中英法日數學教材中“數列”例習題難度的國際比較研究

［摘" 要］ 例習題作為教材中數學問題的載體，綜合反映了教材難度. 文章借助鮑建生構建的綜合難度五因素模型，對中國、法國、日本和英國現行高中數學教材中數列內容的例習題進行比較. 基于四國教材在五個難度因素上的共性與差異，為我國新一輪高中數學教材編寫提出三點建議：豐富習題情境類型，創新德育融入的背景；關注計算思維培養，算理與算法聯合培智；極限思想三次回歸，對立與統一中謀發展.

［關鍵詞］ 數列；高中數學教材；難度因素；比較研究

引言

21世紀是科學技術飛速發展、全球經濟一體化的時代，也是各國綜合國力競爭的時代，而國力競爭最終仍要歸旨于基礎教育的比拼. 教材是國家意志、民族文化、社會進步和科學發展的集中體現，是實現教育培養目標最直接的載體［1］. 前國際數學教育委員會秘書長阿爾伯特·杰弗里·豪森（Albert Geoffrey Howson）曾指出，人們對數學教育歷史的感知在很大程度上依賴于對舊式數學教材的歷史研究，并且課程的發展總是以教材的發展為先導. 教科書主要由章引言、例題、習題、專欄、正文構成，其中例習題作為學生學習任務的主要來源，在數量、水平、風格和側重點上的差異既反映一個國家數學教科書的整體水平、風格和傾向，也對數學課堂教學實踐產生不可忽視的影響［2］.

在2001年，大衛·野原（David Nohara）在提交給美國國家教育統計中心的工作報告中首次提出了“總體難度（Overall difficulty）”的概念［3］；隨后在2002年，鮑建生在Nohara.D提出難度框架的基礎上提出了綜合難度模型［4］. 在2010年，我國教育部啟動高中數學課程教材的國際比較項目，有關數學教材的研究在此間前后30年得到長足發展. 在2014年，鮑建生和王建磐搭建并應用綜合難度模型對中、美、法、俄、澳的六套高中數學教材中的例題進行了定量比較和定性分析［5］101. 自此，有關教材例習題的難度研究如雨后春筍般涌現.

研究對象及研究工具

1. 研究對象

考慮到世界各國在地理位置和社會文化背景上的共性與差異，本研究選取中國、法國、日本和英國作為比較研究的國家. 從文化背景上看，中國和日本同屬儒家文化圈；從教材編寫上看，我國數學家齊友民在閱讀藤田宏（ふじた ひろし）主編的高中數學教材后呼吁廣大教育工作者“應注重日本的中學教材”［6］. 英國和法國是眾多歐美國家的代表，隨著2014年中英數學教師交流項目成立以來，中國的教材在英國廣受好評. 縱觀教材的國際比較研究，法國教材因其獨特的文化特色、先進的科技意識、現代化的內容以及獨樹一幟的編排設計而備受矚目［7］. 2019年1月22日，法國教育部在第1號特別官方公告上公布了新版課程標準，其對學生綜合素質、建模能力的要求與我國不謀而合，對算法思想和探究活動的重視契合我國當前的人才培養方向，故將法國作為比較國之一.

數列作為離散數學的典型代表之一，既是數的序列，又與函數相連；既是極限的載體，又是級數的基礎. 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文提及的所有國家的課程標準均簡稱為《課標》）將數列納入選擇性必修中函數主題的子單元，其中蘊含著一般到特殊、有限歸納無限的思想，包含累加、累乘、倒序相加、錯位相減和裂項相消等運算和代數變換方法，較好地關注和培養學生的核心素養. 因此，本文選擇“數列”作為研究主題.

在選擇教材時，本文考慮教材的適用范圍以及教材是否符合所在國家課程改革的主流思想兩個方面，并結合《課標》頒布時間和教材出版時間，確定了表1所列的數學教材［8-11］.

為了控制研究中的變量，并堅持基于本土教材編寫的原則，本文選擇以中國教材中出現的數列內容作為編碼范圍的標準——包括數列的概念、等差數列、等比數列、數學歸納法等，不包括級數、數列的極限等內容.

2. 研究工具

例題反映了教材在問題解決方面的基本要求，也從側面反映了教師的知識能力以及教材的難度水平［5］101. 習題是學生任務的主要來源，具有挑戰性和吸引力，深刻影響學生對數學概念的理解［12］. 因此，將教材中的例習題難度作為衡量教材難度和課程理念的指標，運用鮑建生提出的五因素綜合難度模型，從探究、背景、運算、推理和知識含量這五個維度對中國、英國、法國、日本教材中的數列內容進行編碼分析. 詳細內容見表2.

統計結果及分析

1. 結果分析

首先對每道例習題的難度因素進行定量分析和定性描繪，隨后利用公式繪制綜合難度五邊形，以便進行比較分析.

（1）四國教材在探究難度因素上的共性與差異

如圖1所示，從整體來看，除FTB的例習題外，其余幾國教材中處于理解水平的例習題數量最多，處于識記水平和探究水平的次之. 這表明高中數學教材注重學生理解和領悟知識，而非簡單地識記.

從探究難度因素來看，CTB、JTB、ETB教材的例習題在各個水平上的表現較為吻合，習題與例題的認知要求匹配度高，例題的示范引領功能突出. 而FTB的例題在探究難度因素方面的表現近似直線下降，其更強調例題的鞏固新知這一首要功能［13］. JTB在理解水平的例習題數量較多，具體來說，理解水平的習題數量（72%）比整體平均值（58%）高出14個百分點，例題數量（66%）比整體平均值（51%）高出15個百分點，這與日本數學學習指導要領中強調的“系統地理解學習的各個內容的基本概念和原理及規律是至關重要的”相一致. CTB的例習題數量在探究水平上的占比是最高的，在“練習”和“拓廣與探索”板塊中增加探究性習題，反映出我國教科書編寫者正逐步將《課標》中對學生思考力、探究精神的培養要求融入課堂教材中.

（2）四國教材在背景難度因素上的共性與差異

如圖2所示，從整體來看，鑒于數學的嚴謹性，教材中的許多題目經過抽象處理，使得文字表達簡潔且嚴謹，大多缺乏實際背景.

在例題的背景難度因素方面，四國教材中無實際背景的題目數量最多. 具體來說，CTB例題背景在三個水平上的分布較為均衡；而ETB、FTB、JTB在個人生活、公共常識和科學情境三個水平上的題目數量相當，個人生活類題目占比約10%，公共常識和科學情境類題目均不足5%. JTB例題背景尤為單一，全部集中于無實際背景. ETB和FTB的情況大致相同，均強調從實際背景出發，運用所學知識解決實際問題；特別是法國，有較多需要使用表格生成數列進行規律探究或通過編寫算法生成數列并求和的題目，重視算法思維和計算機能力的培養. 此外，法國是十四個國家（中國、日本、韓國、新加坡、英國、法國、德國、俄羅斯、芬蘭、荷蘭、美國、加拿大、南非和澳大利亞）中唯一一個將信息技術滲透到高中數學五個知識領域（數與代數、圖形與幾何、概率與統計、微積分及其他）的國家［14］. 反觀JTB的例題情境，其全部采用數學語言陳述問題，無特殊情境設置，問題情境的多樣化有待加強. CTB在例題背景設置上表現得較為客觀，涵蓋銀行復利計算、設計電子產品品控提升方案和生活垃圾處理等社會生活背景，這有助于教師在精講例題時培養學生建模思維和綜合解決問題的能力，發揮例題的示范和引導作用.

在習題的背景難度因素方面，四國教材的習題仍以無實際背景為主，FTB習題則具有相對豐富的實際背景，占比達42%，反映出法國教材題目的強實用性. FTB習題的背景極為豐富，在個人生活、公共常識和科學情境三個水平均領先于其他三國；該教材的習題背景形式多樣，強調建模思想，從日常的存錢問題到復雜的密碼測試、保險方案選擇乃至償還貸款利率的決策都有所涉及. 法國的課程標準在習題的設置和選擇方面特別強調“在任何情況下，習題必須是精心設計的，用于發展學生的數學知識和技能”［15］. ETB與CTB在習題背景方面的表現相似，在公共常識水平，CTB（7%）高于ETB（3%），僅次于FTB. JTB習題絕大多數（97%）無實際情境，題目背景十分單薄.

（3）四國教材在運算難度因素上的共性與差異

如圖3所示，從整體來看，四國教材的例習題在運算難度因素上表現出“輕識記、重運算”的特點，并且更加突出代數運算的重要性. FTB例題注重基礎的數值運算，而習題則強調代數運算，這體現了“小步子、低坡度”的訓練原則.

從例題在運算難度因素的表現來看，CTB、ETB、JTB的例題在運算各水平的走勢一致，近半數為簡單符號運算. 其中，在“無運算”水平上，CTB（0%）的題目數量最少，其次是FTB（3%）和JTB（3%），而ETB（7%）的題目數量最多. 值得注意的是，ETB中有一些解釋數列模型擬合度的例題，這些題目側重于考查學生計劃和調整策略的能力. 這正是英國《課標》所強調的核心理念：“利用數學知識，在解決純數學和各種背景下的問題時做出合乎邏輯和理性的決定，并清楚地傳達這些決策的數學原理.”［16］在FTB例題中，近一半（49%）的題目涉及簡單的數值運算，重點在于學生對數列定義及其相關術語的理解與計算，主要考察學生識別數列類型、確定公差或公比、求解數列某幾項的能力，強調公式的靈活應用，沒有（0%）復雜符號運算. 在CTB例題中，近一半（49%）的題目涉及簡單的符號運算，大多數立足于生活情境，從具體背景中提取數列基本要素進行代數運算，或求解“知三求二”的聯立方程問題.

從習題在運算難度因素的表現來看，CTB和JTB的習題在數值運算和簡單符號運算上的走勢一致，相差不到3個百分點，但JTB的整體運算難度高于CTB，體現在更少的無運算習題（0%）和更多的復雜符號運算習題（30%）. FTB習題的運算難度低于其他三國，僅有12%的復雜符號運算習題；而ETB習題中超過半數（56%）涉及簡單符號運算.

（4）四國教材在推理難度因素上的共性與差異

如圖4所示，從整體來看，除FTB外，CTB、JTB、ETB的例題均呈現“中間高、兩頭低”的分布特點.

從例題在推理難度因素的表現來看，CTB、ETB、JTB的趨勢一致，大約一半的題目需要簡單推理，而無推理和復雜推理題目的占比均在25%左右. 其中，CTB的無推理題目（26%）和復雜推理題目（23%）相差3個百分點，JTB的無推理題目（18%）和復雜推理題目（32%）相差14個百分點，ETB的無推理題目（17%）和復雜推理題目（24%）相差7個百分點. FTB的例題顯示出隨著推理水平的上升，數量逐漸減少的趨勢，非常注重基礎性和示范性，強調通過學習例題來提升學習者的實際解題能力，充分發揮例題的示范引領功能［17］.

從習題在推理難度因素的表現來看，在四國教材中，簡單推理習題的數量最多，其中ETB的占比最高，達到68%，其次是JTB，占比為60%. 接著是FTB和CTB，分別占56%和49%. 值得注意的是，FTB和CTB中無推理題目的比例高于復雜推理題目，而JTB和ETB的情況則相反.

（5）四國教材在知識含量難度因素上的共性與差異

如圖5所示，從整體來看，除ETB外，其他國家的教材例習題呈現出隨著知識含量難度的提升，題目數量逐步減少的趨勢.

從例題在知識含量難度因素的表現來看，CTB和JTB在知識含量難度因素的各個水平上的表現一致，呈現出隨著知識含量難度的提升，題目數量逐步減少的趨勢. 兩國教材均強調題目的基礎性，不存在顯著差異. ETB的例題傾向于體現題目的綜合性，其中52%的題目涉及兩個知識點，例如將數列的通項公式、求和公式與不等式相結合，或已知數列某幾項的和逆推公差（公比）和通項公式. FTB的絕大多數例題（92%）僅涉及一個知識點，并且分布在每一個小知識點的后面，起著鞏固新知、供學生模仿解題的作用；只有少數題目（8%）涉及兩個知識點，多出現在章末的“Modéliser avec une suite”欄目中，注重模型思想，將數列和不等式相結合，以求解滿足實際條件的最大項數.

從習題在知識含量難度因素的表現來看，四國教材均注重習題的強化和鞏固新知的功能，特別關注基礎性，尤其是FTB習題（85%）. CTB習題強調題目綜合性，約有7%的題目綜合考察三個知識點，同維度下占比最高.

2. 綜合難度比較

為了直觀比較，繪制了如圖6所示的雷達圖.

在例題綜合難度五邊形中，四國教材在背景、探究、知識含量、運算、推理這五個難度因素上均有較大差別. 此外，JTB的例題在五個難度因素上很不平衡，極差達到了1.84. 圖（a）中的五邊形在運算難度因素上有突出的趨勢，說明四國教材均重視學生計算能力的培養；然而，在背景和知識含量這兩個難度因素上，水平普遍偏低，這與高中數學學習特點有關，隨著知識的抽象程度提高，背景趨向數學化，知識的難度和復雜度增加，導致知識綜合度有所下降. 在例題綜合難度五邊形中，四國教材在“推理—運算”這條邊上呈平行狀態，說明CTB、FTB、JTB、ETB這四種教材例題在推理和運算上的關注度一致.

在習題綜合難度五邊形中，四國教材在背景難度因素上有較大差別，JTB習題的背景難度因素接近1，幾乎全是純數學背景習題. JTB習題在五個難度因素上很不平衡，極差達到了1.87；FTB習題則較為平衡，極差僅為0.72. 與例題一樣，四國教材更側重于運算能力的培養，且運算難度因素的權重最大. 四國教材在“推理—運算”“知識含量—探究”這兩條邊上呈平行狀態，說明CTB、FTB、JTB、ETB這四種教材習題在推理和運算、知識含量和探究上的關注度一致.

結論與建議

1. 結論

通過對四國高中數學教材中數列例習題難度的比較研究，得出以下結論：

（1）探究水平相對失衡，凸顯工具性理解

1976年，理查德·斯根普（Richard Skemp）在與挪威的梅林奧森（Stieg Mellin Olsen）交流以后，明確提出了事物的理解有兩種模式：工具性理解和關系性理解［18］. 前者是一種停留在語義層面、程序性的理解，后者在前者基礎上增加對符號意義和結構的認識. 通過對比分析，可以發現四國教材中的例習題都格外重視學生對公差（或公比）、通項公式、求和公式的理解，但由于過度依賴模式化的習題練習，許多題目對理解的要求淺嘗輒止，例如僅要求識別數列類型并指出公差（或公比），或是給定數列的幾項后通過聯立方程進行程序化計算以求得公差（或公比），例習題的考察重點仍聚焦于工具性理解水平.

（2）背景聚焦于實事熱點，側重準真實情境

在當今全球一體化的背景下，可持續發展、垃圾處理與回收、新能源汽車以及海平面上升等事關人類命運共同體的熱點話題頻繁出現在中國教材和法國教材中. 數列知識與個人生活和公共常識相結合，有助于學生產生數學價值認同感，體驗到學習的實用性；而與科學情境相結合，有助于拓寬學生的知識視野和科學意識. 通過比較可以發現，法國教材的例習題在背景上的表現位居前列. 法國教材的例習題設有大量的實際情境，并分設多個小問題，展現了明顯的遞進性和深入性. 這些例習題的最后一問通常要求學生進行決策分析，并選擇合適的解決方案. 中國教材的例習題在背景上的表現僅次于法國教材，其例習題的實際情境大多源于公共常識，比例顯著高于其他三國. 四國教材中的問題情境主要涉及真實世界中的人、事、物，但也有一些構造的信息，屬于準真實情境. 只有少數例習題需要借助計算機編程來解答，這些屬于純現實情境.

（3）運算偏重代數思維，多運用等價關系

中國教材和日本教材在運算因素方面表現出較高的一致性，不論是例題還是習題，均無統計學意義上的顯著差異. 中國教材和日本教材對數值運算和簡單符號運算的關注度不相上下，法國教材更強調數值運算，英國教材則更強調簡單符號運算. 簡單符號運算中蘊含著用字母表示數的代數思維，它比算術思維更抽象，強調結構性觀點，關注數與式之間的等價關系. 從例習題的運算難度表現來看，中國教材、英國教材、日本教材均強調代數思維，雖然法國相對較少，但仍有一定的計算機編程和表格計算問題，不乏對代數思維的關注.

（4）推理重視數學歸納，東西方取向一致

四國教材在推理因素方面表現出較高的一致性，主要關注簡單推理，例如利用等差中項（或等比中項）求解通項公式和公差（或公比），或運用遞推關系（日本教材稱之為“漸化式”）證明不等式，以及在實際問題中做出符合生活常識的決策. 數學歸納法，作為一種演繹推理方法，受到了東西方教育界的廣泛關注. 除英國教材外，在中國、日本、法國的教材中都有其身影. 在中國和日本，數學歸納法被單獨設立為一個教學章節；而在法國，數學歸納法被置于高三教材的第一章“分析”的第一節，與數列極限和級數一同講授. 從數學歸納法題目的難度來看，法國教材中的題目難度大，綜合性高，它們不僅要求學生使用數學歸納法證明數列和不等式，還涉及了少量的極限內容.

（5）章節內容各具特色，例習題知識單一

從數列章節的知識總量來看，在相應的課程目標和課程理念的指導下，英國教材和法國教材在數列章節加入了“數列的極限”或“等差、等比級數”等必修內容；而日本教材則增加了“求和符號∑”和“階差數列”等內容. 從整體來看，四國教材都強調例習題的基礎性. 在習題方面，注重以“節”為單位的鞏固訓練；在章末復習中，才有一定數量的綜合考察題目，但其知識領域主要局限于本章所涵蓋的知識點. 從五個難度因素的權重來看，知識含量的權重最低，反映出高中數學例習題在專業性和深度、廣度上略顯不足.

2. 建議

比較教育研究的目的在于借鑒與改進. 基于對四國教材在數列例習題的設置編排及價值取向的分析，為我國新一輪數學教材的編寫提出以下三點建議.

（1）豐富習題情境類型，創新德育融入的背景

我國教材在例習題背景的設置上，既有個人生活情境的學以致用，又強調了社會情境下數學的價值，還在科學情境中展示了數學的實用性. 相較于其他三國，我國教材的例習題背景更加注重數學史和中華優秀傳統文化的融合，例如解決《莊子·天下》中的數學問題、古代數學家求數列和的方法、科赫雪花圖案等，體現了將數學文化與數學教學相結合、德育與數學課堂相融合的要求. 除數學文化外，還可以融入一些思想品德教育的情境，例如借用網絡謠言傳播的指數增長來教導學生規范網絡言行. 然而，我國教材中的社會情境設置相對傳統，多聚焦于函數模型的應用，而關于最優化問題解決的社會情境則涉及較少，例如“費用最少”“損耗最小”“面積最小”等極值問題，以及依據本金金額和存儲時間決定選擇單利還是復利的儲蓄方案.

（2）關注計算思維培養，算理與算法聯合培智

在教育數字化轉型的時代下，在關注公式背后算理的同時，更應順應時代潮流，重視算法能力的培養. PISA 2022首次將計算思維納入數學素養的評估范疇. 《課標》明確指出：應注重信息技術與數學課程的深度融合，例如用計算機探究算法、進行大規模計算等［19］. 目前，英國和法國的教材已將計算機處理和編寫算法類題目納入習題中. 數列背后隱藏著遞歸思想和遞進關系，這種“無序”背后所蘊含的“有序”為信息技術的融入打開了一道門，使得原本紙上生硬的公式轉變為計算機生成數列的依據，讓我們得以體驗算法步驟中的邏輯動力. 例如，提供一個用于生成數列的算法程序，要求學生識別算法并判斷數列類型，隨后編寫一個能夠計算數列前n項和的算法程序. 這不僅有助于學生深入理解算法程序的邏輯，更有助于培養學生用計算機解決問題的能力.

（3）極限思想三次回歸，對立與統一中謀發展

縱觀百年中國《課標》的演變歷程，自1923年《新學制課程標準綱要》的發布，“極限論”與基本級數作為必學內容隨多版《課標》修訂而穩居40年；1963年，《課標》首次刪去等差、等比級數，但仍關注極限理論；1982年，首次刪去極限內容的學習；然而，時隔四年，兼做選修和必修的極限內容二次回歸《課標》；自1996年起至今，極限內容從高中數學的必修模塊中消失了，其在《課標》中不再有明確的要求. 在國外，微積分在數學課程中具有不可撼動的地位，而極限作為微積分中的基礎概念之一，在法國和英國的教材中占有很大篇幅. 極限，作為一種在有限中探索無限，于近似中追求精確，從量變中引發質變的數學思想，不僅有助于培養學生的辯證思維能力，而且為他們未來學習高等數學奠定了堅實的基礎. 在極限概念正式定義之前，將散布在教材各個章節的極限思想整合并講解，有助于培養學生對極限概念的理解和認識. 因此，數列極限與簡單的級數內容應當且有必要第三次納入高中數學的必修課程.

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