一題多解擴思路，透過現象巧證明

涉及數列不等式的證明及其綜合應用問題，往往巧妙交匯并融合數列與函數、數列與不等式等相關知識，知識交匯融合性大，數學思維跨度大，實際解答與應用時需要有較高的證明技巧與方法策略，充滿數學知識性、思維方法性、應用能力性和綜合挑戰性，能比較全面而綜合地考查學生的“四基”與“四能”，以及數學關鍵能力等，一直是高考數列壓軸題及各級各類競賽試題命題的重要素材與考查內容，倍受各方關注。

實際判斷或證明數列不等式問題時，可以從多視角切人，剖析題目條件中數列的遞推關系式、數列不等式等的結構特征與組成形式，抓住代數式或不等式等方面的規律特征進行恰當恒等變形與化歸轉化，結合相關的數學思維方式加以巧思妙證。

1.問題呈現

題目（2025年1月八省聯考試卷·16）已知數列 ? 中， ?

（1）證明：數列 ? 為等比數列；

（2）求 ? 的通項公式；

（3）令 ? 證明： ?

此題以一個確定首項及已知數列遞推關系式為問題場景，通過三個小問題的設置，層層遞進，先證明數列 ? 為等比數列；在此基礎上，進而確定數列 ? 的通項公式；并結合所求的數列通項公式來構建一個新的數列 ? ？？n+1，進而證明數列不等式的成立問題。

2.問題破解

問題求解的難點在于第三小問，涉及數列不等式的判斷與證明.其證明的關鍵是抓住數列的結構特征以及不等式的基本性質，從不同思維視角加以巧妙放縮處理，或通過不等式性質利用放縮法或比較法，借助作差法、作商法以及不等式性質法等來應用；或通過函數性質利用函數法，抓住函數的單調性來實現問題的突破等.不同的數學思維視角切入與應用，都可以實現數列不等式的巧妙轉化與證明。

解析 （1）因為 ? 所以中? 所以 ? ? ，又 ? ，則 ? 所以數列? 為首項與公比均為 ? 的等比數列.

（2）由（1）可知 ? ，所以 ? ? 所以 ? ，即為數列 ? 的通項公式.

（3）方法1 （作差法）由（2）可知 ? ? 所以 ? ? 為 ?

以 ? ；又由于 ? ，所以 ? 3+2-2+2lt;1.故bn

點評證明數列不等式成立，回歸不等式的內涵，利用作差比較法來處理，是解決此類問題時的一種基本技巧方法，也是解決數列不等式的判斷或證明時的一種“通性通法”。

方法2 （作商法）由（2）可知 ? 以 ? 由于 n （2號? ，則知 n + 1 ？ 2 ，可得 ? （204號gt; 0 ，則有 ? ；又 ? ，所以 ? （20? ，所以 ? 作商可得 ? （204號 ? ，所以 ? .故? 成立.

點評類比作差比較法，作商比較法也是判斷或證明數列不等式問題時比較常用的另一種基本技巧方法，是解決不為零的數列不等式的判斷或證明時的另一種“通性通法”。

方法3 （不等式性質法）由 ? 可得 ? 即 ? ，則有 ? 所以 ? ? .又由于 ? ，? ，所以 ? gt;0，則有αn+1 ? ? ，所以 ? lt;1；又an+1 ? 可得 ? 中（20號 ? 即 ? 故 ? lt; 1 成立.

點評借助題設條件中的數列的遞推關系式，利用遞推關系式的恒等變形與轉化，結合不等式的基本性質加以分析與處理，可以直接跳過第（2）小問中數列 ? 的通項公式加以分析與推理.借助不等式性質法應用時，通過數列的遞推關系式，多寫出相關的式子與關系式，可以在一定程度上加以清晰分析與判斷，給問題的進一步推理與分析指明方向。

方法4（函數性質法1）由（2）可知 ? ? 則有 ? ? ? 由于? ，則知 n + 1 ？ 2 ，所以 ? 易知函數 ? 在 （ 0 ， + ∞ ） 上單調遞減，則有函數 ? 在 （ 0 ， + ∞ ） 上單調遞增，所以 ? ? 在 （ 0 ， + ∞ ） 上單調遞增，所以（20 ? ；又由于當 n + ∞ 時， ? ，則知? ，所以 ? 故 ? 成立.

方法5 （函數性質法2）由（2）可知 ? ? an+1 （204號 ? 所以bn 1 二（20號 = Qn? 由于 ? ，3? ，可知 ? ；易知函數 ? 在 （ 0 ， + ∞ ） 上單調遞增，則有函數 ? 12在 （ 0 ， + ∞ ）上單調遞增，所以 ? ? 在 （ 0 ， + ∞ ） 上單調遞增，所以 ? ? .故 ? 成立.

點評回歸數列的函數性本質，借助函數的基本性質（這里利用函數的單調性）來判斷與證明數列不等式的成立問題，是解決此類問題的一種基本技巧方法，是解決數列不等式的判斷或證明時的一種\"巧技妙法”。

3.變式拓展

變式 （2025屆杭州市部分學校高三（上）期末試題）已知數列 ? 中， ?

（1）證明：數列 ? --1}為等比數列；（2）求 ? 的通項公式；（3）令 ? 證明： ? ?

解析 （1）因為 ? 所以? 所以 ? ? ，又 ? 則 ? ? 所以數列 ? 為首項與公比均為 ? 的等比數列.

（2）由（1）可知 ? ? ，所以 ? 所以 ? 3\"+1即為數列|a}的通項公式.

（3）由（2）可知 ? 所以 ? ? 所以 ? ? ?

4.教學啟示

4.1基于數列本質，合理交匯融合

數列解答題中，往往基于數列的基本概念、數列的遞推關系式，以及兩類特殊數列（等差數列或等比數列）的場景創造來設置，巧妙借助數列與函數、數列與不等式等不同的基礎知識點加以合理的交匯融合，或基于數列公式本質來合理推理運算，或回歸函數的基本概念與性質來拓展，或借助不等式的基本性質與方法來放縮與轉化等。

實際解決此類數列解答題時，合理數學建模，巧妙確邏輯推理，正確數學運算等，都是破解數列解答題中最基本的技能方法與核心素養，要加以不斷的訓練，鞏固解決此類問題的“通技通法”，掌握破解問題的基本技巧方法，實現數學基礎知識、數學思想方法、數學能力與核心素養的全面養成與提升。

4.2 立足數列根本，合理推理運算

數列解答題中的創新形式與創新設置多種多樣，由傳統比較常見的存在性、探索性、應用性與開放性等形式，以及兩個及以上數列的交互與轉化問題，還有兩個及以上數列中的對應項的重新排列與組合等問題，使得問題場景更加豐富多彩。

在數列解答題中，無論怎樣創新的設置，怎樣靈活多變的問題場景，都巧妙融入數列的基本概念、基本性質與基本公式，借助兩個特殊數列（等差數列與等比數列）的模型構建與應用，同時也融入其他知識，如函數與方程、不等式等，通過合理的數學運算，巧妙邏輯推理，全面考查數學“四基”以及考生的數學能力，成為歷年高考數學命題中的常考常新的一個基本點或回歸函數的基本概念與性質來拓展，或借助不等式的基本性質與方法來放縮與轉化等。

實際解決此類數列解答題時，合理數學建模，巧妙確邏輯推理，正確數學運算等，都是破解數列解答題中最基本的技能方法與核心素養，要加以不斷的訓練，鞏固解決此類問題的“通技通法”，掌握破解問題的基本技巧方法，實現數學基礎知識、數學思想方法、數學能力與核心素養的全面養成與提升。