大單元視角下恒成立復習課的教學探索 南京航空航天蘇州附屬（215000）

以學科核心素養為導向的教學需要大單元的教學設計[1]，伴隨著課改的深人，大單元教學受到廣大教師的關注.大單元教學主張借助大觀念、大問題或大項目按照學習邏輯構建相對獨立且完整的學習事件，以實現整體把握教學內容，促進數學學科核心素養連續性和階段性發展，這既是學科核心素養落地的自然需求，也是課堂教學的應然追求.本文以“恒成立的綜合問題”為載體，探究大單元視角下高三數學復習課教學的實踐與思考。

1.教學案例

《恒成立的綜合問題》這一單元在復習時需要串聯四個知識點的綜合：與恒成立有關的概念辨析；函數（導數）中的恒成立問題；數列中的恒成立問題；解析幾何中的恒成立問題.復習課設計要體現出知識回顧到能力提升的目標。

1. 1 與恒成立有關的概念辨析

例1 （2022·新高考乙卷文科第16題）若 f （ x ） 是奇函數，則 $b = ＼_$

解法1 因為 由 f （ x ） （20 是奇函數得

1 時，即 ，因為上式恒成立，所以（a + 1）2e2 ，解得 當 時，即（202 ，因為上式恒成立，所以 ，無解.

綜上所述，

解法2 因為函數 為奇函數，所以其定義域 I 關于原點對稱.顯然 于是可知 當 x = - 1 時， ，從而 即 ，所以 再由 f （ 0 ） = 0 可得 當 時， ，在定義域內滿足 f （ - x ） = - f （ x ） ，從而f （ x ） 是奇函數

跟蹤訓練1（蘇教版[2]普通高中教科書·數學·必修第一冊114頁練習第8題》）判斷下列說法是否正確：

（1）若定義在 R 上的函數 f （ x ） 滿足 f （ 2 ） gt; f （ 1 ） ，則函數 f （ x ） 是 R 上的增函數；

（2）若定義在 R 上的函數 f （ x ） 滿足f（2）gt;f （ 1 ） ，則函數 f （ x ） 在 R 上不是減函數；

（3）若定義在 R 上的函數 f （ x ） 在區間 上是增函數，在區間 上也是增函數，則函數 f （ x ） 在 R 上是增函數；（4）若定義在 R 上的函數 f （ x ） 在區間 上是增函數，在區間 （ 0 ， + ∞ ） 上也是增函數，則函數 f （ x ） 在 R 上是增函數.

解函數的單調性是一個恒成立概念，以單調遞增為例：對于 ，當 時，都有函數 ，那么就稱函數 f （ x ） 在 D 上單調遞增.“任意”、“都有”這兩關鍵詞表明這是一個不等式恒成立問題，范圍限制在 D ，即單調遞增是在 D 上恒成立，這表明單調性反映的是函數的一個局部性質.因此，要保證函數單調性就必須保證在 D 上恒成立，而否定單調性，主要否定恒成立，只需要找到反例即可.所以（1）（4）錯誤，（2）（3）正確。

設計意圖 從函數的單調性概念、奇偶性概念的定義可以看出它們都是一個恒成立概念，它們的區別在于三點：（1）單調性反映的是函數在定義域某個區間上的局部性質，奇函數反映的是函數的整體性質；（2）單調性反映的是滿足一定條件下的不等式恒成立問題，而奇偶性反映的是滿足一定條件下的等式恒成立問題.（3）奇偶性反映的是一個單變量恒成立；單調性反映的是一個雙變量恒成立問題.試題的設置旨在提升學生從恒成立這一視角整體審視已學的數學概念、公式、定理的能力及感悟常用邏輯用語中的量詞與數學嚴謹性關系，在試題的解決過程中，掌握基于定義解題的一般方法，同時又能體會基于必要性成立而采用先特殊值探路再檢驗充分性這一重要方法，從而訓練學生思維的靈活性.在問題的分析與解決過程中發展學生數學抽象、邏輯推理、數學運算核心素養。

1.2 函數（導數）中的恒成立問題

在上一個關于恒成立的模塊中，主要通過對函數的基本性質，如單調性與奇偶性等的考察，讓學生體會恒成立、能成立概念，掌握用概念、定義解決恒成立問題.函數與導數中恒成立問題是進階學習的重點，也是高考數學考察的重點，所以圍繞函數與導數中恒成立問題開展理論和實踐教學也就成為高三復習課的自然需求。

例2已知函數 （其中 為常數），其圖象是曲線

（1）當 時，求函數 f （ x ） 的單調減區間；（2）設函數 f （ x ） 的導函數為 ，若存在唯一的實數 ，使得 與 同時成立，求實數 b 的取值范圍；（3）已知點 A 為曲線 C 上的動點，在點 A 處作曲線 c 的切線 與曲線 c 交于另一點 B ，在點 B 處作曲線 的切線 ，設切線 的斜率分別為 問：是否存在常數 λ ，使得 ？若存在，求出 λ 的值；若不存在，請說明理由.

解（1）（2）略；

（3）設 ，則函數在點 A 處切線方程為 ，與曲線 C ： y = f （ x ） 聯立方程組得 ，即 ，所以 （20 由題意知 若存在常數 λ ，使得 ，則 （204號 恒成立，即 恒成立，所以存在常數 λ 使得 解得

跟蹤訓練2（2024年新高考全國 卷第8題）設函數 ，若 f （ x ） ≥ 0 ，則 的最小值為（ ）.

解 f （ x ） ≥ 0 恒成立，從代數上即函數值非負，從幾何上來看，即函數 圖像上沒有點位于x 軸下方.觀察發現 y = f （ x ） 是由兩個函數 與 構成，而要保證 y = f （ x ） 函數值非負，即要求 與 同號，在幾何上即要求兩函數圖像與 x 軸交點的橫坐標相等，所以 - a = 1 - b ，即 b = a + 1 ，則 當且僅當 時，等號成立，所以 的最小值子 故選

設計意圖 函數（導數）中的恒成立問題大體可以分為等式恒成立與不等式恒成立.主要從代數與幾何兩個方面去解決.以等式恒成立問題解決為例，要善于將其等價轉化為某個變量的恒成立，繼而利用對應系數相等，建立方程并解方程.當然基于靈活性，也可以先對變量賦值，采用“特值引路”，即先尋求恒成立的必要條件，再保證充分條件，從而完成充要性證明.對于不等式恒成立則經常采用“特值引路”，但若能從幾何角度出發，即從函數圖像上思考，對于問題的解決，往往思路更清晰，過程更簡潔，計算更準確。

1.3 數列中的恒成立問題

前面研究了函數（導數）中的恒成立問題的解決方法，而數列是特殊的函數，因此，對數列中恒成立問題的研究也是自然的

例3（2021全國文科甲卷18題）記 為數列 的前 n 項和，已知 ，且數列 是等差數列，證明： 是等差數列.

析解 問題的解決關鍵在于條件與結論的理解，事實上條件是恒成立等式，所證結論也是恒成立等式，因此，只要能求出 ，則 自然得到.問題也就自然解決了.數列 是等差數列，即 1 由此看出 是一個關于 n 的恒成立等式，而由于 表達式不明確，因此，采用“特值引路”方法對 n 賦值.令 n = 1 ，則 ，所以 ，所以 ；當 n ？ 2 時，有 由 ① ② 得 ，經檢驗，當 時也滿足③ 所以 ，當 n ？ 2 時， ，所以數列 是等差數列.

跟蹤練習3（2021年浙江卷20題）已知數列 的前 n 項和為 且

（1）求數列 的通項公式；

（2）設數列 滿足 ），記 的前 n 項和為 若 對任意 n 恒成立，求實數 λ 的取值范圍.

答案 ；（2）-3≤λ≤1.

設計意圖對于題目中條件中沒有明顯恒成立字眼的題目，要善于挖掘概念、條件中蘊含的恒成立信息，譬如，例3中的等差數列概念本質上就是一個恒成立條件.恒成立問題是培養學生對數學試題中條件的分析、理解、轉化能力的一個腳手架，因為大量的數學知識中都蘊含著恒成立信息，如周期性、最值概念、基本不等式、線面垂直的概念、橢圓、雙曲線、拋物線的定義、等差數列、等比數列概念與通項公式、平面向量基本定理等等。

1.4 解析幾何中的恒成立問題

在高中數學解析幾何中經常研究定點定值問題，或者所求目標恒小于給定值等問題，本質上都屬于恒成立問題.因此自然想到將恒成立與解析幾何綜合起來的問題。

例4（2024年天津卷18題）已知橢圓 = 1 （ a gt; b gt; 0 ） 的離心率 左頂點為 A ，下頂點為 是線段 的中點，其中

（1）求橢圓方程；

（2）過點 的動直線與橢圓有兩個交點 P ， Q . 在 y 軸上是否存在點 T 使得 恒成立.若存在求出這個 T 點縱坐標的取值范圍，若不存在請說明理由.

解（1）易得橢圓方程為

（2）若過點 的動直線的斜率存在，則 可設該直線方程為 設 ， ， ， 由 可得 ，故

且 = 3+4k2，而TP = （x，1-1），（204號 ，故 （2號 ，因為 恒成立，故

（204號

解得 （204號

若過點 的動直線的斜率不存在，則 P （ 0 ， 3 ） ， Q （ 0 ， - 3 ） 或 P （ 0 ， - 3 ） ， Q （ 0 ， 3 ） ，此時需 - 3 ？ t ？ 3 ，兩者結合可得 （202

綜上，存在 使得Tp.TQ≤0恒成立.

鞏固訓練4 已知橢圓 E 的中心為坐標原點，對稱軸為 x 軸 軸，且過 兩點（1）求 E 的方程；（2）設過點 P （ 1 ， - 2 ） 的直線交 E 于 M ， N 兩點，過 M 且平行于 x 軸的直線與線段A B 交于點 T ，點 H 滿足 證明：直線 H N 過定點

解（1）易得 E 的方程為 ，所以 （20號 ① 若過點 P （ 1 ， - 2 ） 的直線斜率不存在，直線 x 代人 得 代入 A B 方程 x-2，得T（√6+3，2√） 由MT 得到 .求得 H N 方程 y = （ 2 ，過點（0，-2）.

② 若過點 P （ 1 ， - 2 ） 的直線斜率存在，設 k x - y

（20號 （20

聯立 得

，可得

聯立 $＼left＼{ { ＼begin{array} { l } { ＼displaystyle y = y _ { 1 } ， } ＼＼ { ＼displaystyle } y = ＼frac { 2 } { 3 } x - 2 ， } ＼end{array} ＼right.$ （204

可得 .可求得此時

將 （ 0 ， - 2 ） ，

代人整理得

，將 代人得

，顯然成立.

綜上，可得直線 H N 過定點（0，-2）。

設計意圖求定點、定值問題是解析幾何中常見的恒成立問題，基本的解決方法有兩種： ① 從特殊入手，求出定點、定值，再證明這個定點、定值與變量無關； ② 直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.對于求解解析幾何中的恒小于（大于）給定值問題，則需要將目標轉化為變量的函數，最后轉化為函數恒小于（大于）給定值問題.解析幾何中的恒成立問題，綜合性強，難度大，主要考察學生對問題的理解、轉化能力，并綜合了代數推理能力及計算能力，是解析幾何考查的重要領域。

2 教學啟示

教師應以數學學科核心素養為導向，引導學生從整體上把握課程，而主題、單元教學是本次課改強調的一個重點，因此，大單元教學設計時要探索通過怎樣的途徑能夠引發學生思考，讓學生在掌握知識技能的同時，感悟知識的本質，實現教育價值.教師不能照本宣科地教教材，特別是在高三復習階段，要從課時教學設計走出來，將關聯性強、邏輯性連貫的知識凝練和提升，將其轉化、重組為有利于發展學生數學核心素養的教學大單元所建構的大單元教學，從教學內容上要體現數學的整體性，主要體現在以下三點：

（1）同一主題內容中體現的數學整體性，主要包括一個內容的不同認識層次、不同角度的認識之間內在的一致性、關聯性，以及認識不同方面內容所采用的類似過程與思想方法；（2）整合具有內在聯系的不同內容所體現的數學整體性；（3）不同數學思想與方法之間相互融合，形成具有統一性、內在一致性的數學一般觀念，這是最高層面上體現的數學整體性，其統攝性最強、適用性最廣。

所建構的大單元教學，在編制單元目標時教師要依據學習結果分類的理論為教學目標定性，并據此陳述目標.無論陳述的是單元目標還是課時目標，教師都必須注意：（1）目標陳述的必須是學生的學習結果（即行為的主體必須是學生）；（2）目標陳述必須明確、具體，最好用“學生能夠（或學會） 動詞 名詞”的方式予以陳述；（3）應注意單元教學目標與課時教學目標的內在一致性，能闡述提出教學目標的依據，能體現“分析”的思維要素，（4）教學目標的具體表述要體現數學學科核心素養融人教學內容和教學過程。

所建構的大單元教學，在教學過程設計上主要以“問題串”方式呈現，而且“問題串”就是整節課的教學主線.所提出的問題應當注意適切性，主要衡量標準為：（1）反映內容的本質；（2）在學生思維最近發展區；（3）具有可發展性，使學生能從模仿過渡到自主提問。

課程標準、教材屬于“理想課程”，需要通過課堂教學才能轉化為數學育人的行動.課堂教學是落實落實核心素養的關鍵，大單元教學使得課堂教學不僅適應不同層次的學生，同時基于大問題、大任務引導幫助學生樹立整體性、結構化觀念，提升應對復雜情境、綜合情境分析能力，感悟數學與現實生活聯系，從而培養學生數學眼光分析、與解決問題能力，發展數學學科核心素養，發揮數學學科的育人功能。

參考文獻

[1］任明滿.大單元教學：歷史脈絡、研究現狀及路徑選擇[J].課程·教材·教法，2020（42）：97.

[2]單博，李善良.普通高中教科書·數學（必修第一冊）[M].南京：鳳凰教育出版社，2020.