基于拓撲優化方法的新型三向隔震支座設計與參數優化

摘要：針對現有被動隔震裝置性能參數固定造成的對隨機多變地震荷載抑制效果有限的問題，運用拓撲優化方法建立了能適應寬頻段（0～20 Hz）地震動荷載的三向隔震支座模糊優化模型，研究了隔震支座最佳隔震性能與設計參數耦合影響的對應關系。采用改進遺傳算法實現了隔震支座的多參數優化；采用優化中心梯度法分析了各參數的敏感度，為模糊優化設計和剛度調整提供依據。實驗驗證了運用該方法設計的新型隔震支座的可靠性。

關鍵詞：三向隔震支座 拓撲優化 多參數優化 敏感度分析

中圖分類號：O328 文獻標志碼：A 文章編號：1671-8755（2025）01-0060-07

Design and Parameter Optimization of a New Type of Three-dimensional

Seismic Isolation Bearing Based on Topology Optimization Method

SHENG Ying^1，2， LI Ning¹， JIA Bin^1，2， YAN Xichuan¹，

ZHENG Wenjie¹， YANG Zhenchao¹

（1. School of Civil Engineering and Architecture， Southwest University of Science and Technology， Mianyang

621010， Sichuan， China; 2. Shock and Vibration of Engineering Materials and Structures Key Laboratory of

Sichuan Province， Southwest University of Science and Technology， Mianyang 621010， Sichuan， China）

Abstract： In response to the limited suppression effect of random and variable seismic loads caused by the fixed performance parameters of existing passive isolation devices， a fuzzy optimization model for the three-dimensional seismic isolation bearing capable of adapting to broadband （0-20 Hz） seismic loads was established using topology optimization method. The corresponding relationship between the optimal isolation performance of the seismic isolation bearing and the coupling effect of design parameters was studied. Improved genetic algorithm was used to achieve multi-parameter optimization of seismic isolation; The sensitivity of each parameter was analyzed using the optimization center gradient method， providing a basis for fuzzy optimization design and stiffness adjustment. The experiment verifies the reliability of the new seismic isolation bearing designed using this method.

Keywords： Three-dimensional seismic isolation bearing; Topology optimization; Multi-parameter optimization; Sensitivity analysis

自汶川地震后，對結構的防震保護措施由傳統“以剛克剛”的抗震設計逐步轉變為“以柔克剛”的隔震設計。我國針對建筑結構的隔震發布了《建筑隔震設計標準》（GB/T 51408—2021）^［1］，結構隔震控制技術的研究與應用受到廣泛關注。

近年來，不少學者從理論、模擬、實驗等方面開展了隔震裝置的設計與應用研究。程永鋒等^［2］針對變電站機柜的隔震裝置設計提出了非線性準零剛度理論；楊維國等^［3］建立了基于“地震波+場地效應+傳遞結構+被隔震物”的全過程全系統防震設計理論，提出了“隔震效能最優一體化設計理論”和“三向非等剛度設計理論”。 Nagarajaiah等^［4］開發了可用于分析結構隔震動力響應的三維非線性強收斂迭代程序；侯杰等^［5］開發了基于遺傳算法的建筑隔震支座優化布置軟件。周光鑫等^［6］通過基礎隔震建筑在地震作用下的動力響應和毀傷模式提出了評估隔震效果的標準和優化方法；羅翔等^［7］針對軟土場地基礎隔震建筑隔震性能開展了實驗驗證。目前，隔震裝置已在結構抗風、抗震方面發揮了重要作用。

傳統的結構隔震設計大多采用被動隔震控制方法^［8-9］。研究表明，隔震裝置的最佳隔震效果與被隔震對象的質量、幾何尺寸、動力特性、場地環境、外載荷特性密切相關^［10］。針對不同的被隔震物和地震動荷載，要實現最佳隔震效果，需要量身設計性能參數不同的隔震裝置。吳時程等^［11］設計了一種鏤空型拱狀橡膠三向隔震支座，研究了不同的鏤空尺寸設計與支座豎向剛度的關系，但對支座的外形和鏤空形狀設計來源于經驗，理論依據不足，且對鏤空尺寸的調整采用正交實驗設計法，未建立剛度與設計尺寸的定量對應關系，也未建立支座最優剛度及其對應設計尺寸的優化分析方法。因此，已有被動隔震裝置性能參數固定，難以實現0～20 Hz寬頻段地震動荷載的最優綜合隔震，對隨機多變的地震荷載抑制效果有限^［12-16］。

如何確定被動隔震支座的幾何形狀？如何設計支座的幾何尺寸使其對0～20 Hz寬頻段地震動荷載具有綜合最優的隔震效果？本文運用拓撲優化方法建立了能適應寬頻段地震動荷載的三向隔震支座模糊優化模型，研究了隔震支座最佳隔震性能與設計參數耦合影響的對應關系，獲得隔震支座的最佳設計參數，并基于敏感度分析對參數進行優化，并通過實際地震波加載的振動臺實驗驗證了該三向隔震支座的隔震效果。

1 三向隔震裝置優化模型

1.1 三向隔震裝置的力學模型

三向隔震包含水平雙向和豎直方向的隔震，設計隔震裝置時考慮對水平雙向采取對稱設計，故將三向隔震裝置的力學模型簡化為水平單向與豎直方向，如圖1所示。

該力學模型中，m₁為被隔震對象的質量，m₂為三向隔震裝置的質量；k₁和k₂，c₁和c₂分別反映了隔震裝置與下部荷載傳遞結構在豎直、水平方向耦合的剛度和阻尼；k₃和k₄，c₃和c₄分別反映了隔震裝置與上部被隔震對象在豎直、水平方向耦合的剛度和阻尼。被隔震對象在水平和豎直方向的自由度分別用x₁，y₁表示，三向隔震裝置在水平和豎直方向的自由度分別用x₂，y₂表示。模型的運動微分方程如式（1）所示：

（1）

可根據Newmark法計算式（1）在任意時刻的動力響應。

1.2 三向隔震裝置拓撲優化模型

被動隔震裝置有凹槽軌道式隔震裝置、滾珠式隔震裝置、滑軌式隔震裝置、球軌式隔震裝置、承重式隔震裝置、組合橡膠隔震裝置等多種類型^［17］。在建筑、橋梁等工程中普遍使用帶鉛芯的橡膠隔震支座^［18］，其形貌如圖2所示。

以現有的橡膠隔震支座為基礎，擬設計一種剛度可調整、隔震效果更優的新型三向隔震支座。

首先根據漸進結構優化法（ESO）^［15］得到橡膠隔震支座在指定工況下的拓撲優化模型。其基本思想是：以應力作為優化準則，在加載條件下，刪除1% 應力最低的單元；再重新加載，此時結構應力重新分布，繼續刪除1% 應力最低的單元；如此反復，直到刪除單元總數達到預先設定的比例為止。

設計橡膠隔震支座的初始拓撲形狀為圓柱體，在壓剪荷載作用下優化其拓撲結構。當單元刪除率達到85% 時，拓撲優化結果如圖3所示。

將得到的拓撲優化模型轉化為參數化三向隔震支座，以鏤空截面尺寸h₁，h₂，l，r作為待優化參數，如圖4所示。接下來將運用優化方法獲得使隔震支座發揮最佳隔震效果的最優參數。

2 多參數優化與敏感度分析方法

2.1 三向隔震裝置多參數優化數學模型

隔震裝置參數優化的目的是尋找一組解，使隔震裝置對一系列振動荷載具有綜合最優的隔震效果。

由傅里葉級數可知，任意荷載都可以分解為若干個簡諧荷載的線性組合。按抗震設防烈度8度設計簡諧振動荷載加速度值峰值為0.20g，設計荷載頻率ω分別為1 ～20 Hz的20組簡諧荷載（沿水平方向和豎直方向分別獨立加載），即：

a_i（t）=0.2gsinω_it，ω_i=1，2…20（2）

在第i組荷載下，計算被隔震對象頂部中心節點的加速度響應為a～_i（t），定義任一時刻被隔震對象的加速度傳導比為：

η_i（t）=a～_i（t）/a_i（t）×100%（3）

因此，該問題的數學模型為尋找一組設計參數，使如下目標函數成立：

obj：minW（X）=max{η₁（t），η₂（t）…η₂₀（t）}

X（x_i）={h₁，h₂，l，r}

s.t.：x_imin≤x_i≤x_imax （4）

式中：W（X）為目標函數；X為離散設計變量。

該目標函數的物理意義為：當設計荷載頻率分別取ω_i=1，2…20 Hz時，可獲得被隔震對象在任意時刻的加速度傳導比η_i（t），進而求出最大的加速度傳導比max{η_i（t）}。該目標函數是尋求最優的一組參數解X^*，使得 20 種荷載頻率對應工況的最大加速度傳導比max{η_i（t）}最小。

2.2 基于改進遺傳算法的多參數識別

遺傳算法是一種智能優化算法，具有全局搜索能力強、計算效率高等優點，對求解單峰值優化問題具有顯著優勢。但若直接將基本遺傳算法用于求解多峰值優化問題則容易收斂到局部最優點（即“早熟”現象），難以得到全局最優點^［19］。而三向隔震裝置設計參數的優化可能為多峰值優化問題，故必須針對基本遺傳算法的缺陷進行改進。

2.2.1 基本遺傳算法的運算過程

（1）將變量符號化。常用二進制編碼方法，即用b_lb_l-1…b₂b₁（b_i=0或1，i=1，2…l）表示變量x_i，其對應值為：

x=x_imin+（∑l/i=1b_i·2^i-1）·x_imax-x_imin/2^l-1

（5）

（2）初始化群體。將第t代群體記作P（t）。初始群體P（0）的所有個體均為隨機生成。

（3）計算群體P（t） 中各個個體的適應度，以確定其遺傳到下一代群體中的概率。本問題是求最小值問題，則建立適應度函數F（X） 與目標函數W（X）的對應關系為：

F（X）=1/W（X）（6）

（4）根據個體適應度在總體適應度中的比例進行選擇運算（即輪盤賭方法），再根據預設概率進行交叉、變異運算，得到下一代群體P（t+1）。

（5）循環進行步驟（3）、步驟（4），直到t超過預設的最大進化代數T為止。

2.2.2 基本遺傳算法的改進

為提高優化效率，克服基本遺傳算法“早熟”的缺點，對基本遺傳算法進行了改進。

（1）建立具有融合機制的小生境算法

① 每代進化完畢后，對各小生境內部采取“末位替換”制，即淘汰該代中最差的個體，并規定上一代的最優個體自動進入該代。這樣能確保下一代的最優個體不差于上一代的最優個體，使遺傳算法始終朝最優的方向進化，不走“回頭路”。

② 對各小生境之間采取“互訪交流”制，即淘汰第i個小生境在該代中次差的個體，并規定第i-1個小生境在該代的最優個體自動進入第i個小生境。這樣能提高群體的多樣性，降低遺傳算法收斂于局部最優點的概率。

（2）建立多峰全局最優點判斷方法

設第i個小生境進化完畢后收斂于峰值點A_i（其目標函數值為F_i，對應的變量為X_i）。

當小生境足夠多時，目標函數值最大的點大概率為全局最優點，記作A^*，其目標函數值為F^*，對應的變量為X^*。

將各個小生境的峰值點A_i與A^*進行比較，若F_i與F^*非常接近，但X_i與X^*相差較大，則認為該峰值點A_i是異于A^*的另一個全局最優點，即：

｜F_i-F^*/F^*｜lt;α｜X_i-X^*｜gt;β（7）

式中α（0lt;αlt;1）和β均為預先設定的常數。

2.3 基于優化中心梯度法的多參數敏感度分析

接下來對各參數作敏感度分析，確定各參數的變化率對目標函數變化率的影響程度，為模糊優化設計和剛度調整提供依據，即重點關注敏感度大的參數，模糊優化敏感度小的參數。

對于三向隔震裝置多參數優化問題，其各參數相互關聯，且與目標函數的關系呈非線性，若采用傳統的單因素分析法，當其余各參數取不同基準值時，計算得到參數x_i的敏感度一般是不同的。由此評價參數x_i的敏感度也就失去了意義。因此，應當以最優參數（即優化中心）為基準，運用單因素分析法（即梯度法）計算各參數的敏感度。前面已通過遺傳算法優化獲得了最優參數X^*，發現該三向橡膠隔震裝置的內部鏤空尺寸對其豎向剛度的影響較大，故以隔震裝置的豎向剛度K_V為敏感度評價函數，即可利用式（8）計算各參數x_i的敏感度值f（x_i）。

f（x_i）=K_V（x^*₁，…x^*_i+Δx_i，…x^*_n）/Δx_i- K_V（x^*₁，…x^*_i，…x^*_n）/Δx_i（8）

若要調整三向隔震裝置的剛度，只需調整敏感度大的設計參數的值即可。

三向隔震裝置的初始設計、多參數優化與敏感度分析的流程圖如圖5所示。

基于參數敏感度設計方法，建立如下的模糊優化設計理論：

對敏感度小的設計變量x_i，取a≤x_i≤b，其余變量維持在優化中心不變，若滿足式（9） 則變量x_i可任取a≤x_i≤b的設計值，可使隔震裝置對不同的被隔震對象具有較好的普適性，便于產業化加工。

｜W（x_i=a）-W（x_i=b）｜/min{W（x_i=a），W（x_i=b）}lt;5%（9）

式中W（X）為式（4）所示的目標函數。

3 計算結果及實驗驗證

3.1 基于改進遺傳算法的優化解

設置被隔震結構質量為80 kg。設計三向隔震支座的總寬度為150 mm，總高度為54 mm。設置遺傳算法基本計算參數為：小生境個數為5個、每個群體中個體的個數為20個、交叉概率為0.8、變異概率為0.05、最大進化代數為6代。

通過改進遺傳算法優化求解，通過6代迭代，被隔震結構頂部中心的最大加速度傳導比由138.1%降低到了46.0%，此時對應的三向隔震支座鏤空截面的最優設計參數為：h₁=10 mm，h₂=15 mm，l=24 mm，r=16 mm。遺傳算法優化迭代過程如圖6所示。

3.2 基于優化中心梯度法的參數敏感度計算結果

以最優設計參數為優化中心，以隔震支座豎向剛度K_V為敏感度評價函數，計算結果如表1所示。

由表1可知，該三向隔震支座的4個設計參數敏感度從大到小排序為：lgt;h₁gt;h₂gt;r。其中，豎向剛度隨r的增大而增大，隨l，h₁，h₂的增大而減小。因此，若需調整隔震支座的豎向剛度，可先粗調r的參數值，再精調l，h₁，h₂的參數值。

3.3 隔震效果實驗驗證

根據優化參數加工的隔震支座如圖7所示。分別采用EL-Centro波、天津波、唐山波對該三向隔震支座的隔震效果進行振動臺實驗驗證，獲得結構在設置隔震支座和未設置隔震支座兩種情況下底層和頂層在3種地震波激勵下的位移時程曲線，分別如圖8-圖10所示。

從圖8-圖10可以看出，被隔震結構對EL-Centro波、天津波、唐山波震動的最大加速度傳導比分別為40.0%，58.2%，41.1%，反映了該三向隔震支座具有較好的隔震效果。

為更好地體現本文優化方法的優勢，與傳統設計方法進行了對比。傳統設計僅以某一特定頻率的外荷載對隔震支座進行參數優化。本研究以3 Hz簡諧荷載優化隔震支座的設計參數，當施加EL-Centro地震波時，結構頂部的最大加速度傳導比為68.2%，當施加天津波時，結構頂部的最大加速度傳導比為90.1%，當施加唐山波時，結構頂部的最大加速度傳導比為69.4%，說明傳統設計方法對隨機荷載的隔震效果有限。

根據傅里葉級數可知，隨機荷載可分解為若干簡諧荷載的線性疊加，而簡諧荷載將覆蓋包含0～20 Hz的荷載。本算例使用的隔震支座，其設計參數的優化綜合考慮了1～20 Hz的20組簡諧荷載，其優化目標是在20組荷載獨立作用下使結構頂部的最大加速度傳導比最小，因此對隨機地震動荷載的隔震具有良好效果。

4 結論

針對現有被動隔震裝置性能參數固定造成的對隨機多變地震荷載抑制效果有限的問題，運用拓撲優化方法建立了能適應寬頻段地震動荷載的三向隔震支座模糊優化模型，研究了隔震支座最佳隔震性能與設計參數耦合影響的對應關系，得到如下結論：（1）綜合考慮覆蓋0～20 Hz的多組簡諧荷載，設計隔震支座的最優性能參數，使被隔震對象在各種工況下的最大加速度傳導比最小，這種設計方法能使隔震支座對真實地震波具有較好的隔震效果。（2）通過改進遺傳算法（具有融合機制的小生境算法、多峰全局最優點判斷方法）獲取了隔震支座的最優性能參數，以該最優參數為基準，采用單因素分析法（即優化中心梯度法）計算各參數的敏感度，為模糊優化設計和剛度調整提供依據。設計時，只需重點關注敏感度大的參數，模糊優化敏感度小的參數，為實現隔震支座的統一定制和批量化生產提供了理論支撐。（3）本文采用多因素敏感度分析方法設計新型隔震支座的思路，不僅適用于建筑、橋梁等工程的隔震設計，而且對具有中高精度隔震要求的隔震支座參數設計具有參考意義。

參考文獻

［1］譚平， 陳洋洋， 周福霖， 等. 國家標準《建筑隔震設計標準》編制與說明［J］. 工程建設標準化， 2021（5）： 22-26.

［2］程永鋒， 朱光楠， 劉振林， 等. 基于非線性準零剛度理論設計的變電站機柜用隔震裝置試驗研究［J］. 中國電機工程學報， 2021， 41（13）： 4516-4525.

［3］楊維國， 葛家琪， 李斌斌， 等. 土體-博物館-展柜-文物全系統中地震傳遞規律研究［J］. 振動與沖擊， 2023， 42（4）： 247-255.

［4］NAGARAJAIAH S， REINHORN A M， CONSTANTINOU M C. Nonlinear dynamic analysis of 3-D-base-isolated structures［J］. Journal of Structural Engineering， 1991， 117（7）： 2035-2054.

［5］侯杰， 屈盅伶， 蔣李志鴻， 等. 基于遺傳算法的建筑隔震支座優化布置軟件研發［J］. 成都大學學報（自然科學版）， 2021， 40（3）： 268-273.

［6］周光鑫， 魏明宇， 熊峰， 等. 基于自由振動響應的基礎隔震建筑減震能力評估方法研究［J］. 世界地震工程， 2022， 38（1）： 119-126.

［7］羅翔， 戴靠山， 呂洋， 等. 軟土場地基礎隔震建筑減震性能研究［J］. 地震工程與工程振動， 2020， 40（1）： 213-222.

［8］萬華平， 衛志成， 蘇雷， 等. 基于系統地震易損性的橋梁隔震支座優化設計［J］. 地震工程與工程振動， 2021， 41（5）： 69-78.

［9］RAKICEVIC Z， BOGDANOVIC A， NOROOZINEJAD FARSANGI E， et al. A hybrid seismic isolation system toward more resilient structures： shaking table experiment and fragility analysis［J］. Journal of Building Engineering， 2021， 38： 102194.

［10］SCHELLENBERG A H， BECKER T C， MAHIN S A. Hybrid shake table testing method： Theory， implementation and application to midlevel isolation［J］. Structural Control and Health Monitoring， 2017， 24（5）： e1915.

［11］吳時程， 盛鷹， 劉彤， 等. 基于敏感度分析方法的拱狀橡膠三向隔震支座豎向剛度研究［J］. 西南科技大學學報， 2022， 37（1）： 43-50.

［12］潘兆東， 譚平， 周福霖. 建筑結構振動分散控制系統的多目標優化研究［J］. 振動與沖擊， 2018， 37（22）： 92-97.

［13］賈俊峰， 魏博， 歐進萍， 等. 外置可更換耗能器的預制拼裝自復位橋墩抗震性能試驗研究［J］. 振動與沖擊， 2021， 40（5）： 154-162.

［14］徐建， 岳清瑞， 曾濱， 等. 工業建筑抗震關鍵技術研究［J］. 土木工程學報， 2018， 51（11）： 1-7.

［15］胡進軍， 趙澤鋒， 謝禮立. 考慮場地類別和斷層距的地震動及結構響應參數相關性分析［J］. 地震工程與工程振動， 2020， 40（2）： 13-22.

［16］魯正， 王自欣， 呂西林. 非線性能量阱技術研究綜述［J］. 振動與沖擊， 2020， 39（4）： 1-16， 26.

［17］劉濤， 張強， 劉文光， 等. 新型自適應變剛度隔震裝置的力學模型和地震響應分析［J］. 振動與沖擊， 2021， 40（7）： 53-61.

［18］陳波， 馬玉宏， 趙桂峰， 等.初始剪切變形對鉛芯橡膠支座性能影響分析［J］.科學技術與工程， 2023， 23（19）： 8332-8340.

［19］盛鷹， 賈彬， 王汝恒， 等. 基于ESO-GA多層次優化策略的減振器拓撲優化研究［J］. 四川輕化工大學學報（自然科學版）， 2022， 35（3）： 76-83.