一道高考概率問題的多解探究與變式

摘 要 本文采用了窮舉法、組合計數法、對應思想等方法對２０２４ 年新高考Ⅰ卷第１４ 題進行了多解分析，并在此基礎上進行變式探究，對高考復習及教學提供一定的參考價值．

關鍵詞 概率；對應與對立事件

題目 （２０２４年新高考Ⅰ卷第１４題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字１，３，５，７，乙的卡片上分別標有數字２，４，６，８． 兩人進行四輪比賽． 在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得１ 分，數字小的人得０ 分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）． 則四輪比賽后，甲的總得分不小于２ 的概率為______．

１． 試題分析

試題主要考查古典概型的概率求解問題． 學生首先認識到，兩人各自隨機選卡片時甲得分的分布列與其中一人固定選卡片的順序，另一人隨機選卡片時甲得分的分布列完全相同，從而將問題轉化為討論４！＝ ２４ 種情況中有多少種情況能使得甲的總得分不小于２ ． 接下來，學生可以直接列舉所有情況討論，也可以巧妙地使用對應和對立事件的性質來得到結論．

２． 多解探析

解法１ （巧用對應和對立事件）記題述的比賽過程為比賽Ａ，定義比賽Ｂ為將乙手中寫有數字８的卡片換為寫有數字０ 的卡片之后的比賽過程，考慮比賽Ａ 與比賽Ｂ 之間的關系．

首先，在比賽Ａ中，乙選出寫有數字８ 的卡片的一輪，甲必然得０ 分． 而當這張卡片換為寫有數字０的卡片之后，甲這一輪必然得１ 分． 因此在比賽Ｂ中甲的得分分布列與在比賽Ａ中甲的得分加上１ 之后的分布列完全相同．

其次，若將比賽Ｂ 中的每張卡片上的數字都增加１，則兩人的得分情況和得分分布列不會有變化，而全部增加１ 之后相當于比賽Ａ中甲乙兩人交換了手中的卡片． 因此在比賽Ｂ 中乙的得分分布列與在比賽Ａ 中甲的得分分布列完全相同．

因此，在比賽Ａ 中甲的得分不小于２ 的概率等于在比賽Ｂ 中甲的得分不小于３ 的概率，也等于比賽Ｂ中乙的得分不小于２ 的概率． 由于在比賽Ｂ中，兩人得分之和恒為４，且兩人的得分都是整數，所以“甲的得分不小于３ ”和“乙的得分不小于２”互為對立事件，它們發生的概率之和為１ ． 因此上述兩個事件發生的概率均為１/２，即在比賽Ａ 中甲的得分不小于２ 的概率為１/２．

解法２ （轉化為一方隨機選卡之后枚舉計算）易知題述概率等于甲固定選卡片的順序，乙隨機選卡片時甲得分不小于２ 的概率． 不妨設甲選卡片的順序為１，３，５，７，在此古典概型中，乙選卡片的不同順序共有４！＝ ２４種，而使得甲得分不小于２的所有順序共有１２ 種，分別為２，８，４，６；４，２，８，６；４，８，２，６；６，２，４，８；６，２，８，４；６，８，２，４；６，８，４，２；８，２，４，６ ；８，２，６，４；８，４，２，６；８，６，２，４；８，６，４，２． 因此答案為１２/２４＝ １/２．

解法３ （轉化為一方隨機選卡之后使用概率和排列組合進行計算）易知題述概率等于甲固定選卡片的順序，乙隨機選卡片時甲得分不小于２ 的概率． 不妨設甲選卡片的順序為１，３，５，７，顯然甲選寫有數字１ 的卡片的那一輪必然得０ 分，因為甲得分不小于２ 等價于其他三輪中甲至少有兩輪是數字較大的一方． 記Ａ３，５ 為事件：甲選寫有數字３，５的卡片的兩輪都是數字較大的一方；Ａ３，７ 為事件：甲選寫有數字３，７的卡片的兩輪都是數字較大的一方；Ａ５，７ 為事件：甲選寫有數字５，７ 的卡片的兩輪都是數字較大的一方；Ａ３，５，７ 為事件：甲選寫有數字３，５，７ 的卡片的三輪都是數字較大的一方.