解題有道，法隨心動

【摘要】本文將單桿切割磁感線問題分為無電源、有電源以及有電容三種類型，并通過具體的例題分析，幫助學生理解不同單桿切割磁感線問題的解題方法，旨在提高學生解題能力，強化物理核心素養.

【關鍵詞】高中物理；單桿切割；磁感線

在高中物理學習中，單桿切割磁感線問題是電磁學部分的重點內容之一.此類問題涉及感應電動勢、感應電流、安培力等多個物理概念，是考查學生綜合運用物理知識能力的重要題型.本文旨在通過構建不同情境下的單桿切割磁感線模型，提煉解題方法，幫助學生更好地理解和掌握該知識點.

1 無電源的單桿切割模型

在該模型中，導體棒以某一初速度切割磁感線，充當電源產生感應電動勢，其大小與瞬時速度v相關，回路中因此產生感應電流，導體棒受到的安培力對導體棒做負功，速度逐漸減小，安培力也減小，導體棒做加速度逐漸減小的減速運動直至停下.

例1 如圖1所示，兩根足夠長的光滑平行金屬導軌固定于同一水平面內，導軌電阻不計，其間距L=1m.左端通過導線連接一個R=1.5Ω的定值電阻，導軌處于磁感應強度方向豎直向下、大小B=0.4T的勻強磁場中.現有一L=1m、電阻r=0.5Ω、質量m=0.2kg的單桿垂直放置于兩導軌上.在桿的中點施加一個垂直桿的水平拉力F，使桿由靜止開始運動，拉力F的功率P=2W保持不變，當桿的速度v=5m/s時撤去拉力F.求：

（1）桿的速度為4m/s時，桿的加速度的大小；

（2）從撤去拉力F到桿停下整個過程中，桿上產生的熱量值；

（3）從撤去拉力F到桿停下整個過程中，桿滑動的位移大小x.

解析 （1）桿運動產生感應電動勢E=BLv1，根據歐姆定律可得，電路中感應電流：I=BLv1R+r，代入數據可得：I=0.8A，桿所受安培力：FA=BIL，代入數據可得：FA=0.32N，若桿加速階段速度v1為4m/s時，拉力：F=Pv1.代入數據可得：F=0.5N，根據牛頓第二定律：F-FA=ma1，代入數據可得a1=0.9m/s2，若桿減速階段速度為4m/s時，根據牛頓第二定律，代入數據可得a2=1.6m/s2.

所以桿的速度為4m/s時，加速階段為0.9m/s2；減速階段為1.6m/s2.

（2）從撤去拉力F到桿停下的整個過程中，桿的動能轉化為電路中產生的總熱量，所以總熱量：Q=12mv2，代入數據可得Q=2.5J，桿上產生的熱量Q1=rR+rQ，代入數據可得Q1=0.625J.

所以從撤去拉力F到桿停下整個過程中，桿上產生的熱量為0.625J.

（3）從撤去拉力F到金屬桿停下的整個過程，桿只受安培力做變減速直線運動，取向右為正方向，由動量定理得－BI·L·Δt=0－mv，又根據電流的定義：q=I·Δt=BLvR+rΔt=BLxR+r，聯立解得x=12.5m.所以桿滑動的位移大小x為12.5m.

2 有電源的單桿切割模型

在該模型中，導體棒充當電阻.但是由于電源的存在，回路中存在電流，所以導體棒會因安培力的存在而運動.運動的導體棒切割磁感線從而產生的感應電動勢與原有電源電流方向相反.故當導體棒開始切割磁感線后，導體棒受到安培力做正功，導體棒的速度在逐漸增大，而安培力又作為導體棒的合力受到速度的影響而減小，故導體棒將做加速度逐漸減小的加速運動，直至做勻速直線運動.做勻速直線運動的條件是導體棒不再受安培力，即回路中無電流，此時的速度為導體棒的最大速度.

例2 如圖2，同一水平面內，設有間距L=0.5m的平行光滑導軌PQ與MN，其磁感強度為B=0.8T的勻強磁場垂直導軌平面向下.質量為m=0.1kg、電阻值為R=0.8Ω的直導線ab跨置于導軌之上.導軌自身的電阻被忽略不計.在M、P兩端，接入電動勢E=1.5v，內阻r=0.2Ω、的電源，并使用開關控制.在開關S閉合瞬間，單桿ab的加速度為多少？后續變化如何？

解析 在開關S閉合的初始時刻，導線ab處于靜止狀態，因此沒有產生電磁感應.此時，電流從a流向b，為I0=ER+r=1.5A，導致ab受到水平向右的安培力，此時ab在安培力的作用下產生加速度，表示為a0=F0m=BI0Lm=6m/s2，ab開始向右運動，并切割磁感線.當ab的速度達到v時，產生電動勢.而根據電磁感應定律，ab所產生的電動勢與回路中電源產生的電動勢相反，二者相互抵消，致使回路中的電流隨著ab的運動而減小.電流減小的情況下，ab所受向右的安培力也隨之減小，加速度減小.但此時ab的速度仍在持續增加，電動勢、電流、安培力仍持續減小，直至ab感應電動勢與電源電動勢相等，回路電流為零，ab加速度、所受安培力趨近于零.此時ab的運動速度為最大值vmax，并且ab以此速度在電磁場中做勻速運動.所以vmax=EBl=3.75m/s.

3 有電容的單桿切割模型

在有電容的單桿切割模型中，金屬桿在磁場中做切割磁感線運動，從而產生感應電動勢.該電動勢相當于一個電源，可以給電容器充電，并在電路中產生電流.同時，金屬桿會受到安培力的作用，阻礙金屬桿的運動.在模型中金屬桿受到的安培力為FB=BIl，加速度可表示為a=F－FBm，回路中的電流可表示為I=ΔQΔt=CBla.

例3 如圖3，一組豎直放置的光滑平行金屬導軌，其間距為l，一端連接電容為C的電容器.一磁感應強度為B的勻強磁場垂直紙面向里.質量為m的金屬棒ab可沿導軌無摩擦自由滑動.現將金屬棒ab從距地面一定高度處由靜止自由釋放，不計空氣阻力、導軌電阻及自感等影響.求金屬棒ab落地時的速度大小.

解析 ab在mg作用下加速運動，經時間t，速度增為v，產生感應電動勢，電容器帶電量Q=CE=CBIv，感應電流I=Qt=CBLvt=CBla，產生安培力F=BIL=CB2l2a，由牛頓運動定律可知，mg-F=ma，將F=BIL=CB2l2a代入mg-F=ma中，得mg－CB2l2a=ma，提取公因式得mg=a（m+CB2l2），整理得a= mgm+CB2l2.所以ab做初速為零的勻加速直線運動，加速度a= mgm+CB2l2，落地速度為v=2ah=2mghm+CB2l2.

4 結語

本文詳細分析了單桿切割磁感線問題的三種不同模型及其解題方法.上述模型不僅能幫助學生更好地理解和掌握高中物理電磁學中的相關概念，還能讓學生在實際問題中靈活應用，提高解題能力.希望學生們能夠認真學習，勤于思考，不斷提高自身的物理素養.