是關鍵。LEE等［12］應用間接BIEMs法將不同開口間的聯系用坐標夾角表示，開口系統表示為多個線性代數系統的疊加，研究了多圓開口圓形板的自由振動。HUANG等［13］將開口板處理成變厚度板，采用格林函數對任意開口形狀的位移函數進行離散，而后通過積分得到系統的剛度和質量矩陣，從而研究任意形狀開口板的自由振動。王平等［14］針對帶孔口型特殊結構和邊界條件的耦合板振動不易求解問題，將板殼振動功率流理論結合Abaqus有限元軟件計算得到了結構共振頻率處的傳遞路徑圖。陳衛等［15］利用映射技術將三維殼曲面轉化為二維無網格離散模型，基于最小移動二乘法提出了求解任意殼結構線性彎曲自由振動的最小二乘無網格方法。彭林欣等［16］基于一階剪切變形理論和移動最小二乘無網格方法研究了Winkler彈性地基圓形加肋板的自由振動。

盡管包括有限元和無網格法等的數值方法能夠避開場函數的預設問題，對于任意開口結構、復雜邊界和荷載施加等外部環境都具有廣泛適用性，但從理論參數分析、精度控制和快速預測等角度，解析解仍然是相當重要的理論分析方法，在工程應用中具有重要的價值。通常解析解或半解析方法中，針對不同的邊界約束條件假設合適的場函數是精確求解自由振動固有頻率及相應振型的重要前提條件。位移場函數的選取目前多以改進傅里葉級數［17］、正交多項式［18］及切比雪夫多項式級數［19］為主，它們在分析單一規則開口的板結構時具有很好的收斂性，而在分析較復雜的內部開口如組合開口、不規則開口、曲邊開口問題和高階振型時則需要保留相當多項的級數項來保證收斂性和求解精度。此外，在經典的完整板理論解析求解中，典型簡支和固定約束邊界條件下的自由振動有成熟的假設場函數，但在懸臂邊界條件的場函數假設上則遭遇了相當大的困難。對應地，在數值模擬計算中，簡支和固定邊界約束施加后剛度矩陣和質量矩陣正定，從而能從特征值和特征向量求解中解出板自由振動的固有頻率和振型，然而對于懸臂約束條件則會造成剛度和質量矩陣奇異而無法求解。

此外，Kirchhoff薄板理論在求解自由振動和撓曲變形時通常忽略板的橫向剪切變形和轉動慣量的影響，一些特定情況下會與實際工程情況產生偏差。針對上述方法問題，本文建立一般性的場函數，場函數由基函數和待定系列權重函數求和確定，基函數具有高度自由性，解決場函數選擇時受限邊界條件的問題。需要注意的是待定權重函數之間并不是完全獨立的，一般具有線性相關性，其相關性恰好由邊界約束條件確定。因此，待定權重系數可以由邊界約束相關的線性方程組的基礎解系線性表達。由此結合本構關系和Hamilton原理建立的石墨烯納米片鋁（GPLs/Al）復合材料板自由振動控制方程的廣義剛度矩陣和廣義質量矩陣具有正定性，從而根據特征方程的特征值和特征向量得到系統的固有頻率和模態。該方法在處理方形開口結構問題時將局部坐標和整體坐標采用統一坐標，以離散積分方式替代連續積分方式能夠大幅度提高計算效率和便捷性。本文研究陣列開口分布方式對開口板結構的自由振動特性影響，該研究對板結構的輕量化設計具有一定的指導意義。

（29）

3 結果與討論

3.1 方法驗證

為了驗證本文方法的正確性，以兩個算例研究進行對比分析。以完整的單層石墨烯片和中心開口石墨烯片的自由振動為例。需要指出的是，單層石墨烯的材料厚度在眾多的文獻中存在爭議，目前廣泛采用的是多層石墨烯的層間距或者平均層厚作為單原子層石墨烯的厚度。本文作者最近的研究工作發現，當采用平均間距作為單原子層石墨烯的材料厚度時會呈量級地放大其抗彎剛度。通過自由振動和非線性彎曲變形的研究，提出了單層石墨烯厚度包括內稟厚度和結構厚度兩個部分的概念。當研究單層石墨烯的橫向自由振動或者變形時，應當采用內稟厚度，其值為0.0739 nm，據此從原子?連續多尺度理論模型中解析地得到單原子層石墨烯的楊氏模量E=3.1851 TPa，泊松比為0.4123，相對應的密度為9871 kg/m3 ［5］。對于兩層或多層石墨烯的厚度則回歸到內稟厚度與結構厚度之和，即層間距0.334 nm，楊氏模量0.7049 TPa，密度為2184 kg/m3。以S表示簡支邊界約束，C表示固定邊界約束，F表示自由邊界。

本節將首先從模態對比定性分析和固有頻率定量分析兩個角度驗證本文方法的收斂性。根據式（3）和（4），取m=n=10，討論mi=ni取值對簡支和固定約束的石墨烯片自由振動模態的影響，如表1所示。從表1列舉的振型和順序，不難發現隨著ni增大，假模態逐漸消失，簡支和固定邊界約束下的模態都趨于經典板理論。換而言之，增大ni可以促進本文方法收斂。

表2和3列出了給定m=n，當取值分別為10和20時石墨烯片的固有頻率的變化。當ni取值大于6時，簡支約束下的固有頻率前12階完全相等。然而，當ni=6時，由于產生的一些假模態（表1所示）而導致出現一些多余的固有頻率。當ni=10時，即意味著基函數采用純正弦函數時，固有頻率值有較大的變化。固定邊界約束計算結果的對比情況則顯示ni取值越大，計算結果越穩定。

對比表2和3的計算結果發現，n取值的增大對計算精度有明顯效果。并且，同樣驗證了上述結論，即ni取值增大能有效提高本文方法的計算魯棒性。因此，本文接下來的計算將設定n=20，ni取值不小于17，且不取20。

簡支邊界約束下經典板的自由振動固有頻率解為：

ω_mn=√（D/ρh） [（mπ/L）^2+（nπ/b）^2 ] （30）

表4列舉了四邊簡支（SSSS）邊長為10 nm的方形單層石墨烯分別采用原子?連續多尺度數值模擬、經典板解析解和本文方法的前12階固有頻率。從數值上看，經典板解析解與本文方法吻合得相當好，二者的最大偏不超過0.05%。與原子?連續多尺度全數值模擬的結果相比，由于數值計算邊界效應的影響，偏差略大，但即使是高階頻率的誤差如振型（1， 4）與本文方法或經典解的偏差也小于3%。因此，本文方法具有高精度和高魯棒性。

固定邊界約束下板的自由振動經典解為：

ω_mn=4/3 "π^2/L^2 "√（D/ρh （3m^4+2（L/b）^2 m^2 n^2+3（L/b）^4 n^4 ） ） （31）

表5列出了四邊固定約束（CCCC）邊長10 nm的方形單層石墨烯三種方法的前12階固有頻率。由表5可見，經典解計算的固有頻率在預測基頻時與原子?連續多尺度數值模擬和本文方法的結果吻合得很好，在高階頻的預測上存在嚴重的失真問題。對比原子?連續多尺度法和本文方法，原子?連續多尺度無網格方法數值模擬避開了場函數的預設問題，預測的固有頻率和振型順序與本文方法偏差限制在6.5%±3.5%范圍內，而經典解平均誤差為33.9%。因此，本文提出的一般場函數半解析法保證了計算效率的同時具有全數值模擬方法的計算精度。

3.2 "中心開口單層石墨烯的自由振動

中心開口的單層石墨烯幾何參數具體如下：邊長10 nm的方形石墨烯，以正中心開方形口，方形開口的尺寸為10/13 nm。鑒于算例1中在對固定邊界約束條件下三種預測方法之間都存在較大偏差的現象，本算例僅考慮簡支邊界約束下的開口對固有頻率的影響。表6列出了原子?連續多尺度無網格方法和本文方法預測的中心開口石墨烯的前12階頻率。與算例1中完整石墨烯兩種方法的預測結果情況一致，二者無偏差增大的趨勢，再次證明了本文方法的精度和魯棒性。值得關注的是，與原子?連續多尺度無網格全數值模擬相比，一方面本文方法在兩種邊界約束的轉化中，僅需要對與邊界約束相關的G矩陣作修改從而更新基礎解系，省去了全數值模擬方法中不同邊界約束的重新建模工作，因而本文方法在邊界處理上具有更靈活的實用性；另一方面，對于開口板的模擬，全數值模擬除重新建模外，還需要對開口區域的網格（有限元法）或者節點（無網格法）做摘除處理，這一處理工作會改變系統的總剛度矩陣和質量矩陣的維數。本文方法中開口區域僅僅是改變了積分區域，從微分求和的角度而言，僅是求和部分比完整板減少了，可以認為計算量比之前減少了。同時，本文方法建立的廣義剛度矩陣和質量矩陣的維數與積分或者微分求和離散的節點數無關，僅依賴于基函數的維數，因而在開口板的求解上矩陣維數與完整板一致。簡而言之，從計算角度而言，在研究板的自由振動時，板開口或者多開口對本文方法不會增加任何復雜度。

根據上述算例的驗證結果，本文方法應用到開口石墨烯/Al復合材料的自由振動研究中。根據混合法則，添加均布1%質量分數石墨烯納米片的石墨烯/鋁復合材料的力學性能參數如表7所示。表8列舉了簡支邊界約束下GPLs/Al復合材料板（0.5 m×0.5 m×0.01 m）中心開口（0.05 m）的前12階固有頻率有限元和本文方法的對比結果，二者最大偏差僅約為2%，再次驗證了本文方法的可行性和計算精度。本節以方形開口為例，按照陣列方式開口，開口示意圖如圖1所示，包括奇數開口和偶數開口兩種模式，二者的主要差別是板中心是否開口，即奇數開口模式在板中心開口，偶數開口模式在板中心不開口。為便于統計，采用i×i表示在方形板兩邊上都開i個口的陣列開口模式。圖2是以總開口面積占比為25%的前提，不同陣列方形開口形式下的石墨烯/Al復合板的前12階固有頻率。圖2（a）列出了1×1～4×4四種開口模式的前12階固有頻率。從4條折線的變化來看，高階頻率隨著開口數的增加可能呈現跳躍式的變化，這是因為開口造成結構不像完整板一樣遵循表1中的模態順序。例如中心單一開口的頻率在多處如5和6階、9和10階振型上順序與完整板出現的順序相反。但是隨著開口數的增加，如3×3和4×4的模態趨于與完整板一致。為證實上述猜想，圖2（b）列出了更多的陣列開口數GPLs/Al復合材料板的固有頻率的變化。隨著開口數的增加，開口板的模態順序嚴格趨近于完整板。此外，隨著開口數的增加，開口板的固有頻率越趨于一致，如13×13和18×18的固有頻率折線基本重合。

圖3給出了奇數開口、偶數開口及完整復合板的前5階頻率。隨著開口數的增加，開口分布越均勻，任意階次的固有頻率和振型趨于完整板的自由振動，并基本遵循單調性增加的規律。奇數開口模式與偶數開口模式相比，偶數開口模式的曲線相對平滑，趨于完整板的自由振動相對更穩定，這主要是因為奇數開口模式中心開口對整體結構的影響更大。圖4給出的是三種不同開口模式下同樣開口面積占比（25%）的前12階振型。圖4（a）中顯示中心單開口板的模態與多開口板和完整板的模態有顯著的差異。中心單開口板的前4階模態與完整板相似；第6～8階和9～10階具有比較清晰的完整板自由振動模態，但出現順序有較大的偏移；其他未標注的模態甚至在完整板自由振動中未找到匹配的模態。圖4（b）和（c）顯示多開口模式的自由振動模態除了第9和10階模態與完整板有差異外，其他階模態都與完整板一致。因此，有理由給出結論如下：隨著開口數的增加，GPLs/Al復合板的開口在全板上的分布越來越均勻，廣義剛度矩陣和廣義質量矩陣同步減小，因此其自由振動行為無論是頻率還是模態上都趨向于完整板的自由振動特性。

本文方法除在板的開口處理上具有明顯的計算優勢，在邊界約束上僅僅根據與邊界約束相關的線性方程組形成的G矩陣做轉化外，非常便利地研究各種約束下的自由振動。圖5～7給出了CCCC、SFSF和CFCF三種典型邊界約束下的前12階固有頻率與開口模型間的關系。隨著開口數量的增加，三種邊界約束都呈現出前述結論，即開口數的增加，使得板的剛度和質量分布重新均勻分布，因而系統的固有頻率和模態趨近于完整板的固有頻率和模態。

4 結 論

本文提出一種獨立于邊界條件的一般場函數半解析法，場函數由高自由選擇的基函數和待定權重系數積求積后求和得到，具有變形形式無差異性表達，如本文將同樣的場函數表達式同時用于描述面內拉壓變形和面外彎曲變形。由于邊界約束的存在，待定權重系數間具有線性相關性，其基礎解析能恰好由邊界約束的位移函數線性方程組確定。據此建立的振動控制方程中的廣義剛度矩陣和質量矩陣具有正定性，因此系統的自由振動轉換為特征值和特征方程的求解問題。本方法應用在石墨烯和GPLs/Al復合材料板的陣列開口結構自由振動特性研究上發現：

（1）簡支邊界約束的完整單層石墨烯片及中心單開口石墨烯片自由振動的前12階固有頻率預測結果證實了本文一般場函數半解析解與原子?連續多尺度數值模擬及經典板解析解高度吻合。本文一般場函數半解析法構造的剛度矩陣和質量矩陣只依賴于基函數的維數，與離散積分無關，因此域內積分可以采用離散積分方式高精度、高計算效率地求出。

（2）對比固定邊界約束單層石墨烯的自由振動前12階固有頻率發現，本文提出的一般場函數半解析法與原子?連續多尺度全數值模擬計算結果較經典解吻合得很好，誤差為6.5%±3.5%，經典解平均誤差為33.9%，再次證明本文方法的魯棒性。

（3）開口板的自由振動需將積分區域從完整板減去開口部分，本文采用離散積分方式，求和計算量比完整板更少，因此在求解開口類復雜結構時更具計算優勢。本文在研究陣列開口GPLs/Al增強復合材料中發現，隨著開口的增多，開口結構的固有頻率和振型越趨于完整板的固有頻率和振型，這是因為開口的增多使得板質量和剛度的分布越來越均勻，系統剛度和質量同步減少。換而言之，開口面積不會影響結構的自由振動特性，開口分布對結構的自由振動特性具有主導作用。

參考文獻：

［1］ 顏建偉， 程超， 金超奇， 等. 石墨烯增強層對石墨烯/Al復合材料不同壓縮階段的強化影響［J］. 復合材料學報， 2023， 40（6）： 3662-3672.

YAN Jianwei， CHENG Chao， JIN Chaoqi， et al. Effect of graphene reinforcement on strengthening of graphene/Al composites at different compression stages［J］. Acta Materiae Compositae Sinica， 2023， 40（6）： 3662-3672.

［2］ 宗益峰， 王如意， 楊毓潔， 等. 纖維素基輕質多孔材料的研究進展［J］. 包裝工程， 2022， 43（13）： 66-78.

ZONG Yifeng， WANG Ruyi， YANG Yujie， et al. Research progress of cellulose-based lightweight porous materials［J］. Packaging Engineering， 2022， 43（13）： 66-78.

［3］ CASATI R， VEDANI M. Metal matrix composites reinforced by nano-particles—a review［J］. Metals， 2014， 4（1）： 65-83.

［4］ NOVOSELOV K S， GEIM A K， MOROZOV S V， et al. Electric field effect in atomically thin carbon films［J］. Science， 2004， 306（5696）： 666-669.

［5］ YAN J W， ZHANG W. An atomistic-continuum multiscale approach to determine the exact thickness and bending rigidity of monolayer graphene［J］. Journal of Sound and Vibration， 2021， 514： 116464.

［6］ AVALOS D R， LAURA P A A. Transverse vibrations of simply supported rectangular plates with two rectangular cutouts［J］. Journal of Sound amp; Vibration， 2003， 267（4）： 967-977.

［7］ LAURA P A A， ROSSI R E， AVALOS D R， et al. Transverse vibrations of a simply supported rectangular orthotropic plate with a circular perforation with a free edge［J］. Journal of Sound amp; Vibration， 1998， 212（4）： 753-757.

［8］ CHO D S， VLADIMIR N， CHOI T M. Approximate natural vibration analysis of rectangular plates with openings using assumed mode method［J］. International Journal of Naval Architecture and Ocean Engineering， 2013， 5（3）：478-491.

［9］ KWAK M K， HAN S. Free vibration analysis of rectangular plate with a hole by means of independent coordinate coupling method［J］. Journal of Sound amp; Vibration， 2007， 306（1-2）： 12-30.

［10］ LIEW K M， KITIPORNCHAI S， LEUNG A Y T， et al. Analysis of the free vibration of rectangular plates with central cut-outs using the discrete Ritz method［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2003， 45（5）： 941-959.

［11］ CHEN Y H， JIN G Y， LIU Z G. Flexural and in-plane vibration analysis of elastically restrained thin rectangular plate with cutout using Chebyshev-Lagrangian method［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2014， 89： 264-278.

［12］ LEE W M， CHEN J T， LEE Y T. Free vibration analysis of circular plates with multiple circular holes using indirect BIEMs［J］. Journal of Sound and Vibration， 2007， 304（3-5）： 811-830.

［13］ HUANG M， SAKIYAMA T. Free vibration analysis of rectangular plates with variously-shaped holes［J］. Journal of Sound and Vibration， 1999， 226（4）： 769-786.

［14］ 王平， 李秋紅， 錢曉芳， 等. 耦合板結構振動功率流傳遞特性研究［J］. 機械強度， 2013， 35（2）： 231-236.

WANG Ping， LI Qiuhong， QIAN Xiaofang， et al. Research on power flow transmission characteristics of coupled plate structure［J］. Journal of Mechanical Strength， 2013， 35（02）： 231-236.

［15］ 陳衛， 楊健生， 韋冬炎， 等. 任意殼線性彎曲與自由振動分析的最小二乘無網格法［J］. 振動與沖擊， 2022， 41（16）： 125-134.

CHEN Wei， YANG Jiansheng， WEI Dongyan， et al. Bending and vibration analysis of an arbitrary shell by the moving-least square meshfree method［J］. Journal of Vibration and Shock， 2022， 41（16）： 125-134.

［16］ 彭林欣， 諶亞菁， 覃霞， 等. 彈性地基圓形加肋板靜力彎曲及彎曲自由振動分析的無網格法［J］. 振動與沖擊， 2022， 41（7）： 11-22.

PENG Linxin， SHEN Yajing， QIN Xia， et al. Meshless method for static bending and free bending vibration analysis of stiffened circular plates on elastic foundation［J］. Journal of Vibration and Shock， 2022， 41（7）： 11-22.

［17］ Li W L. Free vibrations of beams with general boundary conditions［J］. Journal of Sound and Vibration， 2000， 237（4）： 709-725.

［18］ KIM K， KIM B H， CHOI T M， et al. Free vibration analysis of rectangular plate with arbitrary edge constraints using characteristic orthogonal polynomials in assumed mode method［J］. International Journal of Naval Architecture and Ocean Engineering， 2012， 4（3）： 267-280.

［19］ 陸斌， 陳躍華， 馮志敏， 等. 基于Chebyshev-變分法的復雜開口形狀矩形薄板彎曲振動特性分析［J］. 振動與沖擊， 2020， 39（2）： 178-187.

LU Bin， CHEN Yuehua， FENG Zhimin， et al. Bending vibration characteristics analysis of a rectangular plate with complex opening using Chebyshev-variational method［J］. Journal of Vibration and Shock， 2020， 39（2）： 178-187.

［20］ YAN J W， ZHANG W. An atomistic-continuum multiscale approach to determine the exact thickness and bending rigidity of monolayer graphene［J］. Journal of Sound and Vibration， 2021，514： 116464.

通信作者： 中文作者簡介：顏建偉（1986―），男，博士，教授。E-mail： jianwei@mail.ustc.edu.cn