促進(jìn)數(shù)學(xué)思維自然生長的問題驅(qū)動教學(xué)研究

著名的數(shù)學(xué)教育家斯托利亞指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)，而不僅是數(shù)學(xué)活動的結(jié)果數(shù)學(xué)知識的教學(xué)[.”所以，教師應(yīng)該以把握數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，進(jìn)行深度思考，整合教材，遵循學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維習(xí)慣，設(shè)計一系列的教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生積極參與，不僅學(xué)習(xí)知識，同時提升數(shù)學(xué)思維.近幾年新高考數(shù)學(xué)試卷基于高考評價體系，切實貫徹“低起點，多層次，高落差”的高考命題調(diào)控策略，引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)的導(dǎo)向與高考選拔的功能，切實把握試卷的區(qū)分度、信度與效度2.隨著新一輪課改的不斷推進(jìn)，高考命題深化基礎(chǔ)性的考查，引導(dǎo)教學(xué)回歸教材，回歸基本概念，這時數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)顯得尤為重要.在高三一輪復(fù)習(xí)教學(xué)過程中，如何以問題為驅(qū)動，有效設(shè)計“問題鏈”，促進(jìn)學(xué)生深度思考，進(jìn)而促進(jìn)數(shù)學(xué)思維自然生成，顯得尤為重要.筆者以“函數(shù)的概念及其表示方法”一輪復(fù)習(xí)教學(xué)為例，談?wù)剮c認(rèn)識。

一、學(xué)習(xí)內(nèi)容分析

本節(jié)課復(fù)習(xí)的內(nèi)容是函數(shù)的概念及其表示方法，包含判斷一個對應(yīng)是否為函數(shù)，判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，求函數(shù)的定義域，求函數(shù)的解析式等學(xué)習(xí)內(nèi)容.在高一時，學(xué)生已經(jīng)通過新授課學(xué)習(xí)了以上內(nèi)容，但是由于間隔時間長，而且函數(shù)比較抽象，學(xué)生對函數(shù)只有零散知識的記憶，沒有形成知識網(wǎng)絡(luò)，對函數(shù)沒有深層次的理解，而解決這些問題最根本的還是函數(shù)的概念，所以本節(jié)課的重點和難點均為函數(shù)概念的理解與應(yīng)用。

二、復(fù)習(xí)目標(biāo)設(shè)置

（1）從具體實例中抽象出函數(shù)的特征，并能用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)，理解函數(shù)的概念，提升數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)；（2）能判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，會求具體函數(shù)和抽象函數(shù)的定義域，會求函數(shù)的解析式，并總結(jié)求函數(shù)解析式的方法，提升總結(jié)歸納能力；（3）通過已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗，自主探究如何求函數(shù)的解析式，提高解決數(shù)學(xué)問題能力，發(fā)展邏輯推理等核心素養(yǎng)；（4）回顧研究函數(shù)的過程，進(jìn)一步體會學(xué)習(xí)基本概念的一般方法，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)能力提升，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)。

三、教學(xué)過程設(shè)計

1．創(chuàng)設(shè)情境，抽象概念

問題1 下列圖象中，表示函數(shù)關(guān)系 y = f （ x ） 的是（ ）.

師：我們研究了很多初等函數(shù)模型，可讓我們判斷一個對應(yīng)是否為函數(shù)，卻出現(xiàn)的了問題.本題考查的是函數(shù)的概念，我們一起來回憶一下什么是函數(shù).在八年級時，我們就接觸函數(shù)的概念：在某變化過程中，存在兩個變量 x ， y ，對于 x 在某個范圍內(nèi)取一個值， y 隨著 x 的變化而變化，那么我們就稱 y 是 x 的函數(shù).到了高中階段，我們先學(xué)習(xí)了集合的概念，在集合的基礎(chǔ)上，我們又重新給函數(shù)做了定義：設(shè) A ， B 是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系 ，使對于集合A中的任意一個數(shù) x ，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) f （ x ） 和它對應(yīng)，那么就稱 為從集合 A 到集合 B 的一個函數(shù).記作： y = f （ x ） ？ x ∈ A . 其中 x 叫做自變量， 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定義域；與 x 的值相對應(yīng)的 y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 叫做函數(shù)的值域.如果按照函數(shù)的概念，我們很容易判斷出來選 D 選項

子問題1-1我們看到 B 選項為圓，聯(lián)想到圓的方程，那么方程和函數(shù)之間是什么關(guān)系？試舉例說明.

生 ：函數(shù)構(gòu)成的集合應(yīng)該是方程構(gòu)成的集合的子集.比如 這個可以理解為二次函數(shù)，也可以理解為拋物線的方程，而 卻是曲線的方程，不是函數(shù)。

子問題1-2根據(jù)函數(shù)的概念，函數(shù)有三個要素，即定義域A，對應(yīng)法則 f 和值域 C . 那么，值域 C 和概念中的集合 B 之間什么關(guān)系？

生 . 2 ：任取一個函數(shù)值 y 均在集合 B 中，那么值域C 應(yīng)該是集合 B 的子集

設(shè)計意圖 通過問題回顧函數(shù)的概念，一方面可加強學(xué)生對函數(shù)的概念的理解，另一方面可幫助學(xué)生學(xué)會從概念出發(fā)解決問題.一輪復(fù)習(xí)是建立在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)完高中所有知識后進(jìn)行的，在這里將函數(shù)概念與曲線的方程作對比，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，學(xué)會用聯(lián)系的眼光看問題.

2.問題驅(qū)動，深入探究

問題2 （多選）下列各組函數(shù)中是同一個函數(shù)的是（ ）。

A. 與 B f （ x ） = x - 1 與 （204號 C. 與 D. 與

生 B 選項定義域不同， D 選項值域不同，所以 AC.

子問題2-1 我們應(yīng)該如何判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)？

生 . 4 ：看定義域和值域是否相同。

生 . 5 ：我認(rèn)為生 . 4 說得不對，如函數(shù) 和 y = 的定義域和值域都相同，但解析式不同，不是同一個函數(shù).我認(rèn)為應(yīng)該看定義域和對應(yīng)法則即可.因為當(dāng)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定。

設(shè)計意圖 通過問題解決可加深學(xué)生對函數(shù)概念及三要素的理解，也為研究三要素作知識鋪墊.對于一般性的結(jié)論，往往在理解上學(xué)生會出現(xiàn)一定的問題，本節(jié)課多次應(yīng)用舉特例的方式，幫助學(xué)生理解問題，分析問題和解決問題，體現(xiàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法。

師：我們已經(jīng)知道了函數(shù)有三個要素，現(xiàn)在我們先從定義域開始研究，

問題3 函數(shù) 的定義域是一 ）.

A.（0，1）U（1，4] B. （0，4] C. （0，1） D.

師：有部分學(xué)生選擇 B ，出現(xiàn)這個問題的原因是沒有注意到 ，正確答案為 A

子問題3-1 給出一個具體函數(shù)，我們該如何求定義域？

生 ：只要保證函數(shù)有意義就可以.

子問題3-2 分別寫出以下式子有意義的條件： （其中 a gt; 0 ，且 ≠ 1 ）.

子問題3-3 有意義嗎？如果有意義等于多少？

設(shè)計意圖 通過對求定義域可能出現(xiàn)的表達(dá)式進(jìn)行總結(jié)，加強學(xué)生對這類式子的認(rèn)識，出現(xiàn)即想到其滿足的條件.也可以提升學(xué)生總結(jié)歸納的意識.通過 成立條件的的追問，幫助學(xué)生理解 的意義，熟悉指數(shù)冪的運算，激發(fā)學(xué)生的探究精神

問題4 （2021·安慶期中）已知函數(shù)

的定義域是[-1，1]，則函數(shù) 的定義域是（ ）

A.[-1，1] C.[1，3]D.[√3，9]子問題4-1 兩個函數(shù)中的 x 是同一個 x 嗎？

子問題4-2 兩個函數(shù)的聯(lián)系是什么？

子問題4-3 定義域是什么的范圍？

設(shè)計意圖 通過以上3個子問題，給學(xué)生理解復(fù)合函數(shù)的定義域問題鋪設(shè)臺階，逐步遞進(jìn)，進(jìn)而幫助學(xué)生理解復(fù)合函數(shù)求定義域只需解決兩個問題即可，一是括號內(nèi)整體的范圍相同，二是定義域為自變量 x 的取值集合.不僅如此，通過對問題解決過程分析，提升學(xué)習(xí)分析問題、解決問題的能力。

問題5 （2021·石家莊調(diào)研）若函數(shù) y = 的定義域為 R ，則實數(shù) a 的取值范圍 是（ ）。

子問題5-1 這個問題應(yīng)該如何轉(zhuǎn)化？

生 ：問題可以轉(zhuǎn)化為 恒成立

子問題5-2 這個不等式稱為“類二次不等式”，如何理解“類”？

生。：類是像的意思，可能是二次不等式，也不能不是二次不等式，與 是否為0有關(guān)，所以本題應(yīng)該分類討論。

設(shè)計意圖 一要會翻譯已知定義域，二要會處理有關(guān)“類二次不等式”的問題，要有分類討論的意識，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.

師：現(xiàn)在定義域我們已經(jīng)研究結(jié)束了，緊接著是對應(yīng)法則，如何求解析式，這里面的問題比較多，我們一一來看.

問題6 根據(jù)下列條件求各函數(shù)的解析式

（1）已知 f （ x ） 是一次函數(shù)，且滿足 3 f （ x + 1 ） 1f （ x ） = 2 x + 9 ，求 f （ x ） 的解析式；

（2）已知 ，求 f （ x ） 的解析式；

（3）已知 ，求 f （ x ） 的解 析式.

師：第一題基本沒有問題，應(yīng)該使用的是待定系數(shù)法；第二題要求 f （ x ） ，括號內(nèi)是 ，該怎么辦？

生 ：可以換元，令 ，則 $x = ＼left（ t - ＼hat ＼right.$ ，所以 ，即

師：說得很好！通過換元解決括號內(nèi)復(fù)雜的整體，還注意到了換元后 的范圍，非常嚴(yán)謹(jǐn)

子問題6-1 已知 x2，求f （ x ） 的解析式。

師：第三題求 f （ x ） 的解析式，即用 x 表示 f （ x ） ：這里面不需要 ，而以上等式對任意 x 都成立，可以對 x 賦值.可以怎么辦？

生 ：可以用 代替 x ，得到 -2，只要將 消掉即可.

子問題6-2 已知 ，求f （ x ） 的解析式.

子問題6-3 通過以上五題，你能總結(jié)求函數(shù)解析式有哪些方法？

設(shè)計意圖 通過對問題的變式，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固換元法（配湊法）、解方程組法求解函數(shù)解析式，著重強調(diào)換元要寫換元后t的范圍，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神.通過學(xué)生。

3．總結(jié)概括，形成經(jīng)驗

問題7本節(jié)課我們研究了哪些內(nèi)容？是如何研究的？還有哪些問題可以研究？

設(shè)計意圖 通過回顧研究函數(shù)的全過程，使學(xué)生進(jìn)一步體會研究數(shù)學(xué)概念的一般方法，形成一般性思維策略，幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).通過提問題還有哪些問題可以研究，再聚焦“核心知識”，同時具有一定的發(fā)散性，促進(jìn)學(xué)生對函數(shù)深度思考。

四、有關(guān)一輪復(fù)習(xí)課堂有效性的幾點思考

1.情境預(yù)設(shè)，促進(jìn)問題生成，幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、公式、性質(zhì)等的理解

情境是外部問題與內(nèi)部知識經(jīng)驗條件的適當(dāng)沖突，使之能引起最強烈的思考動機和最佳的思維活動的一種學(xué)習(xí)驅(qū)動氛圍[3].一個好的情境是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果好的前提條件，一個好的情境要與本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容緊密相連，一個好的情境可以促進(jìn)問題生成，一個好的情境可以激發(fā)學(xué)生探究的欲望，只有這樣能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維自然生成.在本課例中，通過讓學(xué)生觀察幾個常見的曲線，拋出哪個是函數(shù)圖象的問題，激發(fā)學(xué)生回憶函數(shù)的概念.而選項 A ， B 是學(xué)生熟知的解析幾何的內(nèi)容：拋物線和圓.學(xué)生自然會聯(lián)想到方程和函數(shù)之間又是什么關(guān)系，這樣層層深人提問，不僅能加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解，而且可以讓學(xué)生建立知識網(wǎng)絡(luò)，健全知識體系，這樣的情境能夠不斷的促進(jìn)數(shù)學(xué)思維持續(xù)產(chǎn)生，促進(jìn)問題生成，為后面的深入研究作知識和思維鋪墊。

2.問題探究，設(shè)計“問題鏈”，促進(jìn)學(xué)生深度思考，優(yōu)化思維品質(zhì)

合理的“問題鏈”，不僅可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，而且可以引發(fā)學(xué)生的思考.為了能夠使探究過程有效進(jìn)行，要找到“問題鏈”的出發(fā)點和落腳點，精心設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，問題與問題之前要注意銜接自然，讓學(xué)生在思考過程中體驗有無到有，由表及里，由淺入深，由特殊到一般的活動經(jīng)驗，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維自然、持續(xù)的生長.在本課例中，總結(jié)完函數(shù)的三要素，自然要開始一一研究，而抽象函數(shù)定義域的問題是一個研究的難點，通過提問如何求具體函數(shù)的定義域，讓學(xué)生理解定義域的本質(zhì)意義，緊接著給出抽象函數(shù)的定義域問題，有了具體函數(shù)的定義域的研究經(jīng)驗，抽象函數(shù)定義域的求解過程就容易理解了.在研究如何求函數(shù)解析式的問題時，由前兩個問題，可以讓學(xué)生很自然地想到求解析式就是找函數(shù)值與自變量之間的等量關(guān)系，第三個問題中出現(xiàn) ，學(xué)生自然會想到將 消掉，進(jìn)而聯(lián)想到再建立一個方程，實現(xiàn)消元目的.通過以上的數(shù)學(xué)探究，促進(jìn)了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的必由之路.在數(shù)學(xué)探究中，有一些基本策略，如類比發(fā)現(xiàn)、由特殊到一般，轉(zhuǎn)化與化歸等，在日常教學(xué)中，要加以滲透，潛移默化中學(xué)生的思維得以優(yōu)化。

3.回顧總結(jié)，促進(jìn)反思，完善知識結(jié)構(gòu)，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗

一輪復(fù)習(xí)的重要任務(wù)之一是幫助學(xué)生建立完善的知識體系，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).為了達(dá)成這一目標(biāo)，不僅要通過問題將知識網(wǎng)絡(luò)建立起來，而且要在課堂結(jié)束之前，預(yù)留一定的時間，讓學(xué)生去思考，去總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，是如何研究的，如何解決某一類問題，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，讓學(xué)生有一定的獲得感.有反思總結(jié)，就有思維的發(fā)生.在本課例中，讓學(xué)生總結(jié)了求函數(shù)解析式的一般方法，今后學(xué)生在遇到該類問題時，就有法可循了，做到心中有數(shù)，對該內(nèi)容的認(rèn)識也會更加清晰，提高一輪復(fù)習(xí)的有效性。

總之，在一輪復(fù)習(xí)中教師要善于結(jié)合教學(xué)實際，合理設(shè)計“問題鏈”，以問題為驅(qū)動，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下積極探究、積極思考，促進(jìn)學(xué)生思維的自然生長。

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