基于“理解數(shù)學(xué)”的課堂教學(xué)研究

［摘" 要］ “理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”簡(jiǎn)稱(chēng)“三個(gè)理解”，是章建躍博士所提出的教學(xué)理念. 隨著新課改的深入推進(jìn)，該理念應(yīng)用頻率越來(lái)越高. 研究者以“平面向量的加法運(yùn)算”為例，從“概念導(dǎo)入，揭露教學(xué)意義”“建構(gòu)概念，暴露運(yùn)算本質(zhì)”“剖析概念，研究運(yùn)算定律”“概念應(yīng)用，解決實(shí)際問(wèn)題”“深化概念，提煉思想方法”五個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，旨在幫助學(xué)生在深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，提升思維能力和學(xué)習(xí)能力，并發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 理解數(shù)學(xué)；平面向量；課堂教學(xué)

在“三個(gè)理解”的基礎(chǔ)上實(shí)施課堂教學(xué)，可有效提升課堂教學(xué)效率，促進(jìn)學(xué)習(xí)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展. 那么，何為“理解數(shù)學(xué)”呢？研究發(fā)現(xiàn)，教材作為知識(shí)傳遞的基本載體，在以教材為本的基礎(chǔ)上研究數(shù)學(xué)概念，可鑄就“數(shù)學(xué)細(xì)胞”；思維是數(shù)學(xué)的體操，在以數(shù)學(xué)思維發(fā)展為基本目標(biāo)的基礎(chǔ)上探索知識(shí)結(jié)構(gòu)，可強(qiáng)健“數(shù)學(xué)骨骼”；思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，在滲透思想方法的基礎(chǔ)上實(shí)施解題教學(xué)，可豐滿(mǎn)“數(shù)學(xué)血肉”. 因此，“理解數(shù)學(xué)”就是以教材為本，重視數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想方法的滲透，通過(guò)概念教學(xué)、知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理與解題教學(xué)等手段完善學(xué)生認(rèn)知體系的過(guò)程.

教學(xué)分析

平面向量的加法深刻反映了向量的本質(zhì)特性，是向量章節(jié)中的基礎(chǔ)運(yùn)算之一. 然而，學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容的理解程度并不理想，主要原因是許多教師認(rèn)為這部分內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，因此在教學(xué)過(guò)程中往往一筆帶過(guò)，導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)了“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象. 也有部分教師認(rèn)為，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)物理學(xué)科中的運(yùn)動(dòng)合成相關(guān)內(nèi)容，他們對(duì)向量加法的理解相對(duì)容易. 因此，這部分教師直接向?qū)W生展示向量加法的三角形和平行四邊形法則，跳過(guò)本質(zhì)分析環(huán)節(jié)，直接進(jìn)入應(yīng)用階段，致使學(xué)生對(duì)向量加法運(yùn)算出現(xiàn)了“一知半解”的現(xiàn)象［1］. 為了改善這一狀況，筆者基于“理解數(shù)學(xué)”的理念，對(duì)這部分內(nèi)容的教學(xué)進(jìn)行了深入的探討和分析.

教學(xué)構(gòu)想

教材是教學(xué)的基本載體，教材中的知識(shí)只是靜止的“半成品”，教師在課堂上挖掘教材的教學(xué)功能，通過(guò)重組等方式揭露數(shù)學(xué)思想是理解數(shù)學(xué)的根本. 因此，課堂教學(xué)的首要任務(wù)就是通過(guò)觀(guān)察與分析教材中的知識(shí)內(nèi)容，挖掘其潛在的思想，此為提高教學(xué)效率的關(guān)鍵一步.

1. 概念導(dǎo)入，揭露教學(xué)意義

在建構(gòu)主義理論的指導(dǎo)下，以向量運(yùn)算的本源作為教學(xué)的起點(diǎn)，結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)來(lái)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，可喚醒學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，激活他們的思維，從而讓學(xué)生初步理解向量加法運(yùn)算的價(jià)值與意義.

問(wèn)題1 在平面幾何領(lǐng)域，三角形中位線(xiàn)定理大家都不陌生. 現(xiàn)在，請(qǐng)大家思考：是否可以從向量的角度來(lái)描述三角形中位線(xiàn)定理？

設(shè)計(jì)意圖 三角形中位線(xiàn)定理是學(xué)生所熟知的內(nèi)容，向量也是他們已經(jīng)掌握的知識(shí). 要求學(xué)生從向量的角度來(lái)描述三角形中位線(xiàn)定理，不僅能幫助學(xué)生復(fù)習(xí)向量、共線(xiàn)向量以及相等向量等概念，還能讓他們感受到數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，為本節(jié)課的向量加法運(yùn)算教學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

師：關(guān)于三角形中位線(xiàn)定理的證明，以往采取的是什么方法？

生1：坐標(biāo)法與幾何綜合法.

問(wèn)題2 如圖1所示，既然可以使用向量來(lái)描述三角形中位線(xiàn)定理，那么是否可以利用其他向量來(lái)揭示與之間的關(guān)系呢？換言之，能否通過(guò)向量運(yùn)算來(lái)證明這個(gè)定理？

設(shè)計(jì)意圖 此為一個(gè)典型的問(wèn)題，旨在引導(dǎo)學(xué)生得出肯定的結(jié)論. 它鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考，認(rèn)識(shí)到自己在認(rèn)知上的不足，并感受到學(xué)習(xí)向量加法運(yùn)算的必要性. 有專(zhuān)家指出，如果沒(méi)有運(yùn)算，那么向量只是一個(gè)“路標(biāo)”. 因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無(wú)限. 想要理解這句話(huà)中的“力量”一詞，就要深入探索向量的運(yùn)算. 問(wèn)題2引導(dǎo)學(xué)生的思維自然而然地進(jìn)入了向量運(yùn)算的領(lǐng)域，激發(fā)了學(xué)生利用向量解決幾何問(wèn)題的初步想法，并成功揭示了向量加法運(yùn)算的教學(xué)意義與實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

2. 建構(gòu)概念，暴露運(yùn)算本質(zhì)

問(wèn)題3 已知冰箱內(nèi)有3個(gè)蘋(píng)果，若往里面再放2個(gè)蘋(píng)果，冰箱內(nèi)共有幾個(gè)蘋(píng)果？可否從這個(gè)實(shí)例出發(fā)，說(shuō)一說(shuō)“2+3=5”所蘊(yùn)含的運(yùn)算規(guī)則是什么？

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)高中生提出這么簡(jiǎn)單的一個(gè)生活問(wèn)題，令學(xué)生感到詫異，甚至有學(xué)生直接笑場(chǎng)，認(rèn)為老師怎么會(huì)提出這么幼稚的問(wèn)題. 然而，此問(wèn)的核心在于揭示“2+3=5”所蘊(yùn)含的運(yùn)算規(guī)則，顯然這是一個(gè)包含深刻道理的小問(wèn)題. 數(shù)字加法的本質(zhì)是求兩個(gè)數(shù)的和，唯有屬性相同的數(shù)量關(guān)系才具備累加的條件. 在這個(gè)問(wèn)題中，3個(gè)蘋(píng)果與2個(gè)蘋(píng)果具備相同的屬性，因此它們可以直接相加. 將這一特性類(lèi)比遷移到向量的加法運(yùn)算中，我們不禁要問(wèn)：是否只有滿(mǎn)足特定條件的向量才可以相加呢？

師：向量的本質(zhì)特征是什么？

生（眾）：既有方向，又有大小.

問(wèn)題4 結(jié)合向量的本質(zhì)特征思考：滿(mǎn)足什么條件的兩個(gè)向量具有相加的可能？向量相加時(shí)，應(yīng)遵循什么規(guī)則？

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)提問(wèn)激發(fā)學(xué)生對(duì)向量本質(zhì)特征的回憶，并提示學(xué)生：向量加法與向量的方向和大小密切相關(guān). 問(wèn)題4的提出旨在激發(fā)學(xué)生自主思考，引導(dǎo)他們從向量的幾何表示角度展開(kāi)分析. 顯然，將兩個(gè)有方向的線(xiàn)段進(jìn)行疊加，受方向的限制，與單純數(shù)字的累加有所區(qū)別. 俗話(huà)說(shuō)“不憤不悱，不啟不發(fā)”，問(wèn)題4成功激發(fā)了學(xué)生的思考和疑惑，使他們明確向量加法與數(shù)字加法不完全相同，向量加法運(yùn)算必然有一套獨(dú)特的規(guī)則，這為揭示向量加法運(yùn)算的本質(zhì)奠定了基礎(chǔ).

問(wèn)題5 假設(shè)向量a，b是同向向量，它們相加會(huì)怎樣？如果向量a，b為相反向量，那么它們相加又會(huì)怎樣？設(shè)嘗試分析以上兩個(gè)問(wèn)題，思考向量相加的基本規(guī)則，并提煉相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式.

問(wèn)題6 兩個(gè)不共線(xiàn)的向量相加，遵循什么樣的規(guī)則？從物理學(xué)的視角來(lái)看，位移合成是指一個(gè)物體從點(diǎn)A經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C，即經(jīng)過(guò)兩次位移抵達(dá)目的地. 這個(gè)過(guò)程的結(jié)果與物體從點(diǎn)A直接位移■抵到目的地是相同的. 即便點(diǎn)A，B，C并不一定位于同一直線(xiàn)上，仍然存在這個(gè)式子. 那么，該式是否在所有情況下都成立呢？

設(shè)計(jì)意圖 跨學(xué)科教學(xué)是新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)教育提出的要求，它強(qiáng)調(diào)將不同學(xué)科的知識(shí)融合在一起. 雖然向量與位移之間存在著顯著的相似性，但如果教師僅僅告訴學(xué)生物理運(yùn)動(dòng)合成與向量加法法則之間的聯(lián)系，學(xué)生可能無(wú)法真正理解數(shù)學(xué)的深層含義. 相反，從數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)向量加法運(yùn)算的過(guò)程入手，通過(guò)“再創(chuàng)造”教學(xué)內(nèi)容，可以激發(fā)學(xué)生的思考，讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣主動(dòng)探索，從而更深入地理解向量加法運(yùn)算的本質(zhì).

3. 剖析概念，研究運(yùn)算定律

問(wèn)題7 兩個(gè)向量相加的規(guī)則大家已經(jīng)有所了解，現(xiàn)在我們一起來(lái)思考：在同一平面內(nèi)，多個(gè)向量相加，該怎么處理呢？

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)字相加是將多個(gè)數(shù)累加在一起形成一個(gè)總和，其累加過(guò)程遵循交換律與結(jié)合律. 本節(jié)課探索的是一個(gè)平面內(nèi)的向量相加，同為加法運(yùn)算，因此可以從加法運(yùn)算規(guī)律的角度進(jìn)行分析，即在同一平面內(nèi)，多個(gè)向量相加的本質(zhì)是將這些向量相加轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量相加（見(jiàn)圖2）. 在向量相加的過(guò)程中，無(wú)論采用哪種結(jié)合方式，結(jié)論都是一樣的. 據(jù)此，可以推斷出向量加法運(yùn)算同樣遵循交換律與結(jié)合律，即（a+b）+c=a+（b+c）.

4. 概念應(yīng)用，解決實(shí)際問(wèn)題

例1 現(xiàn)在深入探討如何使用向量加法來(lái)證明三角形中位線(xiàn)定理.

例2 如圖3所示，此為一個(gè)輪渡口，渡船從點(diǎn)A處出發(fā)，正常以5 km/h的速度垂直駛向?qū)Π兜狞c(diǎn)D處，明確水的流速為向東2 km/h.

（1）用向量分別表示水流速度、渡船的航行速度以及渡船實(shí)際航行的速度.

（2）渡船實(shí)際航行的速度與方向分別是什么？

設(shè)計(jì)意圖 這兩個(gè)例題旨在加深學(xué)生對(duì)向量加法的理解，并體驗(yàn)向量加法在解決幾何問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題時(shí)的便捷性. 尤其是例2的應(yīng)用，讓學(xué)生對(duì)向量及其加法的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值有了更深入的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步感知數(shù)學(xué)與日常生活的緊密聯(lián)系.

5. 深化概念，提煉思想方法

問(wèn)題8 為什么在同一平面內(nèi)不共線(xiàn)的多個(gè)向量相加，最終可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量相加呢？由什么原理可以作解釋呢？

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展遵循由淺入深的規(guī)律，那么數(shù)學(xué)教學(xué)同樣遵循由易到難、逐層遞進(jìn)的規(guī)則. 雖然學(xué)生在該階段尚未接觸線(xiàn)性相關(guān)的內(nèi)容，但向量的加法運(yùn)算中卻蘊(yùn)含了這種思想. 教師在課堂上適時(shí)地進(jìn)行引導(dǎo)和滲透，能夠激活學(xué)生的思維，為后續(xù)教學(xué)夯實(shí)基礎(chǔ). 調(diào)查顯示，許多大學(xué)生將向量組的線(xiàn)性相關(guān)性視為學(xué)習(xí)上的一個(gè)難點(diǎn). 因此，在本節(jié)課中適當(dāng)引入與之相關(guān)的思想方法，可為學(xué)生未來(lái)學(xué)習(xí)n維向量組的線(xiàn)性關(guān)系做好準(zhǔn)備. 需要注意的是，在此環(huán)節(jié)不必使用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，而可以應(yīng)用易于理解的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行解釋?zhuān)龑?dǎo)學(xué)生感知向量加法的內(nèi)涵.

由共線(xiàn)向量相加可知，共線(xiàn)向量具有相互表示的特性，而這一特性在不共線(xiàn)向量中是不存在的，這也是不共線(xiàn)向量無(wú)法位于同一直線(xiàn)上的原因. 綜上探索，下節(jié)課可以引導(dǎo)學(xué)生自主將向量加法運(yùn)算推廣到向量數(shù)乘運(yùn)算，讓學(xué)生在“理解數(shù)學(xué)”的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)知識(shí)與研究方法的遷移.

思考與感悟

1. 研究向量加法產(chǎn)生的原因是理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)

用代數(shù)法研究幾何問(wèn)題是向量加法運(yùn)算產(chǎn)生的基礎(chǔ). 笛卡爾發(fā)明的坐標(biāo)系，為人類(lèi)探索幾何問(wèn)題提供了服務(wù)，但萊布尼茨認(rèn)為，“盡管笛卡爾的坐標(biāo)系統(tǒng)將幾何量轉(zhuǎn)化為代數(shù)方法的分析，但不是幾何量之間的直接運(yùn)算，有時(shí)是復(fù)雜的. 這種把代數(shù)用于幾何是一個(gè)正確的方法，但不是最好的.”［2］在萊布尼茨思想的影響下，莫比烏斯與格拉斯曼研究了有向線(xiàn)段的加法運(yùn)算. 他們認(rèn)為，如果把AB視為BA的相反量，只要能確定點(diǎn)A，B，C均處于同一條直線(xiàn)上，那么AB+BC=AC恒成立. 經(jīng)過(guò)大量實(shí)踐驗(yàn)證，他們發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)A，B，C不處于同一條線(xiàn)上的情況下，該式依然成立. 這一發(fā)現(xiàn)被稱(chēng)為向量加法的三角形法則，即

一旦學(xué)生對(duì)向量加法的成因有了清晰的理解，他們便會(huì)對(duì)這一運(yùn)算產(chǎn)生積極的情感反應(yīng). 此外，對(duì)成因的深入分析還能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力，為新知的探索打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 在本節(jié)課中，教師在引導(dǎo)學(xué)生正式探索向量加法運(yùn)算之前，已經(jīng)與學(xué)生一起探討了向量加法運(yùn)算的形成過(guò)程. 這樣做讓學(xué)生在積極主動(dòng)的狀態(tài)下接受并深入研究新知，為構(gòu)建完整的知識(shí)體系打下了基礎(chǔ).

2. 關(guān)注向量加法運(yùn)算的本質(zhì)是理解數(shù)學(xué)的核心

本節(jié)課的主題是向量加法運(yùn)算，既然是運(yùn)算，必然涉及運(yùn)算法則. 那么，向量加法的運(yùn)算法則是什么呢？帶著這個(gè)問(wèn)題去學(xué)習(xí)和探索，首先需要了解向量加法運(yùn)算的本質(zhì)，這是理解向量加法的運(yùn)算法則的關(guān)鍵. 在加法運(yùn)算中，“+”符號(hào)代表的是一種運(yùn)算方式，而其背后所隱藏的規(guī)則才是我們應(yīng)當(dāng)深入探究的核心.

向量除了具有與數(shù)相同的大小屬性外，還具有方向這一關(guān)鍵屬性，因此向量的加法與數(shù)的加法有所不同. 相同或相反方向的向量可以在一條直線(xiàn)上進(jìn)行研究（見(jiàn)圖4），反方向的向量大小可以通過(guò)負(fù)值來(lái)表示. 在這種情況下，向量的加法運(yùn)算與數(shù)的加法運(yùn)算基本一致，即相加后不再保留各自原有的特性，相加的結(jié)果是一個(gè)新的向量.

如果兩個(gè)向量不是共線(xiàn)的，那么它們相加的結(jié)果本質(zhì)上是這兩個(gè)向量的合成，意味著原本參與相加的兩個(gè)向量的大小和方向保持不變（見(jiàn)圖5）.

向量加法運(yùn)算的深入探討，可促使學(xué)生從真正意義上理解向量加法運(yùn)算的本質(zhì)，達(dá)到理解數(shù)學(xué)的目的.

總之，基于“理解數(shù)學(xué)”的課堂教學(xué)是一個(gè)值得深入探索與研究的話(huà)題，尤其是在新課標(biāo)的背景下，想要讓核心素養(yǎng)落地生根，就要在理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)教學(xué)方案，實(shí)施教學(xué)，此為促進(jìn)學(xué)生長(zhǎng)期可持續(xù)發(fā)展的重要舉措.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 呂松濤. 平面向量加法運(yùn)算的本質(zhì)及教學(xué)思考［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（9）：43-47.

［2］ 呂松濤. 基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)研究［D］. 廣州大學(xué)，2021.