基于波利亞解題表處理情境問題的探究

《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出學業水平考試命題的主要原則是“以新情境下的問題解決為重心”.高考密切聯系現實社會，重視數學與文化，數學與生活的相通，數學來源于生活也應用于生活，對復雜情境題的解決，能夠幫助學生將知識和實際生活聯系起來，讓數學學以致用學有所用.合適的問題情境是考查核心素養的重要載體，情境問題的考查更加注重綜合性、應用性和創新性.波利亞解題表是一種系統化的解題方式，通過理解題目、擬定方案、執行方案、回顧反思四個階段，形成明確、清晰的解題思路，對復雜情境能由繁化簡，抓住問題本質，做到舉一反三，觸類旁通的效果，培養學生以核心素養為目標，提升學生思維能力和解題能力。

1.例題呈現

1675年，卡西尼在研究土星及其衛星的運行規律時發現了卡西尼卵形線，卡西尼卵形線是平面內到兩定點距離之積為常數的點的軌跡.已知點 ，動點 P 滿足 ，則 面積的最大值為——。

2.解法探究

本題給出全新定義的曲線，陌生中又和圓錐曲線有著類似之處，這就需要學生不僅會解題，還能舉一反三融會貫通.基于波利亞解題表，在解決這種新定義的科學情境問題時，可以從4個方面進行：

2.1 理解目標、有效轉化

波利亞說“對你所不理解的問題做出答復是愚蠢的”，理解復雜情境時，要借助相關題眼明確考查方向，抓住情境問題中的定義、已知數據和關系式、所求所證的問題，回憶已有的相關知識和解題經驗，將已知條件、關系式或問題合理轉化，將陌生問題熟悉化。

這是一個動點運動產生的三角形面積最值問題，已知的是兩個定點 的坐標以及動點 P 滿足的方程

2.2 擬定方案、明晰步驟

波利亞認為“解題的價值不在于答案本身，在于探索解題思路與好的想法產生的過程”，擬定解題方案，是解題的核心環節，在探索解題過程中可以在過去的經驗和已掌握的知識的基礎上，分析問題探求解題思路，建立已知條件和未知量之間的關聯，是解題的關鍵環節。

方案一：三角形面積公式 ，將面積最大值轉化為 ∣ y ∣ 的最大值.類比橢圓定義， 其中 ，通過設點 P 坐標，利用兩點間距離公式，求出點 P 軌跡方程 本題可按照橢圓方程的推導來得到點 P 的軌跡方程，得到 的最大值。

方案二：利用三角形面積公式 · ，將三角形面積的最值轉化為 的最大值.

方案三：在 中，利用余弦定理，得到 范圍再利用三角形面積公式 得到面積的最大值。

2.3 執行方案、領會思路

波利亞指出“執行一個方案比擬定一個方案容易得多，我們所需要的主要就是耐心”，細心計算、耐心解題保證步驟推演的合理性、等價性、完整性和嚴謹性.運算量較大時考慮能否優化運算，注意計算的準確性和書寫的規范性。

方法一：設 P （ x ， y ） ，則 ，平方得 （20 即 則 當且僅當 等號成立.

方法二： ，當 ，即 ，此時 ；或

方法三： 當且僅當 時等號成立. ，三角形面積公式

2.4 回顧反思、拓展總結

波利亞認為“通過回顧完整的解答，重新斟酌，審查結果及導致結果的途徑，不僅能夠鞏固知識，還能使解題能力得以提升”，回顧是解題者鞏固相關知識、提高解題能力的重要階段，既要回顧擬定方案中探求思路的過程，也要回顧執行方案時遇到的困難和突破的方案，回顧解題過程的完整性和書寫的規范性，通過回顧總結解題規律，達到舉一反三、觸類旁通的效果。

方案一中對 的刻畫是解題的關鍵，簡單的消元思想、復雜的運算過程，對學生的計算能力要求較高.方案二簡潔易懂，運算簡單，需要注意的是要考慮等號成立的條件能否滿足.方案三中很容易將 的等號成立條件 ，當作三角形面積 s 取得最大值的條件，從而導致解答錯誤.利用余弦定理解題時，需要注意正弦和余弦的關系.在刻畫三角形面積時選擇合適的方法，會給解題帶來不同的思維和計算量.在制定方案時，除了考慮方案的可行性，同時也需要考慮方案的可實施性。

3.結語

波利亞解題表將復雜情境問題轉化為解題的四個步驟，第一步理解題目.學會問題表征，清晰地識別出已知和未知條件、要達到的目標、條件的合理轉化形式；第二步擬定方案.探索已知條件與目標之間的潛在聯系，構建合理數學模型，并形成一個具體的解決方案；第三步執行方案.按照既定的計劃進行操作，并檢查每一步的正確性；第四步回顧反思.包括對得出的答案進行驗證，并嘗試將所采用的方法和策略應用于解決其他類似的問題.通過四個步驟，培養學生系統化的、清晰的解題思路，培養學生的核心素養，提升思維能力和解題能力。

參考文獻

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[2]陳燈云，陳濤.基于波利亞解題理論的高考數學試題分析[J].理科考試研究，2024（07）：21-24.