新課標卷數學建模試題研究及教學啟示

摘 要：近年的新課標卷試題加強了對數學建模能力的考查，體現了數學在解決實際問題中的重要價值。解析新課標卷數學建模試題發(fā)現它們具有“描述性分析—量化關系精煉—數學模型化”三階段考查特征，因而提出關注生活素材、聚焦試題特點精準教學、整體規(guī)劃與分步實施相結合等教學優(yōu)化路徑。具體實施中，教師可以以試題特點為引領、以生活素材為載體、分步實施教學，強調素材真實化、教學精準化、能力結構化，引導學生深度參與數學建模全過程，強化數學抽象、數據分析與創(chuàng)新應用能力，發(fā)展數學學科核心素養(yǎng)。

關鍵詞：新課標卷；數學建模；考查特征；高考綜合改革；高考試題研究

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2025）08-0009-04

2020年教育部考試中心發(fā)布的《中國高考評價體系》中明確了高考對基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性的“四翼”考查要求［1］。數學建模試題既是考查基礎性、應用性的有效載體，又能發(fā)揮考查綜合性、創(chuàng)新性的作用。數學建模試題能夠深化基礎性考查要求的內涵，其設計背景和考查內容都基于數學基礎知識，通過靈活的呈現方式考查學生對基礎知識和基本思想方法的深入理解和綜合運用；在綜合性方面，解答數學建模試題往往需要學生調動和組織各模塊有關的知識和技能，甚至融合其他學科的知識；在創(chuàng)新性方面，數學建模試題能夠設置一個真實的生活情境，提出具有開放性的問題，引導學生打破思維定式，在學習中提升自我，并鼓勵學生培養(yǎng)發(fā)散思維、批判性思維等思維品質。

近幾年高考數學試題中，出現了不少以數學建模活動為載體的題目，分值是17分到22分之間，占總分10%以上。本研究以2022—2024年新課標卷6套數學試卷中的試題為研究對象，深入分析數學建模試題的基本考查特征，分享據此得出的教學啟示。

一、數學建模的內涵與研究現狀

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標準》）指出，數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養(yǎng)［2］。建模被視為理解現實世界的一個創(chuàng)造性過程：描繪、控制或者優(yōu)化問題情境的不同方面，解釋結果，同時修改不完善的模型。

數學建模能力是由明確目標能力、簡化假設能力、數學化能力、數學求解能力、檢驗和解釋能力等若干個數學建模子能力構成的一種復雜的數學能力。吳長江認為數學建模能力包括閱讀理解能力、邏輯推理能力、數學化能力、計算能力和自我監(jiān)控能力等五種數學能力［3］。李明振則認為數學建模能力是指在給定的現實世界中識別問題、變量或者提出假設，然后將其翻譯成數學問題加以解決，進而聯(lián)系現實問題解釋和檢驗數學問題解答的有效性的能力［4］。可以發(fā)現，數學建模能力的定義涉及識別、提煉、建模應用等思想。基于此，再結合高考數學建模試題的特點，可將數學建模的考查分為三個階段：描述性分析、量化關系精煉、數學模型化。在實際教學過程中，可以根據不同階段的特點，研究并采用不同的教學方法。

二、數學建模能力的考查方法與試題分析

近幾年數學建模能力在高考中的考查題型多種多樣，有單選題、多選題、填空題以及解答題。選取的素材也是豐富多彩，有噪聲污染問題、“一帶一路”倡議相關的現實情境，也有數字幻方等數學情境，還有信號傳輸等科學情境。下面從描述性分析、量化關系精煉、數學模型化三個方面對近三年的新課標卷數學試題進行分析。

（一）描述性分析

描述對象包括外在描述和內在描述兩個方面，本研究中的描述主要指外在描述，是指把事物的特性、關系、知識，以某種形式重新呈現出來。描述性分析是數學建模能力考查的基礎階段。美國現代認知心理學家西蒙認為，表征是問題解決的一個中心環(huán)節(jié)，它說明問題在頭腦中是如何表現出來的。在描述性分析階段，可以提供諸如表格、圖形等多種信息，要求學生正確理解題意，把日常生活中的語言、圖表轉化為數學語言和數學關系。

比如2024年高考新課標Ⅱ卷第4題考查了稻田畝產量問題。通過非連續(xù)文本（表格）呈現相關數據，學生需要通過理解表格數據，分析題中的描述語言，結合數字特征中位數、極差等才能得出結論。又比如2022年高考新課標Ⅱ卷第19題以2022年全民較為關注的某流行疾病與年齡的關系為背景，用頻率直方圖描述100位患者的年齡。學生通過讀圖、識圖，求出疾病患者的平均年齡。依據《課程標準》中學業(yè)要求，借鑒南京師范大學喻平教授對數學建模素養(yǎng)水平的劃分，該描述類問題屬于水平一——“能夠熟練地掌握數和符號之間的關系，理解一些簡單的數學模型，比如函數、方程、代數式等，解決一些簡單的數學問題”或者水平二——“在情境中學會分析問題特征，抽象出數學問題并建立數學模型，從數學的角度去發(fā)現、分析并解決一些較復雜的問題”。

（二）量化關系精煉

量化關系精煉就是通過實際的探索，學生經由內心體驗、思考辨析，操作實踐，獨立思考，自我探究，發(fā)揮主觀能動性，尋找數學問題的本質。數學家歐拉曾說，數學這門學科，需要觀察，還需要實驗。通過實驗可以忽略次要因素，強調關鍵要素，為接下來解決問題提供幫助。量化關系精煉是數學建模能力考查的主要階段，在這個階段教師可以讓學生體驗數學知識的形成和發(fā)展過程，讓他們在實踐中去探究發(fā)現并總結結論，通常按照思維從特殊到一般的順序進行歸納總結，也可從具體到抽象進行升華。在考查的過程中，可以讓學生做中學，體會知識的產生與發(fā)展過程，考查學生的思維過程和思維方法。

比如2023年高考新課標Ⅱ卷第12題以信號傳輸為情境考查二項分布及其應用。該題源于人教A版數學教科書必修第二冊第252頁練習第1題、第253頁練習第3題、第253頁習題10.2第4題和第6題，信號傳輸屬于科學情境。學生對科學情境類問題比較陌生。學生解題的障礙是題目信息量大，題目的文字語言多、科學術語多、涉及因素多，學生無法區(qū)分哪些信息對解題有用。因此，在解答該題時，學生需從題目中提煉關鍵信息，將其轉化為數學語言，需透過現象看本質，利用概率加法公式及概率乘法公式求概率，把要求概率的事件拆分成兩兩互斥事件，再逐一推證。這樣的設計使學生體會統(tǒng)計與概率知識跟科學緊密相關，同時也引導學生去思考與研究數量之間的關系。又比如2024年高考新課標Ⅰ卷第8題以函數和不等式為素材，創(chuàng)設數學情境。該題的亮點是融入了斐波那契數列。以函數與不等式的形式呈現出數字背后的規(guī)律——斐波那契數列。量化關系精煉的試題大部分屬于數學建模水平二的試題。

（三）數學模型化

數學模型化就是運用數學的概念、方法和知識，從真實的問題中，構建出一個能夠解決實際問題的數學模型。數學建模是將數學知識運用于解決實際問題的一種有效的手段。建模是對現實對象的信息進行提煉、分析、歸納、翻譯，最終運用數學語言將目標的本質特性精確地表述出來的過程。數學模型化是對數學建模能力的一種較高層次的考查，學生在這一階段需要從實際問題出發(fā)，經歷分析問題、探索模型、建立模型、求解模型、檢驗模型、完善模型的整個流程。

比如2024年高考新課標Ⅱ卷第18題以投籃為載體，考查概率、數學期望。該題源于人教A版數學教科書選擇性必修第三冊第91頁第10題，屬于生活實踐情境試題。這道試題與2023年高考新課標Ⅰ卷第21題有異曲同工之妙，都涉及分析重復試驗的實踐關系，基于事件關系的概率求解、期望求值等。試題以某投籃比賽為背景，用了大量的篇幅講解比賽規(guī)則。學生要解決問題，必須先充分理解比賽規(guī)則，對比賽第一階段和第二階段的關系做出準確的判斷，緊接著根據比賽規(guī)則的特征，運用適當的數學工具分析甲乙兩隊員的比賽成績，建立關于數學期望的模型。求解模型后，根據結果做出誰參加第一階段比賽的決策。根據喻平教授對數學建模水平三的描述，“有較強的數學思維能力，能夠綜合利用模型，去研究一些新的問題，設計新的解題思路，能夠解決一些開放性的復雜問題”，該題屬于數學建模水平三的試題。

三、指向數學建模能力培養(yǎng)的教學建議

（一）關注生活素材，注重實踐

波利亞曾說，對學生而言，非常重要的一點是發(fā)現那些可以使用數學的情境，并嘗試去描述有用的問題。數學建模試題的考查目的之一，就是讓學生感受到數學和真實世界之間的關系，建立起科學的數學觀。題目材料與現實生活緊密相關，更加直接地反映出了數學學科的育人價值。縱觀近幾年新課標卷中的數學建模試題，素材大部分取自現實生活和生產，而且試題涉及描述性分析、量化關系精煉、數學模型化等不同層次，并且凸顯了應用性、創(chuàng)造性的考查要求。所以教師在教學時，需要引導學生由“解題”轉變?yōu)椤敖鉀Q問題”。例如在教學函數時，根據出租車收費的情境改編建模練習題“假設出租車司機小張每年行駛60 000千米，現在他想買一輛新車。請你幫他想一想，他應該買一輛混合能源車還是純電動車”。學生要解決這個問題需要考慮購車價格、燃料和稅收成本、每年大致行駛路程等。教師也可以提問：“出租車司機應該有怎樣的收入？”這個問題開放性非常強，教師可以鼓勵學生去思考出租車不同的計費方式，但不限于從數學角度展開思考，還可以讓學生從社會學的角度進行思考與辯論，比如思考出租車司機的身份是公司雇員還是個體運營者，論述為什么只要司機是公司雇員且在路上工作，他每小時的付出都該得到報酬，而不僅僅是有客人的時候。在建模過程中，需要考慮一些非數學因素，并將其簡化。

數學建模活動不應局限于課堂，還可以拓展到課堂外，比如采用研學旅行的方式進行。例如組織學生進行“估測稻田產量”的研學旅行。教師組織學生去稻田實地考察、測量、記錄，通過抽樣調查，估測稻田畝產量，在數學教學中融合勞育、德育等。教師還可以結合教材中的建模活動組織學生開展實踐研究。例如開展“茶水口感與溫度”活動時，每名學生都可以根據常識提出解決問題的創(chuàng)新思路。學生組建小組，開展實踐研究，建立多樣化的數學模型進行求解，利用模擬軟件進行模擬和驗證，在數學建模活動過程的頭腦風暴中體驗創(chuàng)新帶來的樂趣和成就感。

（二）聚焦試題特點，精準教學

高考數學建模試題的考查分為三個類型：描述性分析、量化關系精煉、數學模型化。針對不同的類型，教學的側重點不一樣，不能一概而論。

針對描述性分析這類型題目，教學中，以貼近學生學習與生活實際的案例為抓手，在具體的情境中，引導學生對諸如百分位數、平均數、眾數等相關概念進行描述性的說明；引導學生選擇恰當的圖表諸如扇形圖、條形圖、頻率直方圖來描述問題，體會圖表在解決生活問題中的作用；引導學生動手計算樣本數據的相關數字特征，體會樣本數字特征的含義及意義。此外，注重指導學生開展數學閱讀。在教學中，教師可以結合數學問題教授學生一些讀題、審題的方法，要求學生讀題時做到不添字、不漏字，用紅筆把題目中的關鍵字句圈出來，并把題目中的文字表述轉化為數學語言。對于圖表信息的解讀，可以以學生常犯的錯誤為教學資源，設置一個學習任務，鼓勵學生尋找出學習任務中的漏洞或錯誤，進而深化學生對圖表核心信息的理解。

量化關系精煉的題目是培養(yǎng)學生數學應用意識和數學建模素養(yǎng)的良好載體。這類問題有些題干文字比較多，涉及的背景知識也比較豐富，學生具備一定的分析問題能力和解決問題能力是解答此類題的前提，而學生分析問題能力往往比較薄弱。如何提升學生分析問題的能力，這既是教學的重點，又是難點。首先，教師要注重核心概念、主干知識、重要思想方法的教學，積極通過課本題目、高考真題幫助學生建構良好數學認知結構。其次，在運用數學基本原理、普適性思想解決問題上下功夫，促進學生在深刻理解基礎知識與基本技能、形成結構化知識體系的過程中實現數學思想方法的融會貫通，從而提升學生分析問題、解決問題的能力。最后，教師要注重選擇自然科學、人文社會科學等領域的素材以及現實生活、數學文化等作為背景，幫助學生關注現實世界和社會發(fā)展，加強運用數學知識解決生產生活中實際問題的能力，發(fā)展學生的數學建模素養(yǎng)。

數學模型化的試題較難解答。高考試題中涉及的數學模型通常有方程模型、函數模型、數列模型、幾何模型、概率模型與統(tǒng)計模型等。雖然由于各種因素的限制，一道題往往不能考查完整的數學建模過程，但當前高考試題中出現的實際問題，都可以用學生學過的數學模型解決。教學中要以相關高考試題為背景，在分析與解決問題的過程中，引導學生領悟如何恰當選擇數學模型解決實際問題，特別是如何評價通過模型所得解與實際之間存在的誤差，并在誤差許可范圍內解決問題。使學生在解決實際問題的過程中學會建構知識，逐步提高用數學知識解決實際問題的能力，提升數學抽象、數據分析、數學運算和數學建模等素養(yǎng)。

（三）教學整體設計、分步實施

教師可以結合高考數學試題的特點采用整體設計、分步實施的方式開展數學建模教學。教師引導學生對研究的問題進行整體規(guī)劃，以思維導圖的形式把解決問題的步驟呈現出來，然后分步去探究。學生在探究過程中遇到困難時，教師可以進行個別的、靈活的、保持獨立性的適當干預。只有讓學生真正經歷過一回數學建模的過程，他們才能夠逐漸地由類比、模仿向獨立創(chuàng)造，從部分實現到總體構思轉變，才能對高考建模試題做到心中有數，從而提升分析和解決問題能力，發(fā)展數學學科核心素養(yǎng)。

隨著高考綜合改革持續(xù)推進，教師可以以高考新課標卷中的試題為方向標，建立清晰的數學建模教學方法體系，引導學生從“解題”轉變?yōu)椤敖鉀Q問題”，在培育學生數學學科核心素養(yǎng)的同時，落實立德樹人根本任務。

參考文獻

［1］教育部考試中心.中國高考評價體系［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］吳長江.高中數學應用性問題：建模·單元·題組·典型［M］.上海：上海大學出版社，2021.

［4］李明振.數學建模認知研究［M］.南京：江蘇教育出版社，2013.

注：本文系廣西教育科學“十四五”規(guī)劃2024年度重大課題“素養(yǎng)為本視域下高中數學教師課程實施能力模型建構與實踐研究”（2021ZJY148）、南寧市“十四五”教育科學規(guī)劃課題“深度教學視域下數學單元教學設計研究”（2022C398）的研究成果。

（責編 劉小瑗）

作者簡介：梁竹，1985年生，廣西玉林人，碩士研究生，高級教師，主要研究方向為課堂教學與高考研究。