從無到有，教會學生“怎么學”

［摘" 要］ 新課改背景下的數學教學不再滿足于知識與技能的掌握程度，而更關注學力的發展情況. 在課堂中，如何引導學生從無到有進行正確的數學思考，獲得良好的學習能力呢？研究者以“橢圓的方程”教學為例，從以下幾個方面展開教學設計與思考：APOS理論指導，親歷實操活動；基于認知經驗，預設探索途徑；應用分層教學，滿足實際需要；借助問題引導，揭露知識本質.

［關鍵詞］ 怎么學；學習能力；橢圓

核心素養集中體現了學科教育的核心價值，是學生形成關鍵能力、必備品質以及正確價值觀的體現. 在教育全面深化改革的當下，想盡一切辦法培育學生的數學學科核心素養，已然成為廣大數學教師的共識. 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出數學教學要緊扣知識的內涵與本質，引導學生在數學思考中實現從無到有的轉變，掌握具體的學習方法. 實踐證明，教會學生怎么學是實施課程教育的核心，是激發學生從無到有、提高學習能力的關鍵.

教學分析

橢圓是圓錐曲線章節的內容. 學生在課前就已經接觸了直線與圓的相關知識，對解析幾何的常規研究思想和方法有了初步的掌握. 若能規范對橢圓的研究，并將研究思想與方法提煉出來，將對后續研究的深入和知識的拓展起到示范和引導的作用. 鑒于此，教師可基于學生已有的認知和經驗，有意識地引導學生從無到有進行思考，從而構建一套相對系統的探索解析幾何的通用方法. 基于上述分析，筆者結合學生學情設計了相應的教學過程.

教學過程設計

1. APOS理論指導，親歷實操活動

APOS理論由美國數學家杜賓斯基等人創立，該理論致力于概念學習過程的探索，對數學概念的教學具有指導意義. APOS理論認為，學習者在學習概念的過程中需經歷一個完整的心理建構過程，此過程包含操作或活動階段、過程階段、對象階段和概型階段，強調概念教學可基于學生的認知水平實施反省抽象和思維運算，讓學生學會從綜合的角度來審視概念所具備的背景和形式定義等，為揭露概念的內涵與外延奠定基礎. 將APOS理論應用到橢圓方程的教學中，可讓學生從根本上理解什么是橢圓的方程，并在動手畫橢圓的過程中，對橢圓形成深刻理解.

活動安排：課前準備好圓形紙張，課堂上在圓形紙張內任意取點F（非圓心），將紙片進行翻折，讓其邊緣經過點F后再展開，由此獲得折痕l（用筆勾勒）. 如圖1所示，多次重復上述步驟，勾勒出多條折痕，分析所獲得的折痕輪廓可能為一個什么曲線.

從勾勒的折痕來看，學生初步判斷形成的曲線是橢圓. 那么，如何確定這個結論是否準確呢？在教師的引導下，學生進行了相應驗證：探尋折痕上的哪個點是構成橢圓曲線的點，并分析該點滿足什么條件.

剛開始，學生面對這些眼花繚亂的折痕有點手足無措，但在這個問題的引導下，瞬間就發現了問題的本質——探尋折痕上形成橢圓的點.

為了讓學生更清晰地理解這個問題，教師利用幾何畫板進行折痕演示，引導學生通過直觀觀察來發現橢圓的形成過程. 幾何畫板的使用以學生為主體，要求學生通過觀察和思考操作結論，將對折疊活動的直觀感知逐步深化為理論層面的理解.

折紙活動是揭示橢圓起源及其性質的一個關鍵途徑，該途徑操作簡單且易于掌握，因此它常被用于課堂教學中. 然而，折疊和畫線的過程較為緩慢，且折疊次數受到限制. 在教育信息化的當下，教師可以帶領學生通過觀察幾何畫板的演示，形成更加直觀和深刻的印象. 同時，教師還可以鼓勵學生將動手操作的內容通過幾何畫板自主展現出來. 結合這兩種方法，讓學生親身體驗橢圓的形成過程，從而激發他們的探索興趣，并推動他們積極參與后續的探究活動.

設計意圖 新課改的推行促使教師不得不跟上時代的步伐，摒棄傳統的“灌輸式”教學模式，引導學生在自由、民主的氛圍下進行深入探索. APOS理論的介入，讓橢圓概念的探索變得更加具體、明朗、有趣，使學生在此過程中培養了用客觀事實解決數學問題的能力.

2. 基于認知經驗，預設探索途徑

從認知結構遷移理論的角度來看，任何有意義的學習都是在已有的認知結構之上建立的，此為意義學習的根本，不存在脫離原有認知經驗的學習過程. 這里所提到的有意義的學習主要涉及以認知結構作為中介的知識遷移，即將原有認知經驗與新知學習有機地融于一體，通過知識的遷移來構建新的知識體系.

剖析學生在本節課之前所具備的認知結構，可知“圓的方程”是他們已經掌握的知識. 將探索圓方程的方法遷移到橢圓方程的探索中來，能起到事半功倍的效果. 在學生構建出橢圓圖形的基礎上，教師可以提出以下問題來啟發學生進行思考.

師：我們已經了解了橢圓的形成過程，那么接下來我們應該研究什么呢？

此為一個具有啟發性與導向性的問題. 在這個問題的啟發下，學生將他們先前對圓的研究經驗與知識，自然而然地遷移到橢圓的探索中來，從而自主地構建起探索的思路. 以下是師生之間的溝通過程.

生1：我認為探索完橢圓的定義之后，應該探索橢圓的方程了.

師：說說你的想法.

生1：在研究圓的過程中，我們首先探索了圓的定義，隨后研究了圓的方程. 基于此，我認為橢圓的研究路徑應該與圓相似.

師：這個想法不錯. 在獲得了橢圓的標準方程之后，接下來該怎么辦呢？

生2：可通過探索直線與橢圓的位置關系，進一步深化對橢圓相關知識的理解.

生3：除了探索直線與橢圓的位置關系，我認為還可以研究橢圓與其他曲線，例如橢圓、雙曲線、拋物線等，存在怎樣的位置關系.

師：非常好！從大家的討論中可以看出，你們的想法受到了對“圓”的探索的啟發. 但這里有一點需要注意：當我們得到橢圓的標準方程之后，首要任務是探索橢圓的幾何性質，而非橢圓與其他曲線的位置關系. 誰能說一說這是為什么呢？

生4：由于我們尚未研究橢圓的性質，因此必須先明確這些性質，才能進一步探索它與其他曲線的位置關系.

師：很好，這就是解析幾何所具備的學科特性，即用代數法來探索幾何對象，通常遵循“定義—方程—性質—位置關系”的研究流程.

設計意圖 設問與追問的應用，促使學生調取自身已有的認知經驗，羅列出探索解析幾何問題的一般流程，為后續探索更多問題提供了思路參考. 從學生的表現來看，大多數學生都能準確預設課堂走向，說明他們具備良好的推理能力. 在教師和學生的共同努力與探索下，學生自主構建了深入研究橢圓的基本思路. 此環節的設計遵循了“以生為本”的理念，不僅揭示了建構主義理論對數學教學的重要作用，還幫助學生提煉了相應的數學思想方法.

3. 應用分層教學，滿足實際需要

個體差異是不可避免的. 基于學生的實際認知水平和學習能力，實施科學的分組策略，并加強合作學習，能夠有效地提升所有學生的思維能力，使每位學生都能掌握學習方法，并在學習過程中取得顯著進步. 將分層教學與科學分組合作相結合，依據學生的學習情況設計教學內容和方向，可以初步規劃課堂教學的基本進度，同時為個性化處理一些突發情況打下堅實的基礎.

所有學生均認同上述兩種方法，為了讓學生能從他人的思路中獲得啟示，從真正意義上“學會學習”，教師根據學生的具體情況，要求他們分析上述兩個方程的共同點. 經過思考，學生迅速指出兩個方程的共同點在于“平移”. 這一發現的主要原因在于這兩個方程極為相似，只有一個符號不一樣，因此可以運用在探索三角函數圖象時所采用的平移的方法來分析問題.

師：若選擇其他的點作為坐標系的原點，則橢圓的方程會是怎樣的呢？

一石激起千層浪，學生迅速被這個問題所吸引.

設計意圖 分層教學模式的實施，為學生的思維搭建了堅實平臺. 在對問題的分析與探索過程中，學生不僅獲得了良好的“三會”能力，還進一步加深了對知識間聯系重要性的體會，為知識的融會貫通奠定了基礎. 由此可見，分層教學是促使深度學習發生的關鍵.

4. 借助問題引導，揭露知識本質

概念的特征越鮮明，學生理解起來就越容易；反之，若非本質特征繁多，學生在理解與接受概念時會遇到更多困難. 創設豐富的問題情境，能夠引導學生從多角度和不同視角發掘概念的核心特征，從而為知識的遷移和應用打下堅實的基礎. 實際上，創設問題情境，就是將問題的核心內容暴露出來，讓學生在“變”中發現“不變”，并通過類比對知識的形成過程產生明確的認識. 從某種意義上來說，這種模式可有效提升學力.

鑒于對方程與具體橢圓之間的對應關系還不夠了解，教師可適當變形原有的方程，以不斷訓練學生的識別能力，從而守住學習成果，提高學生對問題關鍵要素的識別能力.

生7：通過分析方程的推導過程，我們可以根據x2與y2的分母大小來判斷焦點位于哪個坐標軸.

師：的確，看來大家對橢圓的標準方程的探究和歸納做得不錯. 今后，當我們面對新的探索課題時，首要任務是從其特性入手進行細致觀察，以便更深入地理解和掌握.

設計意圖 問題引導與類比分析是課堂教學的基本策略. 在此環節中，在教師的循循善誘下，學生借助類比法不僅深入理解了知識的本質，還培養了良好的探究能力，提煉了相應的數學思想方法，學會了怎么學，達成了預期的教學目標.

數學教學的核心在于引導學生掌握學習方法，關鍵在于引導他們經歷“從無到有”的知識探索過程. 作為課堂的引路人，教師應始終將學生的“學”置于教學的中心位置，使學生通過學習特定的知識點，掌握探索同類知識的能力，這是提高學生學習能力的關鍵.

總之，關注學生的元認知發展，引導學生“從無到有”構建良好的學習方法，是“教會學生怎么學”的關鍵，也是培養學生終身可持續發展能力的核心.