借助一題多解 發(fā)展核心素養(yǎng)

直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題是歷年高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，該類試題對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)要求較高.2024年全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)第20題以橢圓為背景，綜合考查了橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí).本題不僅要求學(xué)生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的解題技巧，更需要學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.因此，對(duì)該題進(jìn)行深入探究，有助于我們更好地理解高考數(shù)學(xué)的命題特點(diǎn)和趨勢(shì)，提高復(fù)習(xí)備考的效率。

1.試題呈現(xiàn)

題目 （2024年全國(guó)甲卷理20題）設(shè)橢圓 ： 的右焦點(diǎn)為 F ，點(diǎn)

在 c 上，且 M F ⊥ x 軸（1）求 c 的方程；

（2）過(guò)點(diǎn) P （ 4 ， 0 ） 的直線與 c 交于 兩點(diǎn)， N 為線段 F P 的中點(diǎn)，直線 N B 交直線 M F 于點(diǎn) Q ，證 明： . A Q ⊥ y 軸。

分析本題以直線與橢圓位置關(guān)系為背景，綜合考查了學(xué)生的圖形分析能力、運(yùn)算求解能力和辯證邏輯思維能力.第（1）問(wèn)是橢圓方程的求解，考查了函數(shù)與方程思想，易求得方程為 ；第（2）問(wèn)是動(dòng)直線與橢圓相交問(wèn)題，考查了設(shè)而不求、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法.該小題解法多樣，思路靈活，為不同考生提供了發(fā)揮的空間.本文重點(diǎn)討論第（2）小題

2.第（2）問(wèn)解法探究

證法1 （聯(lián)立方程 韋達(dá)定理）由于直線 A B 的斜率存在，如圖1，設(shè) A B ： y = k （ x -4）， ， ，聯(lián)立方程 ，得

，由

解得 （2 又

3+2，而N（，0），故

直線 令 得

2x-5，所以y1-y0=y

故

，即 A Q ⊥ y 軸

評(píng)析 通過(guò)聯(lián)立方程，運(yùn)用韋達(dá)定理求解是處理圓錐曲線與直線相交的常規(guī)方法，通過(guò)直線 B N 的方程表示出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)，進(jìn)而將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，利用韋達(dá)定理整體代入進(jìn)行證明.此證法屬通性通法。

證法2（構(gòu)造對(duì)偶式）設(shè) ），由 三點(diǎn)共線得 ，即x1y- 又因?yàn)? ，所以 由 ① ② 得 13y2③，由證法1可得y=5-2x=5y-2x2yi 3y1y2 一.將③ 代入化簡(jiǎn)得 ，故 A Q ⊥ y 軸

評(píng)析 此證法的關(guān)鍵是利用直線 過(guò)定點(diǎn) P ，通過(guò) 三點(diǎn)共線和橢圓方程構(gòu)造對(duì)偶式 一 和 ，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算實(shí)現(xiàn)證明.

證法3（定比點(diǎn)差法）設(shè) ） ，則有 ① 即 且 .又因?yàn)辄c(diǎn) 在橢圓 C 上，所以 12λ2③.由②③得3.+λx2.χ1-xγ+y.y-y2=12④.將①代人④得5λ-（20 由 P （ 4 ， 0 ） ， F （ 1 ， 0 ） 知 .設(shè) ，由 Q ， B ， N 三點(diǎn)共線得 所以 ，故 A Q ⊥ y 軸.

評(píng)析定比點(diǎn)差法是解決圓錐曲線與直線相交問(wèn)題時(shí)常用的一種方法.通過(guò)引入?yún)⒆兞?λ ，可以巧妙地將 A ， B 的坐標(biāo)進(jìn)行整合，避免了復(fù)雜的聯(lián)立方程和韋達(dá)定理計(jì)算

證法4（利用橢圓的參數(shù)方程）設(shè) ， ， ，由 三點(diǎn)共線得2cosα-4= 2cosB-4，即sin（α -β） = 2（sinα - ，所以 ，即 tan 由證法1可得 ，所以 ，故A Q ⊥ y 軸

評(píng)析此證法關(guān)鍵在于利用橢圓參數(shù)方程將動(dòng)點(diǎn) 坐標(biāo)用變量 α ， β 來(lái)表示，減少了未知數(shù)的個(gè)數(shù)，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，然后借助和差化積公式求解。

證法5（利用直線的參數(shù)方程）設(shè)直線 A B 方程為 為參數(shù)），代人橢圓方程得 設(shè) 對(duì)應(yīng)的參數(shù)為 ，則 由 P （ 4 ， 0 ） ， F （ 1 ， 0 ） 知 ，于是直線 ）.令x=1得y0=3+2tcos0 所以 （20號(hào) 將 ① ② 代人 ③ 得 ，即 ，故 A Q ⊥ y 軸

評(píng)析本證法是利用直線參數(shù)方程中 的幾何意義進(jìn)行求解，運(yùn)算量相對(duì)較小，但在具體操作中容易忽略參數(shù) 的具體含義，導(dǎo)致正、負(fù)符號(hào)取錯(cuò).

證法6（利用調(diào)和線束、調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)）在證法5中，設(shè)直線 A B 與直線 M F 交于點(diǎn) T ，由 的幾何意義知 ，于是 B T 所以 ，所以 （204 將 代人化簡(jiǎn)可得 ，即 由線束和點(diǎn)列的交比可知，直線 Q B ， Q T ， Q A ， Q P 為調(diào)和線束.

設(shè)直線 Q B ， Q T ， Q A ， Q P 的斜率分別為 ， ，根據(jù)調(diào)和線束的斜率公式有（k-k）·（k-ka）=-1，由于直線QT的斜率不存在，所以 -k=-1，即2k=k+①.設(shè)點(diǎn) 則 又， P （ 4 ， 0），所以 2y，代人①可得k=0，故AQ 軸

評(píng)析由極點(diǎn)極線的代數(shù)定義知，點(diǎn) P 和直線 關(guān)于給定的橢圓是極點(diǎn)和極線的位置關(guān)系，所以點(diǎn) 為調(diào)和點(diǎn)列，以 Q 為中心，直線 Q B ，Q T ， Q A ， Q P 為調(diào)和線束，從而借助調(diào)和線束的斜率公式快速證明題目。

通過(guò)以上解法的探究，還可以將結(jié)論進(jìn)行一般性推廣。

結(jié)論1 已知橢圓 直線 l 過(guò)點(diǎn) 且垂直于 x 軸，過(guò)點(diǎn) P （ m ， 0 ） 的 直線與 c 交于 兩點(diǎn)， N 為線段 M P 的中點(diǎn)，直線 N B 交直線 于點(diǎn) Q ，則 A Q ⊥ y 軸

證明 設(shè) ，由 三點(diǎn)共線得 即 y）①，又因?yàn)閤-2=（22） （a2）=2（x-）（+） 由 得 又 ，故 0），直線 B N 的方程為 （204號(hào) 得yQ ，將 ③ 代人可得 ，故A Q ⊥ y 軸

通過(guò)GeoGebra軟件作圖探究分析（圖2、圖3），結(jié)論1在雙曲線和拋物線中同樣成立.（限于篇幅，證明過(guò)程這里不再贅述，感興趣的讀者可自行證明）

結(jié)論2 已知雙曲線（ 0），直線 過(guò)點(diǎn) 且垂直于 x 軸，過(guò)點(diǎn)P （ m ， 0 ） 的直線與 c 交于 兩點(diǎn)， N 為線段 M P 的中點(diǎn)，直線 N B 交直線 于點(diǎn) Q ，則 A Q ⊥ y 軸

結(jié)論3 已知拋物線 ，直線 l 過(guò)點(diǎn) 且垂直于 x 軸，過(guò)點(diǎn) M （ m ， 0 ） 的直線 與 交于 兩點(diǎn)，直線 與直線 l 交于點(diǎn) Q ，則 A Q ⊥ y 軸

3.復(fù)習(xí)啟示

3.1 回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視教材，夯實(shí)基礎(chǔ)

教材是高考試題的重要來(lái)源，高考中的很多試題都是依托教材上的例題或習(xí)題，進(jìn)行精心設(shè)計(jì)、恰當(dāng)遷移、延伸、拓展與變式探究等改編而成的新題.在圓錐曲線的專題復(fù)習(xí)中，教師要根據(jù)高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和高考試題的命題思路，以教材中的例題、習(xí)題為范本，引導(dǎo)學(xué)生深挖教材例題、習(xí)題的內(nèi)涵，追溯高考真題命題背景，探究其滲透的數(shù)學(xué)思想和方法。

3.2強(qiáng)化解題教學(xué)，注重一題多解，提高思維 品質(zhì)

在備考復(fù)習(xí)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生從高考真題出發(fā)，共同研讀試題內(nèi)涵、分析解題思路、探索解題方法，通過(guò)一題多解和多題一解，一題多變和多題歸一，努力培養(yǎng)學(xué)生、敏捷性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性等數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，這樣學(xué)生在面對(duì)創(chuàng)新題、綜合題、變式題時(shí)，才能從容面對(duì)，游刃有余。

3.3注重解題反思，提煉通性通法，發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)

解題反思是對(duì)解題過(guò)程的回顧與審視，是一種反思性學(xué)習(xí)活動(dòng)，通過(guò)回顧與反思問(wèn)題的解決過(guò)程，可以使學(xué)生清晰問(wèn)題解決方案的發(fā)現(xiàn)途徑，梳理問(wèn)題解決中涉及的知識(shí)、思想和方法.解題教學(xué)中，當(dāng)完成一道題目后，不應(yīng)僅僅滿足于得到答案，而要引導(dǎo)深入思考解題的方法和思路，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、找到新規(guī)律、提出新見(jiàn)解，使學(xué)生在學(xué)懂、學(xué)通、學(xué)透數(shù)學(xué)的過(guò)程中提升關(guān)鍵能力，發(fā)展核心素養(yǎng)。