用二次函數的一個性質證明一類無理不等式

命題設二次函數 0），如果對任意的實數 x ， f （ x ） ≥ 0 恒成立，那么必有 成立.

例1已知 ，且 a + b + c = 1 ，求證：

證明 令 （2號 ，則有

構造函數 ，則 對一切實數 均成立，故 ，即 ，從而 ，： （202

注此題原形最早出現在1980 年列寧格勒數學競賽題中，原題如下：設 ，求證： 2

有了例1的證法，文[1]中的例1、例5、例7可統一推廣為如下：

定理1 設 （24號 ，則 （2

證明 設 ，則 構造函數 f （ x ） ，則易知 對一切實數 x 均成立，故 ，即 ，從而 s ？ ，即 （204

由本定理可將文[1］例7加強如下：

例2 已知 a gt; 0 ， b gt; 0 ，且 a + b = 1 ，求證： （204號

證明 公 ，則

構造二次函數 ），則 對一切實數 均成立，從而 ，即 - 8 × 2 ？ 0 ，從而 s ？ 2 ，即

此例可以推廣為如下：

定理2 設 ，則 證明 設

，則 構造二次函數 ，則易知 f （ x ） = （204號 對一切實數 x 均成立，故 從而有 ，也即

例3已知 ，且 a + b + c = 2 ，求證：

證明令 ，則有 構造函數 ，則 對一切實數 均成立，故 ，即 2 ？ 0 ，從而

可將此題推廣得到如下結論：

定理3 設 ，則 （20

證明 ，則 ，則易知 對一切實數 x 均成立，故 ≤0，即4r2_ 4 n s ？ 0 ，從而 ，即

由本定理可得文[1]中的例3.更有趣的是，用此定理的三元情形可以證明三角形中的一些含根式的不等式。

我們約定： 分別表示 Δ A B C 的三邊長、半周長、外接圓半徑、內切圓半徑、高線長、中線長和三個內角。

（1） 1990年第16屆全俄 I M O 試題）.

簡證：由條件及定理3有 ，：

用定理3可以將不等式（1）推廣為：

（2）設凸 n 邊形的邊長分別為 ，且 則 （204號

（3）∑ √sinA 3 R

簡證 由定理3及恒等式 即可得 證

簡證 由定理3及恒等式 Σ tan 即可得證.

（5）

簡證 由定理3及熟知的不等式 即可得證.

簡證 由定理3及著名的Gerretsen不等式 和 即可得證.

簡證 由定理3及熟知的不等式 即可得證.

將定理1、2、3合并起來再推廣會得到更一般的結論：

定理4設 （20號 ，則 （20號

證明 設 （204號 則 ，構造函數 ，則易知 f （ x ） = ∑（x+t）2≥0對一切實數x均成立，故△= ，即 ，從而 ， 即

注由定理3易得文[1]中的例4，而且例4可以加強。

參考文獻

[1]田建，房瀚婕.活用單位“1”巧證無理不等式.數學教學通訊（教師版），2008（8）.