搭建操作的“腳手架”，支起想象的“登云梯”

圖形與幾何是義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)包括“圖形的認(rèn)識與測量\"和“圖形的位置與運動\"兩個主題，圖形的旋轉(zhuǎn)屬于“圖形的位置與運動”主題。蘇教版四年級下冊學(xué)習(xí)圖形的旋轉(zhuǎn)，主要是認(rèn)識旋轉(zhuǎn)的三要素，并能在方格紙上把簡單圖形旋轉(zhuǎn) ，到初中階段還會再次認(rèn)識平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》把圖形的旋轉(zhuǎn)這部分內(nèi)容放在第三學(xué)段，學(xué)業(yè)要求是：能在方格紙上描述圖形的位置，能辨別和想象簡單圖形平移、旋轉(zhuǎn)后的圖形，畫出簡單圖形旋轉(zhuǎn) 后的圖形。

學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)初步了解過常見的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，對于旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象并不陌生，但畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形對其來說難度較大。教材的例題是旋轉(zhuǎn)一個直角三角形，通常教學(xué)中教師會從停車場轉(zhuǎn)桿的旋轉(zhuǎn)引入，把轉(zhuǎn)桿抽象成線段，從線段的旋轉(zhuǎn)過渡到平面圖形的旋轉(zhuǎn)，接著引導(dǎo)學(xué)生找過中心點的兩條關(guān)鍵線段即兩條直角邊，通過關(guān)鍵線段的旋轉(zhuǎn)確定旋轉(zhuǎn)后的三角形形狀。但當(dāng)作業(yè)中出現(xiàn)小旗狀的長方形時，很多學(xué)生分不清旗面該朝哪個方向旋轉(zhuǎn)，從而出現(xiàn)錯誤。

究其原因，學(xué)生會畫三角形的旋轉(zhuǎn)，只是掌握了找關(guān)鍵線段的畫法，換句話說，學(xué)生獲得的只是畫出旋轉(zhuǎn)后圖形的應(yīng)試方法，掌握的是畫圖的技巧。而新課標(biāo)提出經(jīng)歷對現(xiàn)實生活中圖形運動的抽象過程，認(rèn)識旋轉(zhuǎn)的特征，逐步形成空間觀念，這在數(shù)學(xué)課堂上如何落實？如何做到在課堂上發(fā)展學(xué)生的空間觀念，讓學(xué)生的思考、推理、想象等過程可視化？

一、課前思考

通過調(diào)查與訪談，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對根據(jù)已知圖形直接想象旋轉(zhuǎn)后的圖形感到比較困難，表現(xiàn)在以下幾方面：

（一）從“操作實物\"到“操作表象\"的困難

有實物三角形紙片的幫助，學(xué)生能很快照著樣子描畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形。拿走了三角形紙片，學(xué)生就不知道從哪畫起。

（二）從“兩條直邊\"到“一條直邊\"的困難

教材例題中給出的是直角三角形，且兩條直角邊都在方格線上，然而課本中的習(xí)題只有一條邊在方格線上且不是直角三角形，而是一般三角形甚至梯形，學(xué)生畫出的旋轉(zhuǎn)后的圖形更是五花八門。究其原因，一方面是圖形發(fā)生了變化，不再是操作過的直角三角形，腦海中沒有操作留下的表象；另一方面是他們不能在頭腦中想象圖形旋轉(zhuǎn)后的樣子。

（三）從旋轉(zhuǎn)前“標(biāo)準(zhǔn)圖形\"到旋轉(zhuǎn)后“變式圖形”的困難

小學(xué)生對標(biāo)準(zhǔn)圖形的認(rèn)識比較容易，由于圖形旋轉(zhuǎn)后位置和方向發(fā)生了變化，因此學(xué)生對畫出變式圖形感到困難。

針對學(xué)生畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形存在的困難，我在

教學(xué)中進行了課堂實踐。

二、課堂實踐

教學(xué)中，通過學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)桿的旋轉(zhuǎn)，學(xué)生認(rèn)識了旋轉(zhuǎn)的三要素，教師適時引導(dǎo)學(xué)生將轉(zhuǎn)桿抽象成線段。線段的旋轉(zhuǎn)既讓學(xué)生深刻理解旋轉(zhuǎn)要素的作用，又為后面學(xué)習(xí)面的旋轉(zhuǎn)積累了認(rèn)知和操作的經(jīng)驗。具體教學(xué)實施過程如下：

（一）改變線段位置，突破標(biāo)準(zhǔn)直角定式出示圖1，自主旋轉(zhuǎn)線段 A B 。

交流：你是怎樣旋轉(zhuǎn)線段 A B 的？

小結(jié)：可以把線段 A B 繞 A 點或 B 點，順時針旋轉(zhuǎn) 或者逆時針旋轉(zhuǎn) 。

師：觀察旋轉(zhuǎn)前后的線段，它有哪些變化？

學(xué)生感悟線段在格子線上的旋轉(zhuǎn)，初步體會到豎直方向和水平方向的相互轉(zhuǎn)換，同時理解旋轉(zhuǎn)前后線段的長度不變，為后面理解三角形旋轉(zhuǎn)前后大小、形狀不變，位置改變作鋪墊。

出示圖2，提問：你還能把線段繞 B 點順時針旋轉(zhuǎn) 嗎？如何確定線段 A B 旋轉(zhuǎn)后的位置呢？

在這個過程中，學(xué)生體會到無論線段AB在不在格線上，旋轉(zhuǎn)后的線段與原線段的夾角都是 改變了對標(biāo)準(zhǔn)直角圖示的思維定勢，為后面認(rèn)識兩條邊都不在格線上的圖形的旋轉(zhuǎn)作鋪墊。

（二）觀察思考中感知，操作驗證中認(rèn)識

有目的地觀察、操作等活動能夠加深學(xué)生對空間的知覺，積累了豐富的知覺經(jīng)驗后，學(xué)生才能在頭腦中逐步形成相關(guān)表象，進而針對這些表象進行想象操作。

出示圖3：

操作前先引導(dǎo)學(xué)生思考：三角形繞點A逆時針旋轉(zhuǎn) 會是怎樣的形狀？你是怎樣判斷的？

生1：會轉(zhuǎn)到左邊。

生2：會轉(zhuǎn)成躺著的三角形。（邊說邊用手比畫）

在學(xué)生有了旋轉(zhuǎn)線段的經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生先觀察再嘗試想象，初步體會直角三角形由豎立旋轉(zhuǎn)成水平狀態(tài)，大致感受旋轉(zhuǎn)前后的位置變化。

再讓學(xué)生用三角形紙片在格子紙上實際操作旋轉(zhuǎn)，小組交流后反饋。

指名學(xué)生到講臺上邊演示邊介紹，引導(dǎo)學(xué)生思考：要使三角形繞 A 點旋轉(zhuǎn)，要注意什么？怎樣才能讓A保持不動？

教師示范（邊操作邊講解）。

追問：你從哪里看出三角形剛好旋轉(zhuǎn)了

生：可以觀察三角形一條直角邊是否旋轉(zhuǎn)了 ，也可以觀察另一條直角邊是否旋轉(zhuǎn)了 。

師：你能具體說說嗎？（為了方便表達，教師在三角形另外兩個頂點上分別標(biāo)上字母 B ， C ））

生：長邊 A B 旋轉(zhuǎn)后到了 ，這兩條邊的夾角是 ；短邊AC旋轉(zhuǎn)后到了 ，它們的夾角也是 。

提問：三角形有這樣的三條邊，為什么我們選擇兩條直角邊觀察而不選擇第三條邊？

生：因為這兩條直角邊都與旋轉(zhuǎn)中心相連，旋轉(zhuǎn)前后的邊形成的夾角就是旋轉(zhuǎn)的角度，更方便我們觀察。

師：觀察旋轉(zhuǎn)后的圖形與原來的圖形，比一比，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：圖形的位置發(fā)生了變化，圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生變化。

師：如果沒有三角形紙片，用什么方法可以很快畫出旋轉(zhuǎn) 后的圖形？

生：找到通過中心點的兩條直角邊，分別把這兩條直角邊逆時針旋轉(zhuǎn) ，連接另外一條邊，就可以畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形。

讓學(xué)生經(jīng)歷旋轉(zhuǎn)前的思考，嘗試想象，再進行直觀操作驗證，在實際的操作和想象之間進行比較，有助于學(xué)生積累想象經(jīng)驗，再脫離紙片通過想象推理畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形。這樣遠(yuǎn)比單純地拿著三角形紙片旋轉(zhuǎn)，然后照著樣子描畫出圖形獲得的認(rèn)識要深刻得多。在此過程中既有操作前學(xué)生的觀察、思考和想象，又有動手操作的“腳手架”，空間想象有了依托，學(xué)生的思維能力也得到了發(fā)展，空間觀念的培養(yǎng)不再是無源之水、無本之木。

（三）描述表達中抽象，推理想象中發(fā)展

新課標(biāo)中增加了“表達”\"感知”等詞語，反映出空間觀念的發(fā)展特別注重在操作過程中感知、想象與表達。學(xué)生已經(jīng)有了觀察和操作的經(jīng)驗，如何把這種經(jīng)驗內(nèi)化形成能力，繼而發(fā)展空間觀念？教學(xué)中教師需要及時啟發(fā)和適當(dāng)追問，在描述、表達和交流中，引導(dǎo)學(xué)生進行推理和想象。

出示圖4：

師： 哪個是三角形繞 O 點旋轉(zhuǎn) 后的樣子呢？你是如何判斷的？

生：首先排除 ② ，旋轉(zhuǎn)后圖形大小改變了。

師：那 ① ③ 該選哪個呢？你是怎么想的？和同伴交流交流你的想法。

生： ① 是正確的，旋轉(zhuǎn)前是豎立的，旋轉(zhuǎn) 后變成水平狀態(tài)了，三角形的面（也就是陰影部分）朝左邊，轉(zhuǎn)成水平方向后三角形的面應(yīng)該朝上。

師：那三角形 ③ 的最長邊也是轉(zhuǎn)到水平狀態(tài)了嗎？

生：最長邊轉(zhuǎn)成水平狀態(tài)了，最長邊在最底下，三角形的面應(yīng)該在它的上方， ③ 的面跑到下方去了。

師：說得太好了，不僅關(guān)注到關(guān)鍵線段，還考慮到三角形面的位置的合理性。

生：三角形 ③ 兩條邊轉(zhuǎn)的都不是 。

師：你怎么知道轉(zhuǎn)的不是 呢？這里是有一個直角的呀！（故意指著旋轉(zhuǎn)前斜邊與旋轉(zhuǎn)后直角邊的夾角）

生：這里的 是旋轉(zhuǎn)前三角形的最長邊和旋轉(zhuǎn)后的短邊的夾角，過中心點有兩條邊，要看的是旋轉(zhuǎn)前的最長邊和旋轉(zhuǎn)后的最長邊的夾角，這個夾角大于 是個鈍角。

師：觀察得真仔細(xì)，也就是說要看旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊的夾角是不是 。

這里的三角形只有一條邊在格子線上，而且是一般三角形。通過推理，想象面的位置的合理性，得到圖形旋轉(zhuǎn)后的樣子。通過生生之間、師生之間的描述、交流，學(xué)生理解了旋轉(zhuǎn)的基本特征。在交流表達的過程中，學(xué)生感受到平面圖形的旋轉(zhuǎn)，最終抽象成線段的旋轉(zhuǎn)，理解了只要找到通過中心點的關(guān)鍵線段，根據(jù)關(guān)鍵線段旋轉(zhuǎn)就能確定圖形旋轉(zhuǎn)后的樣子，體會到點、線、面的關(guān)聯(lián)，把操作的經(jīng)驗內(nèi)化為解決問題的能力，既有效解決了從“兩條直邊\"到“一條直邊”的困難，又進一步在表達、想象、推理中發(fā)展了空間觀念，也為后面一般三角形和梯形的旋轉(zhuǎn)畫圖作鋪墊。

（四）對比遷移，在想象中增強空間觀念

空間觀念的一個關(guān)鍵要素就是能在頭腦中對圖形或物件進行“操作”。學(xué)生有了前面實際操作實物的經(jīng)驗，以及脫離實物的表達、推理和思考，在這里完全可以通過想象和推理畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形。

出示圖5，依次畫出三角形繞 A 點按順時針旋轉(zhuǎn) 后的圖形。

反饋交流后追問：都是順時針旋轉(zhuǎn) ，為什么轉(zhuǎn)出了不同效果呢？

生：旋轉(zhuǎn)的中心不同，得到的旋轉(zhuǎn)圖形也不相同。

在這個過程中，學(xué)生通過畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，體會到旋轉(zhuǎn)中心不同，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形也不相同，理解旋轉(zhuǎn)中心點的重要性，感受數(shù)學(xué)的美妙。

師：如果繼續(xù)繞A順時針旋轉(zhuǎn)3次，最終會旋轉(zhuǎn)成一個什么圖案呢？

學(xué)生想象后用課件演示，讓學(xué)生感受到旋轉(zhuǎn)創(chuàng)造的美，鼓勵學(xué)生從不同的角度觀察圖形的變化。

師：今天我們一起研究了一些簡單圖形的旋轉(zhuǎn)，關(guān)于圖形的旋轉(zhuǎn)你還有什么疑問嗎？

生：三角形可不可以繞著三角形上的其他點或者外面的點旋轉(zhuǎn)呢？

最后課件出示房子圖（圖6）繞著平面上的一個點旋轉(zhuǎn)，進一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念，也為以后中學(xué)階段進一步學(xué)習(xí)平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)奠定基礎(chǔ)。

三、結(jié)語

空間觀念是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念，是小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何\"教學(xué)的應(yīng)有之義。小學(xué)階段是學(xué)生空間觀念發(fā)展的重要時期，在教學(xué)中尊重學(xué)生認(rèn)知方式的特點和差異，為學(xué)生提供動手操作的機會，幫助學(xué)生形成空間表象，進而發(fā)展空間觀念至關(guān)重要。

觀察和操作可以說是發(fā)展空間觀念的基礎(chǔ)，而推理和想象對于發(fā)展空間觀念相當(dāng)重要。空間觀念的發(fā)展離不開學(xué)生的觀察、操作，但僅有觀察、操作是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，更重要的是在操作過程中學(xué)會一些思考方法，操作過程中的感知、表達、推理和想象缺一不可。史寧中教授認(rèn)為：空間觀念的本質(zhì)是空間想象力。而想象離不開操作、推理，心中有理，學(xué)生的想象才有意義，空間觀念才得以進一步發(fā)展，核心素養(yǎng)也就能慢慢培養(yǎng)起來。

空間觀念不是靠一兩節(jié)課就能培養(yǎng)起來的，需要不斷積累經(jīng)驗，需要在觀察、操作等活動中獲得表象，更需要在思考、想象中進行升華。我們每一位老師在課堂教學(xué)中通過設(shè)計豐富的活動，加強學(xué)生之間、師生之間的交流，為學(xué)生搭建操作的“腳手架”，溝通觀察、思考、推理、表達之間的關(guān)系，才能支起空間想象的“登云梯”，最終實現(xiàn)空間觀念的培養(yǎng)。

參考文獻：

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[3]邢佳立.聚焦維度轉(zhuǎn)換發(fā)展空間觀念：“觀察物體\"教學(xué)實踐與思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2020（1）：38-39.

責(zé)任編輯：黃大燦