高中物理例析圓周運(yùn)動中的臨界極值問題

【摘要】在高中階段的物理學(xué)習(xí)中，“圓周運(yùn)動”問題作為極其常見的重點(diǎn)內(nèi)容，熟練掌握其解題方法，將會極大地提高做題效率.然而圓周運(yùn)動中的“臨界極值問題”可謂是錯綜復(fù)雜，因臨界條件極其隱秘的緣故，學(xué)生每當(dāng)遇到這類問題都是一籌莫展，本文就此類問題展開探究，旨在幫助學(xué)生掌握對應(yīng)的解題方法.

【關(guān)鍵詞】高中物理；圓周運(yùn)動；臨界極值

圓周運(yùn)動中的“臨界極值問題”，常常會涉及某個物體的運(yùn)動狀態(tài)變化或受力情況的變化.解決此類問題的關(guān)鍵，是準(zhǔn)確受力分析，了解其運(yùn)動狀態(tài)中的各種關(guān)系，以及熟練掌握對相關(guān)知識點(diǎn)的運(yùn)用，進(jìn)而達(dá)到解決問題的目的.

1 水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動

例1 如圖1所示，一個質(zhì)量是m的物塊被放置在水平轉(zhuǎn)臺上，現(xiàn)用一個長度是l的輕質(zhì)細(xì)繩將物塊連接在豎直轉(zhuǎn)軸上，細(xì)繩與豎直轉(zhuǎn)軸的夾角θ=30°，此時細(xì)繩處于伸直狀態(tài)但無張力.已知物塊和轉(zhuǎn)臺之間的動摩擦因數(shù)μ=13，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度是g，物塊可視為質(zhì)點(diǎn).物塊隨著水平轉(zhuǎn)臺開始由靜止?fàn)顟B(tài)緩慢加速轉(zhuǎn)動，試問：

（1）當(dāng)水平轉(zhuǎn)臺以角速度ω1勻速轉(zhuǎn)動時，輕繩上恰好有張力，求ω1的值；

（2）當(dāng)水平轉(zhuǎn)臺以角速度ω2=g2l勻速轉(zhuǎn)動時，求物塊所受摩擦力的大小；

（3）當(dāng)水平轉(zhuǎn)臺以角速度ω3=2gl勻速轉(zhuǎn)動時，求細(xì)繩的拉力大小.

問題分析 本題考查的是在水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動的模型之一，與摩擦力相關(guān)的臨界問題.解答本題的關(guān)鍵是“明確臨界角速度ω0”，唯有如此才能判斷物塊是否脫離轉(zhuǎn)臺.

解析 （1）最開始時，對物塊受力分析，其受重力、支持力、摩擦力.只有當(dāng)最大靜摩擦力等于物塊所需要的向心力時，輕繩上剛好有張力，然后根據(jù)牛頓第二定律，可得知μmg=mω12lsinθ，將數(shù)據(jù)代入后可解得ω1=2g3l.

（2）因為ω2lt;ω1，所以此時是靜摩擦力提供物塊做圓周運(yùn)動的向心力，即f=mω22r=mω22lsinθ=14mg.

（3）當(dāng)轉(zhuǎn)臺對物塊的支持力剛好是0時，重力和細(xì)繩拉力的合力提供物塊做圓周運(yùn)動所需的向心力.然后根據(jù)牛頓第二定律，可得

mgtanθ=mω02lsinθ，

得出ω0=23g3l.

因為ω3gt;ω0，說明當(dāng)水平轉(zhuǎn)臺以角速度ω3=2gl勻速轉(zhuǎn)動時，物塊已經(jīng)離開了水平轉(zhuǎn)臺，開始在空中做圓周運(yùn)動.假設(shè)此時細(xì)繩與豎直轉(zhuǎn)軸所成的夾角是α，就會有mgtanα=mω32lsinα，可得α=60°，而細(xì)繩的拉力大小是F=mgcosα=2mg.

2 豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動

例2 圖2是一摩天輪的簡易圖，它在豎直放置的圓軌道內(nèi)圍繞其圓心O，做半徑是R的勻速圓周運(yùn)動，角速度是ω，且在勻速轉(zhuǎn)動的過程中，摩天輪的轎廂地板始終保持水平狀態(tài).如圖3所示，一放置在轎廂地板上的物體，其與地板間的動摩擦因數(shù)是μ，已知重力加速度是g，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.為了確保物體在勻速轉(zhuǎn)動的過程中，始終都不會相對轎廂地板滑動，那么角速度ω的最大值是.

問題分析 本題考查的是在豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動的輕“桿”模型.

題目中“為了確保物體在勻速轉(zhuǎn)動的過程中，始終都不會相對轎廂地板滑動”這一條件，準(zhǔn)確來說就是在描述一個“臨界狀態(tài)”.在這個臨界狀態(tài)下，物體在轎廂地板上所受到的靜摩擦力已經(jīng)達(dá)到了最大值，即最大靜摩擦力，此時物體恰好不發(fā)生相對滑動，即此刻的角速度就是物體不滑動的最大可能角速度.

解析 由題意可知，物體在做勻速圓周運(yùn)動的過程中，對其受力情況進(jìn)行分析，如圖4所示.

當(dāng)角速度ω最大時，說明靜摩擦力也達(dá)到了最大值，此時轎廂地板對物塊的作用力是F，而F與豎直方向所成的夾角是θ，且tanθ=μ.物塊在勻速圓周運(yùn)動的過程中，向心力的大小始終保持不變，然后繪制出了如圖5所示的力的矢量三角形，F(xiàn)和mg的矢量和等于向心力.

當(dāng)F與mg的夾角是θ時，向心力才會有最大值，所以最大的向心力是F向=mgsinθ=mgμμ2+1.又因為F向=mω2R，故此最大的角速度ω=μgRμ2+1.

3 結(jié)語

通過對本文中兩道不同類型典例的講解，不難發(fā)現(xiàn)解決“臨界極值問題”的關(guān)鍵，就是通過仔細(xì)審題，逐步分析找出其臨界條件.同時在解答問題的過程中，需要注意的是，要認(rèn)真準(zhǔn)確地對物體的受力情況進(jìn)行分析，并熟練掌握物理定律的運(yùn)用和數(shù)學(xué)方程的運(yùn)算.唯有如此，方能逐步計算出所求物理量的臨界極值.