課前秀之交點迷蹤

這天課間，孩子們都在仰著頭看天，我抬頭看去，發現是一架飛機飛過，屁股后頭留下了一條長長的飛機云。

突然，張顧懌叫起來：“看！那邊又來了一架飛機，感覺它的尾跡會和剛才那架飛機的尾跡交叉呢！”

陳陌自言自語道：“如果再來一架飛機，新的尾跡最多會和前面兩條尾跡產生3 個交點。如果有10 架飛機，它們的尾跡能產生多少個交點呢？”

張顧懌很是佩服：“不愧是你，看飛機竟然看出了數學問題！”

或許是張顧懌的話給陳陌帶來了靈感，沒過兩天，她就在課前秀上講了這個問題。

如果把天空看成一個平面，有1000架飛機飛過，它們產生的尾跡最多能形成多少個交點？

朱符嘉笑著說：“課前三分秀只有三分鐘哦！這題這么難，我們得花上半天時間想，應該叫半天秀才對！”

大家都笑了起來。

陳陌笑道：“我早就試過啦，如果找到方法，一定能在三分鐘之內完成！大家不妨拿出紙筆試試吧！”

我也點點頭：“不要被看起來復雜的題目嚇倒。記住，難作于易！大家先嘗試一下！”

大家紛紛埋頭寫畫起來。不一會兒，時間就到了。

“怎么這么快就到時間了，我才剛有了一點點頭緒！”黃若涵皺著眉頭說。

“那就先請你把理出來的一點頭緒講一講吧！”陳陌說。

黃若涵站起來：“我先畫了1條直線，沒有交點；畫2 條直線時，產生了1 個交點；畫3 條直線時，最多產生3 個交點；畫4 條直線，最多產生6 個交點……一直嘗試畫了6 條。我發現交點的個數分別是0、1、3、6、10、15，似乎有一定的規律，但具體是什么規律，我還沒有找到。”

陳陌點點頭：“我最初也卡在了這里！看似找到了規律，實際上并沒有解決問題！”

她拿起尺和粉筆：“現在，我們把這幾幅圖重新梳理一下。

“第一條直線，沒有交點，我們記作0。畫第二條直線，產生了1 個交點，記作1。大家都知道，第三條直線和前兩條直線相交后，交點數就是3。請仔細觀察我畫的過程！”

說著，她用一支紅色的粉筆把第三條線畫了出來。這根線穿過了前面兩根線，和前兩條線的交點也被她重點描了描。

“大家看出來了嗎？如果接著畫第四根線，會怎么樣？”

黃若涵恍然大悟：“我明白了！剛才第三根線穿過前面兩根線，增加了2 個交點，加上最初的1 個交點，一共是3 個交點。這里的3 可以寫成算式1+2=3。第四根線穿過前面的三根線，又增加了3 個交點， 一共是6 個交點， 可以列式1+2+3=6；第五根線就會穿過前面的四根線，再增加4 個交點，此時就應該有1+2+3+4=10 個交點！”

“已經用算式表示出了規律，后面的圖就不需要畫了！第1000 條直線穿過前面的999 條直線，就會產生999個新的交點。這道題的答案就是1+2+3+4+……+999，用之前盧老師教過的高斯的計算方法計算：（1+999）×999÷2=499500 ！”

大家都恍然大悟，不禁鼓起掌來。為黃若涵精彩的推理過程，也為陳陌所出的這道題的精妙。

我總結道：“陳陌同學善于觀察生活，熱愛思考，在破解難題的同時，體驗到了研究的快樂！大家在學習生活中，總會遇到很多棘手的問題，從最基本的現象開始，用遞推的方法進行研究，難題往往就能迎刃而解哦！”

練一練

1. 找規律填數。

（1）1、5、9、13、17、（ ）、（ ）

（2）198、297、396、495、（ ）、（ ）

2. 一個皮球從32 米的高處落下，每次落地后能反彈到原來高度的一半再落下。當這個皮球第六次著地時，它的運動軌跡共多少米？

3. 一個圓內有5 條直線，最多能把這個圓分成幾部分？100 條直線呢？

答案

1. 找規律填數。

（1）1、5、9、13、17、（ 21 ）、（ 25 ）

（2）198、297、396、495、（594 ）、（ 693 ）

2. 這道題可以借助圖形輔助理解。第一次落地，運動軌跡共32 米，反彈16 米；第二次落地，軌跡共16 米，反彈8 米；第三次落地，軌跡共8 米，反彈4 米；第四次落地，軌跡共4 米，反彈2 米；第五次落地，軌跡共2 米，反彈1 米；第六次落地，軌跡共1 米。

32+16+16+8+8+4+4+2+2+1+1=94（米）

3. 這道題需要一根線一根線觀察，不僅觀察分出來的結果，更重要的是發現變化的規律。最初沒有直線，只有一個面，記作1。第一根直線出現，把這個圓分成了兩部分，增加了一個面，記作1+1。第二根直線和第一根直線交叉，產生了四個面，增加了兩個面，記作1+1+2。第三根直線再和前兩根交叉，產生七個面，增加了三個面，記作1+1+2+3。以此類推，第五根直線和前面的四根直線交叉，就會增加五個面，列式為1+1+2+3+4+5。

同理，第100 條直線和前面的99 條直線交叉，增加100 個面，列式為1+1+2+3+4+……+99+100=1+（1+100）×100÷2=5051（個）面。