內部復雜結構圓柱殼動力學響應的計算方法研究
2025-04-17 00:00:00陳浩然張德春李鵬陳磊
西南科技大學學報 2025年1期
摘要：基于子結構和模態(tài)疊加法提出了一種用于含內部復雜結構的圓柱殼動力學響應的快速計算方法，以期避免有限元法求解該類問題時出現的計算耗時長和存儲量大等問題。將含內部結構的圓柱殼分為3個子結構，各子結構間通過隔振器相連；獲取各子結構的自由模態(tài)及主剛度和主質量參數；基于能量法在模態(tài)坐標空間內構建系統的動力學方程。該方法計算結果與有限元仿真結果吻合較好，在保證較高計算精度的同時可大幅度提高計算效率，為結構設計時振動特性的快速預測提供支持。
關鍵詞：圓柱殼 內部結構 振動響應 模態(tài)疊加法 降維模型
中圖分類號：TB33 文獻標志碼：A 文章編號：1671-8755（2025）01-0067-08
Research on the Dynamic Response Calculation Method for Cylindrical
Shells with Internal Complex Structures
CHEN Haoran， ZHANG Dechun， LI Peng， CHEN Lei
（School of Mechanics and Aerospace Engineering， Southwest Jiaotong University，
Chengdu 610031， Sichuan， China）
Abstract： A fast calculation method of the dynamic response for cylindrical shells with internal complex structures was proposed based on the modal superposition method and substructure， in order to avoid the problems of long calculation time and large storage capacity that occur when using finite element method to solve such problems. Firstly， the cylindrical shell with complex internal structures was divided into three substructures， which were connected to each other through vibration isolators. Then， the free modes， principal stiffness， and principal mass parameters of each substructure were obtained. Finally， the dynamical equations of the system were constructed in the modal coordinate space based on the energy method. The calculation results of this method are in good agreement with the finite element simulation results. This method can significantly improve the calculation efficiency while ensuring high calculation accuracy， and provide support for the rapid prediction of vibration characteristics in structural design.
Keywords： Cylindrical shell; Internal structure; Vibration response; Modal superposition method; Dimension reduction model
水下潛航器內部設備一般通過隔振系統與殼體連接，以降低振動、增強隱蔽性和改善艇內的工作生活環(huán)境。隔振浮筏以其優(yōu)良的隔振性能和緊湊的結構被廣泛應用于艦艇的動力設備隔振設計中。浮筏隔振技術誕生于20世紀50年代［1］，是當前最主要的大型隔振系統。含有浮筏隔振系統和內部設備（以下稱內部結構）的某水下航行器的一個典型艙段的示意圖如圖1所示。艙段結構中各種不規(guī)則形狀的設施需要安裝在船體內部。對于內部結構與圓柱殼耦合時的振動特性，有學者進行了研究。張森森等［2］針對浮筏隔振系統建立了包含設備、減振器、筏架和基座的三向振動傳遞的動力學模型，證實了浮筏設計和振動傳遞特性研究中考慮三向的必要性。王獻忠［3］采用直接剛度法分別建立圓柱殼和內部子結構模型，結合縮聚傳遞函數法計算了圓柱殼-內部子結構耦合結構的振動響應。文獻［4-5］采用基于凝聚傳遞函數（CTF）的子結構方法，將軸對稱加筋殼模型與非軸對稱內框架模型組裝在一起，計算了含有非對稱內部子結構圓柱殼的聲輻射問題。Ma［6］采用改進的傅里葉-里茲方法，給出了一般邊界條件下的圓柱殼-環(huán)板耦合系統的統一解。石先杰等［7］采用譜幾何法構建復雜邊界條件下圓柱殼－環(huán)板耦合振動分析方程。朱擁勇［8］采用拉格朗日乘子的方法處理板與殼體的連接條件，建立了多源激勵下有限長圓柱殼體的聲振耦合方程。張磊［9］基于圓柱殼與內部結構接觸點的位移協調條件和內力平衡條件建立了含內部結構圓柱殼的動力學方程，計算、分析了殼體表面的振動特性。大部分學者僅考慮了一些簡單結構與圓柱殼耦合時的情況，對于復雜結構難以采用解析的方式進行分析。
對含有內部復雜結構的圓柱殼，部分學者采用有限元法分析。Peters等［10］采用有限元/邊界元全耦合方法分析了帶有內部結構的水下船體的聲響應，探討了內部彈簧-質量系統的設計對聲輻射的影響。呂成剛等［11］采用有限元仿真分別對耦合系統和獨立的浮筏及艇體結構進行模態(tài)分析，比較了耦合系統中的浮筏結構，證明了艦體與筏架之間是弱耦合關系。Zheng等［12］采用有限元模擬了柴油機活塞拍打和往復質點垂直慣性力作用下船體的振動響應，并將船體振動速度的有限元解作為船體邊界元模型的邊界條件進行水下輻射噪聲計算。Wu等［13］提出了一種由有限元法（FEM）和邊界元法（BEM）組成的聲-結構耦合問題的混合數值方法。對于復雜結構的有限元分析，隨著計算頻率的增加，單元的數量會增加，采用全尺度和高精度的數值仿真時通常耗時較長，導致計算效率低。復雜結構難以采用解析方式求解，一些學者采用有限元法與理論解析方法結合的混合計算方式求解大型復雜結構的振動響應問題。Song等［14］采用傳遞矩陣法（TMM）和有限元法（FEM）建立了柔性浮筏系統模型，研究了不同結構參數對浮筏系統振動與噪聲的抑制效果。賈文超等［15］提出一種解析-數值混合方法，借助VA One（全頻段噪聲模擬軟件）建立了加筋圓柱殼組合模型的振動功率流平衡方程，分析求解了圓柱殼以及內部平臺上的振動響應。Chen等［16］提出一種混合解析-數值方法來研究有限長圓柱殼內部結構的振動特性，該方法可將內部較為復雜的結構與外殼進行耦合，而不用通過解析方式來求解內部結構的問題。
包含浮筏隔振系統的潛艇艙段結構較為復雜，常規(guī)有限元分析將會面臨耗時較長和儲存量較大等問題，難以應用在初期設計階段。水下結構的振動試驗開展難度較大，成本較高。綜合考慮，可通過混合方法對大型結構進行分析。本文基于模態(tài)疊加法并結合有限元模型，提出一種快速計算整體圓柱殼艙段動力學降維模型和響應計算方法。
1 模型說明及建模方法
1.1 模型說明
如圖1所示的內部包含浮筏隔振系統的圓柱殼艙段，機械設備通過上層隔振器連接在筏架上，筏架通過下層隔振器與支座相連接，支座與外部殼體焊接在一起。將整體結構分為外部殼體和支座（子結構I）、內部筏架平臺（子結構II）和內部機械設備（子結構III） 3個子結構，各子結構之間通過隔振器進行連接。
由于各子結構形式較為復雜，故通過有限元軟件獲取其模態(tài)信息，進而得到其模態(tài)坐標下的主質量和主剛度矩陣。設某個子結構的各階頻率和振型分別表示為ωi和［?i］，其各階主質量（模態(tài)質量）以及主剛度（模態(tài)剛度）分別為：
［?i］T［M］［?i］=1
［?i］T［K］［?i］=ω2i（1）
式中［M］和［K］分別為該子結構在物理坐標系下的剛度和質量矩陣（由有限元離散獲得）。
1.2 系統的能量
假設子結構Ⅰ的第i階頻率和振型分別表示為ωⅠ，i 和［?Ⅰ，i］，子結構Ⅱ的第i階頻率和振型分別表示為ωⅡ，i 和［?Ⅱ，i］，則兩個子結構的動能和勢能可分別計算為：
2TⅠ=∑NⅠ/i=1mⅠ，i（q·Ⅰ，i）2
2VⅠ=∑NⅠ/i=1kⅠ，i（qⅠ，i）2
2TⅡ=∑NⅡ/i=1mⅡ，i（q·Ⅱ，i）2
2VⅡ=∑NⅡ/i=1kⅡ，i（qⅡ，i）2（2）
式中：mⅠ，i和kⅠ，i分別為子結構Ⅰ的第i階主質量和主剛度；mⅡ，i和kⅡ，i分別為子結構Ⅱ的第i階主質量和主剛度；qⅠ，i和qⅡ，i分別為子結構Ⅰ和子結構Ⅱ的模態(tài)廣義坐標；NⅠ和NⅡ分別為子結構Ⅰ和子結構Ⅱ的模態(tài)展開截斷階數。
下層隔振器兩端的位移可表示為：
uⅠ，n，l=
［uⅠ，n，lxuⅠ，n，lyuⅠ，n，lz］T=∑NⅠ/i=1qⅠ，iφⅠ，n，i
uⅡ，n，l=
［uⅡ，n，lxuⅡ，n，lyuⅡ，n，lz］T=∑NⅡ/i=1qⅡ，iφⅡ，n，li
（3）
式中，φⅠ，n，i=［φⅠ，n，xi φⅠ，n，yi φⅠ，n，zi］T，φⅡ，n，li=［φⅡ，n，lxi φⅡ，n，lyi φⅡ，n，lzi］T，分別為子結構Ⅰ和子結構Ⅱ的第i階振型在第n個下層隔振器連接處的3個方向上的模態(tài)位移組成的矢量。
下層隔振器的彈性勢能可以表示為：
2VⅠ-Ⅱ，e=∑Nkl/n=1［kn，l·（Δun，lΔun，l）］（4）
式中：kn，l=［kn，lx kn，ly kn，lz］為第n個下層隔振器x，y，z 3個方向上的剛度構成的矢量；Δun，l=uⅡ，n，l-uⅠ，n，l，Nkl 為下層隔振器的連接數量；“”表示矩陣哈達瑪積。
假設各內部機械設備為質點，考慮3個自由度的運動，則內部機械設備的動能可表示為：
2TⅢ，n，me=∑Nme/n=1∑3/i=1［mn（q·Ⅲ，n，i）2］（5）
式中：mn為第n個內部機械設備的質量；Nme為內部機械設備的個數；qⅢ，n，i為第n個機械設備的廣義坐標。第n個上層隔振器上下兩端的位移為：
uⅡ，n，u=
［uⅡ，n，uxuⅡ，n，uyuⅡ，u，uz］T=∑NⅡ/i=1qⅡ，n，iφⅡ，n，ui
uⅢ，n，u=
［uⅢ，n，uxuⅢ，n，uyuⅢ，u，uz］T=∑3/i=1qⅢ，n，iφⅢ，n，i
（6）
第n個上層隔振器的彈性勢能為：
2VⅡ-Ⅲ，n，e=kn，u·（Δun，uΔun，u）2（7）
式中：φⅡ，n，ui=［φⅡ，n，uxi φⅡ，n，uyi φⅡ，n，uzi］T是子結構Ⅱ第i階振型在第n個上層隔振器連接處產生的3個方向上的模態(tài)位移構成的矢量；φⅢ，n，i=［φⅢ，n，xi φⅢ，n，yi φⅢ，n，zi］T為子結構Ⅲ中的第n個內部設備在第i階振型的3個方向上的模態(tài)位移構成的矢量；Δun，u=uⅢ，n，u-uⅡ，n，u， kn，u=［kn，ux kn，uy kn，uz］T，為第n個上層隔振器3個方向上的剛度構成的矢量。
1.3 整體系統的耦合與運動方程
結合上述內容，系統的動能和勢能可表示為：
V=VⅠ+VⅡ+VⅠ-Ⅱ，e+VⅡ-Ⅲ，e
T=TⅠ+TⅡ+TⅢ，me（8）
令L=T-V，使用拉格朗日方程：
d/dt（L/q·j）-L/qj=Qj（9）
可得包含3個子系統的耦合系統的動力學方程：
［M］［q¨］+［C］［q·］+［K］［q］=［Q］（10）
式中Q為系統的廣義力向量。
系統廣義坐標定義為：
［q］=［qⅠ qⅡ qⅢ，1 … qⅢ，n］T（11）
系統質量和剛度矩陣分別為：
式中：［KⅠ］和［KⅡ］分別為子結構Ⅰ和子結構Ⅱ的主剛度矩陣；［MⅠ］和［MⅡ］分別為子結構Ⅰ和子結構Ⅱ的主質量矩陣。剛度矩陣由子結構本身的主剛度矩陣（式（13）右端的第一項）和隔振器引起的剛度矩陣（式（13）右端的第二項）兩部分組成。后者矩陣中的元素表示如下：
KⅠ，e（i，j）=∑Nkl/n=1［kl·（φⅠ，n，iφⅠ，n，j）］
KⅡ，e（i，j）=∑Nkl/n=1［kl·（φⅡ，n，liφⅡ，n，lj）］+
∑Nme/n=1［kn，u·（φⅡ，n，uiφⅡ，n，uj）］
KⅢ，n，e（i，j）=kn，u·（φⅢ，n，iφⅢ，n，j）
KⅠ-Ⅱ，e（i，j）=∑Nkl/n=1［kl·（φⅠ，n，iφⅡ，n，lj）］
KⅡ-Ⅰ，e（i，j）=∑Nkl/n=1［kl·（φⅡ，n，liφⅠ，n，j）］
KⅡ-Ⅲ，n，e（i，j）=KⅢ-Ⅱ，n，e（j，i）=
kn，u·（φⅡ，n，uiφⅢ，n，j）
（14）
外部結構和內部筏架平臺的主質量矩陣［MⅠ］和［MⅡ］均為單位矩陣，內部機械設備的主質量矩陣為：
MⅢ，n=mn
1/0/00/1/00/0/1（15）
通過上面的計算可得到系統降維后的剛度和質量矩陣。設置子結構截斷階數來控制方程的維數，通過截取保留子結構的低階主要模態(tài)合理舍去高階模態(tài)，從而達到整體降維的目的。
為開展響應計算，降維后系統結構部分的阻尼矩陣取為：
［C1］=α［M］+β［K］+（ξ/πf）［K］（16）
式中：α為常值質量阻尼；β為常值剛度阻尼；ξ為常值阻尼比； f 為當前激勵力頻率。
隔振彈簧所引起的阻尼矩陣與其剛度矩陣具有類似的形式：
C2=
CⅠ，e/CⅠ-Ⅱ，e/0/0/0
CⅡ-Ⅰ，e/CⅡ，e/CⅡ-Ⅲ，1，e/…/CⅡ-Ⅲ，n，e
0/CⅢ-Ⅱ，1，e/CⅢ，1，e/0/0
0//0//0
0/CⅢ-Ⅱ，n，e/0/0/CⅢ，n，e
（17）
則系統整體阻尼矩陣可表示為［C］=［C1］+［C2］。
系統的廣義力向量為：
［Q］=［0 0 Q1 … Qn］T（18）
在第n個機械設備上的廣義力計算為：
Qn=［Qn，1 Qn，2 Qn，2］
Qn，i=Fn·φⅢ，n，i，i=1，2，3（19）
式中Fn=［Fn，x Fn，y Fn，z］T為物理坐標下作用在第n個機械上的激振力。
1.4 動力學響應計算
假設外激力為簡諧激振力［Q］=［Q0］eiωt，其引起的系統穩(wěn)態(tài)響應為［q］=［q0］eiωt，此時系統的動力學方程為：
（-ω2［M］+iω［C］+［K］）［q0］=［Q0］（20）
求解式（20）可得到整體系統的廣義坐標：
［q0］=（-ω2［M］+iω［C］+［K］）-1［Q0］（21）
得出廣義坐標［q0］后，外部結構（子結構Ⅰ）的響應可表示為：
uⅠ，s=∑Ns/i=1qⅠ，0iφⅠ，si（22）
至此，可求得外殼在簡諧激振力下任意一點的動力學響應。
2 有限元驗證
選取的艙段計算模型如圖2所示。該模型的圓柱殼上包含環(huán)肋、封板和基座，內部含有筏架平臺以及兩個機械設備。具體尺寸參數如表1所示。內部筏架平臺是一個正方形框架，框架由矩形空心梁構成，如圖2（c）所示。筏架上通過上層隔振承載著 #1和 #2機械設備。
如圖3所示，在ANSYS（工程仿真軟件）中建立有限元模型，其中隔振彈簧采用COMBIN14單元（彈簧-阻尼器單元），內部機械設備采用MESS21單元（結構質量單元），其余模型采用SHELL181單元（4節(jié)點殼單元）。結構的材料密度ρ=7 850 kg·m-2，彈性模量E=2.1×1011 Pa，泊松比μ=0.3，
內部機械質量m1=m2=196.25 kg。下層隔振彈簧的剛度系數klx=kly=klz=3×105 N·m-1，下層隔振器的阻尼系數clx=cly=clz=2×103 N·（m·s-1）-1。筏架與 #1設備間隔振器的剛度系數k1，ux=k1，uy=k1，uz=3×105 N·m-1，阻尼系數c1，ux=c1，uy=c1，uz=2×103 N·（m·s-1）-1。筏架與 #2設備間的隔振器的剛度系數k2，ux=k2，uy=k2，uz=3×105 N·m-1，阻尼系數c2，ux=c2，uy=c2，uz=2×103 N·（m·s-1）-1。
首先對整體結構進行模態(tài)分析，并與本文方法計算得到的頻率進行對比。本文方法驗證時取外部
殼體的截斷階數NⅠ=100，截止頻率fⅠ=493.32 Hz。
取內部筏架平臺的截斷階數NⅡ=18，截止頻率 fⅡ=504.5 Hz?？紤]到浮筏上機械設備存在3個自由度，組合后的剛度矩陣和質量矩陣的維數為126，而有限元模型的單元數量為46 678。本方法計算出的最高頻率fmax=504.55 Hz，本文方法與ANSYS 計算的前120階固有頻率（除去零頻后）的對比如圖4所示。由圖4可知，本文方法與ANSYS計算的頻率吻合較好。但需要指出的是，隨著計算頻率的增加，為獲得較高的計算精度，則需要提高各子結構的截斷數目，即需提高高階模態(tài)在計算中的參與度。
進行了動力學響應計算的驗證。在內部兩個機械設備上沿y方向施加幅值大小為50 N的簡諧力，計算頻率（fs）范圍［1，500］Hz，頻率間隔為1 Hz，計算中阻尼的參數設置為α=0.1，β=1×10-4，ξ=0。測點位置選取如圖5所示。ANSYS與本方法計算的法向加速度振級（Ld）對比如圖6、圖7所示。
Ld定義如下：
Ld=20lg（a/a0）（23）
式中：a為法向加速度；a0=10-6 m·s-2 為參考加速度。
由圖6、圖7可知，在低頻范圍內本文降維模型計算的結果與ANSYS吻合較好。對比本方法與有限元仿真結果的加速度振級差值，結果如圖8所示。由圖8可知，在頻率 ［0，fmax/2］ Hz 范圍所有測點的
誤差均在5 dB以內，而在更高的頻率范圍內誤差呈
現出逐漸增大的趨勢。在［1，fmax/2］ Hz范圍內，降維模型與ANSYS給出的響應計算結果吻合較好，因此建議將fmax/2作為降維模型響應時計算截止頻率。這表明，若要提高降維模型響應計算的頻率范圍，則需更多高階模態(tài)的參與。
另外，在計算機配置為3.2 GHz CPU與16 GB RAM時，本文模型的計算時間295.01 s，而ANSYS則需要約耗時2 640 s，本文模型計算效率有顯著提高。
3 結論
基于子結構和模態(tài)疊加法，提出了一種用于含復雜內部結構的圓柱殼動力學響應的快速計算方法。通過商業(yè)軟件獲得單個子系統的自由振動模態(tài)并將其位移通過模態(tài)展開，子結構間通過隔振彈簧連接。采用第二類拉格朗日方程建立了耦合系統的耦合動力學方程，得到了系統質量、阻尼、剛度矩陣以及廣義力向量，進而獲得了簡諧激勵下各子系統模態(tài)坐標下的穩(wěn)態(tài)響應。最后得到了耦合系統各點物理坐標下的響應。（1）通過與有限元仿真結果對比，本文方法在低頻范圍內結構響應的計算結果精確且效率較高。當固有特性計算的頻率范圍選擇為外激勵頻率范圍的2倍時，降維模型的響應計算能保證較好的準確度。當計算的頻率較高時需要提高模態(tài)截斷數量。（2）在不改變子結構的情況下，可以對彈簧相連接的子結構進行任意組合，有望在水下潛航器設計階段用于對整體艙段的結構優(yōu)化和艙段低頻范圍內隔振效果的快速評估。（3）后續(xù)研究將考慮圓柱殼在不同環(huán)境中對整體結構振動特性的影響，同時考慮結構中存在非線性隔振器時響應的計算方法。
參考文獻
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