立足本質(zhì) 揭示內(nèi)涵 提升素養(yǎng)

曲線系方程是解析幾何中一個(gè)重要內(nèi)容，它不僅涉及到曲線的幾何性質(zhì)，也體現(xiàn)了變換思想和整體處理的解題策略.在目前的高中數(shù)學(xué)教材中，明確提出的曲線系只有共交點(diǎn)的直線系，其他的曲線系（平行直線系、垂直直線系、共交點(diǎn)的圓系等）雖沒有直接呈現(xiàn)，但在習(xí)題中都有涉及.因此曲線系方程的教學(xué)是很有必要的.然而，關(guān)于曲線系方程的資料通常都是直接告知曲線系方程的構(gòu)建，應(yīng)用中如何巧解、簡解，并沒有講清其中的緣由，導(dǎo)致學(xué)生理解起來有難度，不明所以，無法靈活應(yīng)用。

任念兵認(rèn)為，基于“運(yùn)算”視角進(jìn)行高中數(shù)學(xué)教學(xué)的中觀設(shè)計(jì)，注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)在邏輯、建構(gòu)起數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，凸顯了數(shù)學(xué)學(xué)科研究方法和研究思路的重要價(jià)值，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)和長遠(yuǎn)發(fā)展提供了知識(shí)準(zhǔn)備和方法論支持，是在數(shù)學(xué)教學(xué)中謀求學(xué)生長期利益的有益探索.[］對(duì)于“共交點(diǎn)曲線系方程”的教學(xué)，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)運(yùn)算是構(gòu)建曲線系方程的關(guān)鍵，因此整合教材及高考相關(guān)資源，從數(shù)學(xué)運(yùn)算的視角設(shè)計(jì)一節(jié)高二微專題復(fù)習(xí)課“共交點(diǎn)曲線系方程的理解與應(yīng)用”，幫助學(xué)生更好地掌握曲線系這一重要數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及解決實(shí)際問題的能力是很重要的。

1.教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1創(chuàng)境導(dǎo)學(xué)，感知共交點(diǎn)曲線系方程背景 請(qǐng)同學(xué)們嘗試求解例1.

例1求圓心在直線 x - y - 4 = 0 上，并且經(jīng)過圓 與圓 的交點(diǎn)的圓 c 的方程師生活動(dòng)：學(xué)生求解，教師展示學(xué)生的結(jié)果

生1：設(shè)圓 和圓 相交于點(diǎn) 由 得 （20號(hào) .可得弦 A B 的垂直平分線方程為 x + y + 3 = 0

將 x + y + 3 = 0 與 x - y - 4 = 0 聯(lián)立，解得 所求圓心 c 的坐標(biāo)是 故 ，則所求圓的方程為 - 3 2 = 0 .

問題1 以上的求解過程較為繁瑣，是否有更好的解法呢？

生2：由題意可設(shè)圓 的方程為 +λ（x2+y2+6y-28）=0，即x2+2+1+ 其圓心坐標(biāo)是 因?yàn)閳A心在直線 x - y - 4 = 0 上，所以 ，解得 λ = - 7 . 所以所求圓的方程為

設(shè)計(jì)意圖 本題為2019人教A版選擇性必修一P98習(xí)題2.5中綜合運(yùn)用欄目第8題.通過本題讓學(xué)生感受到利用共交點(diǎn)曲線系方程求解問題的便捷性，并初步感知共交點(diǎn)曲線系方程的形式。

1.2 引領(lǐng)探究，抽象共交點(diǎn)曲線系方程特征

問題2對(duì)比解法一、解法二，我們可以感受解法二在解決問題上帶來的簡便.解法二的關(guān)鍵在于將經(jīng)過圓 與圓 6 y - 2 8 = 0 的交點(diǎn)的圓 C 方程表示為 ，為什么可以這樣表示，你能說明其中的道理嗎？

預(yù)設(shè)：該方程可整理成形如 F = 0 ，因此可表示圓，同時(shí)交點(diǎn)坐標(biāo)滿足該方程，故在該圓上。

問題3 你能給出一般性的結(jié)論嗎？即經(jīng)過兩圓 和 交點(diǎn)的圓可以怎么表示？

預(yù)設(shè) ： f （ x ， y ） + λ g （ x ， y ） = 0 . （2

追問1：是否可以表示經(jīng)過交點(diǎn)的所有圓？如果不行，應(yīng)如何表示所有圓的方程呢？

預(yù)設(shè) ： f （ x ， y ） + λ g （ x ， y ） = 0 表示經(jīng)過交點(diǎn)且不包含 的圓，如果是 λ f （ x ， y ） + g （ x ， y ） = 0 則不包含 ．若要包含 ，可以表示為 ，其中 λ ， μ 不同時(shí)為0.

追問2：若對(duì)任意的曲線 和 ： 不同時(shí)為0）是否也可以表示所有經(jīng)過 與 交點(diǎn)的曲線呢？

預(yù)設(shè)：上述結(jié)論對(duì)任意的曲線都是成立的

問題4上述方程可以看作對(duì)曲線 方程進(jìn)行“加法”，得到的方程表示過 公共點(diǎn)的曲線.那么作乘法運(yùn)算會(huì)得到什么呢？例如（ 2 x - 3 y + 1 0 ） （ 3 x + 4 y - 2 ） = 0 ，該方程表示什么呢？

追問1：從代數(shù)的視角，也就是方程的形式上看，這是什么方程？

生：二元二次方程.

追問2：從幾何的視角，它表示的圖形是什么呢？

生：兩條直線（所有的點(diǎn)）。

追問3：也就是我們對(duì)任意的兩個(gè)曲線 的方程作乘法會(huì)得到什么圖形呢？

生：曲線 的全體（所有的點(diǎn)）。

問題5我們對(duì)曲線 的方程分別作“加法”“乘法”得到不同的方程，表示不同的圖形，你怎么理解這里的“加法”、“乘法”呢？

追問：圖形是點(diǎn)的集合，你可以從集合的角度去理解嗎？

設(shè)計(jì)意圖 通過對(duì)共交點(diǎn)的圓系方程的剖析，推廣到一般情形的共交點(diǎn)曲線系方程的構(gòu)建，引導(dǎo)學(xué)生注意到方程的形式是兩種曲線方程“加”的結(jié)果，聯(lián)想到“乘”結(jié)果的意義，同時(shí)理解其本質(zhì)是兩種曲線點(diǎn)集的運(yùn)算，感悟特殊到一般的思維方式，培養(yǎng)聯(lián)系的觀點(diǎn)理解數(shù)學(xué)。

1.3 激發(fā)體悟，概括共交點(diǎn)曲線系方程要義

問題6在上述探究過程中，我們對(duì)兩條曲線 和 作不同的運(yùn)算得到不同性質(zhì)的曲線，你能歸納一下結(jié)論嗎？

預(yù)設(shè)：結(jié)論 不同時(shí)為 0 ） ？ 經(jīng)過 與 交點(diǎn)的曲線的集合.

結(jié)論 與 上點(diǎn)的 集合.

問題7結(jié)論 ① 揭示了可以由兩條曲線來生成過它們公共點(diǎn)的所有曲線，這個(gè)結(jié)論與我們學(xué)過的哪個(gè)定理很相像呢？我們?cè)趺蠢斫膺@個(gè)結(jié)論呢？

預(yù)設(shè)：平面向量基本定理.要利用曲線系解決問題，要先找到生成曲線系的兩條“基曲線”。

預(yù)設(shè)：“加法” “交集”，“乘法” “并集”。

問題8 現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們完成下表中常見二次曲線系方程的構(gòu)建。

追問：若直線 與二次曲線 都有交點(diǎn)，則經(jīng)過這些交點(diǎn)的二次曲線方程應(yīng)如何表示？

預(yù)設(shè)：

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生將探究的結(jié)果進(jìn)行梳理，明確共交點(diǎn)曲線系方程的表達(dá)，意識(shí)到運(yùn)算在構(gòu)建曲線系中的重要性，通過追問深化學(xué)生對(duì)“加”“乘”運(yùn)算的理解.在問題7中進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生將共交點(diǎn)曲線系方程與平面向量基本定理聯(lián)系起來，讓學(xué)生感受到建立曲線系方程的過程與平面向量問題是類似的，需要先找到兩條“基曲線”，為后面例2的求解做好鋪墊.通過例8的追問深化學(xué)生對(duì)“加”“乘”運(yùn)算在構(gòu)建曲線系方程過程中的作用.在這一過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)得到了提升。

1.4 促使內(nèi)化，辨析共交點(diǎn)曲線系方程內(nèi)涵

例2求與圓 相切于點(diǎn) P （ 3 ， 6 ） 且經(jīng)過點(diǎn) Q （ 5 ， 6 ） 的圓 的方程.

問題9 本題中有共交點(diǎn)的曲線嗎？兩條“基曲線”是哪兩條？

預(yù)設(shè)：角度1，切線與已知圓 共交點(diǎn)；角度2， 點(diǎn)圓 N 與圓 共交點(diǎn).

因此可以得到如下兩種解法：

解法1與圓相切于點(diǎn) P （ 3 ， 6 ） 的切線方程為 x + 2 y - 1 5 = 0 ，故可設(shè)所求的圓系方程為 - 8 y + 1 5 + λ （ x + 2 y - 1 5 ） = 0 ，將點(diǎn) Q （ 5 ， 6 ） 代入得 ，故所求圓的方程是

解法2切點(diǎn) P （ 3 ， 6 ） 在已知圓上，將它視為“點(diǎn)圓”： ，故建立圓系方程 將點(diǎn) Q （ 5 ， 6 ） 的坐標(biāo)代入方程，解得 λ = - 2 ，故所求的圓的方程為

設(shè)計(jì)意圖運(yùn)用共交點(diǎn)曲線系方程解決問題的難點(diǎn)是確定“基曲線”.兩條中有一條是顯然的（已知圓），而另一條是隱藏的，學(xué)生需要根據(jù)圖形及對(duì)點(diǎn)的認(rèn)知去確定另一條基曲線.通過本題引領(lǐng)學(xué)生體悟到具體的問題模型，明確共交點(diǎn)曲線系方程解決問題的步驟和關(guān)鍵點(diǎn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

1.5 引導(dǎo)應(yīng)用，深化共交點(diǎn)曲線系方程理解

例3 （2014年高考全國大綱卷·理21節(jié)選）已知拋物線 的焦點(diǎn)為 F ，過 F 的直線 l 與c 相交于 兩點(diǎn)，若 A B 的垂直平分線 與 c 相交于 M ， N 兩點(diǎn)，且 A ， M ， B ， N 四點(diǎn)在同一圓上，求 l 的方程.

解析設(shè) ，代人 ，得 ，所以 ，故 A B 的中點(diǎn)坐標(biāo) .于是 的方程為 y ，過 A ， M ， B ， N 四點(diǎn)的曲線可設(shè)為 為參數(shù)） .因?yàn)?A ， M ， B ， N N 四點(diǎn)在同一圓上，則方程 中不含 x y 的項(xiàng)，所以

綜上，直線 的方程為 x + y - 1 = 0 或 x - y -

問題10 你能從知識(shí)、思想和方法上談?wù)勀愕氖斋@嗎？

設(shè)計(jì)意圖深化對(duì)“交點(diǎn)”引發(fā)的曲線系方程的理解，并引導(dǎo)學(xué)生梳理本節(jié)的知識(shí)、思想和方法，切實(shí)有效地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

2.教學(xué)反思

2.1 把握本質(zhì)，理解數(shù)學(xué)提出，數(shù)學(xué)教學(xué)要做到“三個(gè)理解”：理解數(shù)學(xué)，理解教學(xué)，理解學(xué)生，其中首要是理解數(shù)學(xué).而要理解數(shù)學(xué)，核心就是把握數(shù)學(xué)本質(zhì).在教學(xué)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生厘清知識(shí)來龍去脈，深刻剖析概念內(nèi)涵，準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)思想，并科學(xué)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)方法.盡管曲線系方程的相關(guān)資料頗為豐富，但它們都忽略了對(duì)概念本質(zhì)的闡釋.因此，本課題的教學(xué)重難點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟曲線系方程的內(nèi)在本質(zhì)代數(shù)運(yùn)算是發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含規(guī)律性的基本方法，更是構(gòu)建客觀規(guī)律的關(guān)鍵途徑.曲線系方程本質(zhì)上描述的是點(diǎn)集之間關(guān)系與運(yùn)算，這種關(guān)系與運(yùn)算在方程中以“加”“減”運(yùn)算呈現(xiàn).當(dāng)學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)和理解到這一點(diǎn)時(shí)，那么在實(shí)際問題中就能夠根據(jù)問題的具體情境構(gòu)建并應(yīng)用適當(dāng)?shù)那€系方程.通過這一過程，學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算意義的理解，感受數(shù)學(xué)運(yùn)算的強(qiáng)大力量，消減數(shù)學(xué)運(yùn)算的困惑，感受數(shù)學(xué)運(yùn)算的成功體驗(yàn)，積累數(shù)學(xué)運(yùn)算活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的信心，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，形成數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

知識(shí)本不是孤立存在的，任何知識(shí)只有與其他相關(guān)知識(shí)處于廣泛的聯(lián)系中，它的價(jià)值和意義才能得到更好的體現(xiàn).通過適當(dāng)?shù)穆?lián)想，能夠喚起學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的加速認(rèn)識(shí)，同時(shí)也能夠?qū)ξ粗獌?nèi)容通過現(xiàn)有的認(rèn)知過程和經(jīng)驗(yàn)，類比推理出知識(shí)脈絡(luò)或解題思路，從而理清知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系.[2]當(dāng)學(xué)生了解了共交點(diǎn)曲線系的生成方式，教師不應(yīng)急于給出習(xí)題讓學(xué)生應(yīng)用，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)其生成的方式及形式，感受其內(nèi)在邏輯.當(dāng)學(xué)生聯(lián)想發(fā)現(xiàn)共交點(diǎn)曲線系與平面向量基本定理的邏輯相似性，就能深化對(duì)共交點(diǎn)曲線系的認(rèn)知．一旦學(xué)生具備了這種“類比聯(lián)想”的數(shù)學(xué)思維，就能更好地掌握數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，深人領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值.這樣，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)便能在課堂上真正生根發(fā)芽，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中才能獲得更深層次的理解和成長。

參考文獻(xiàn)

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[2]唐俊濤.數(shù)學(xué)聯(lián)想在課堂教學(xué)中的若干思考[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2019（03）：4-7.