一道不等式恒成立求參數(shù)試題的解法探析

1.試題呈現(xiàn)

（皖豫名校聯(lián)盟2024－2025學(xué)年高三10月聯(lián)考第18題）已知函數(shù) R ，若 恒成立，求 的取值范圍。

2.解法探析

解法1（對(duì)數(shù)式處理 構(gòu)造函數(shù)1）由題知， 恒成立，不等式兩邊除以x 得 ，移項(xiàng)得 恒成立.

，則

由 ，則當(dāng) x gt; 1 時(shí)， ，當(dāng) 0 lt; x lt; 1時(shí)， ，則 在（0，1）上單調(diào)遞減，在（20 （ 1 ， + ∞ ） 上單調(diào)遞增，故 a ？ 0 恒成立。

令 ，則 h （ a ） 在 R 上單調(diào)遞減. 又 h （ 1 ） = 0 ，則 h （ a ） ？ h （ 1 ） 恒成立，故 a ？ 1

點(diǎn)評(píng)在處理形如 的函數(shù)時(shí)，通常將其轉(zhuǎn)化為 來(lái)研究.不等式進(jìn)行對(duì)數(shù)式變形處理后，各式移項(xiàng)到不等式左邊，直接構(gòu)造新函數(shù) ，將原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為 的最小值大于等于0，再利用函數(shù)單調(diào)性解不等式求出 a 的取值范圍。

解法2（對(duì)數(shù)式處理 凹凸反轉(zhuǎn)）同解法1，不等式轉(zhuǎn)化為 ，移項(xiàng)得 （204號(hào) 恒成立.

金 ，則 當(dāng) x gt; 1 時(shí)， ：當(dāng) 0 lt; x lt; 1 時(shí)， ，則 在（0，1）上單調(diào)遞減，在 （ 1 ， + ∞ ） 上單調(diào)遞增， ，

由 則當(dāng) 0 lt; x lt; 1 時(shí)， ，當(dāng) x gt; 1 時(shí)， ，則 h （ x ） 在（0，1）上單調(diào)遞增，在 （ 1 ， + ∞ ） 上單調(diào)遞減， h （ 1 ） = - 1

由 與 h （ x ） 分別在 x = 1 時(shí)取得最小值與最大值，則 則 -1，即 ，同解法1得 a ？ 1

點(diǎn)評(píng)本解法進(jìn)行對(duì)數(shù)式變形處理同解法1，然后移項(xiàng)時(shí)使不等式兩邊函數(shù)凹凸性不同，左邊函數(shù)先減后增，右邊函數(shù)先增后減，并且兩函數(shù)均在 x 處分別取到最小值和最大值.從而原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為左邊函數(shù)的最小值大于右邊函數(shù)的最大值問(wèn)題。

解法3 （對(duì)數(shù)式處理 同構(gòu)法1）不等式化為 ，則 1 ① 又 ② 得 令 ，則不等式化為 t + （20號(hào) 令 ，由 h （ t ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 上單調(diào)遞增.又 ，則 t ？ 1 ，即 恒成立.

令 ，則 當(dāng) x gt; 1時(shí)， ，當(dāng) 0 lt; x lt; 1 時(shí)， ，則 故 ，得 a ？ 1

點(diǎn)評(píng)本解法根據(jù)不等式特征進(jìn)行移項(xiàng)，再將不等式與一個(gè)等式相加后轉(zhuǎn)化為新不等式.新不等式兩邊看作同一函數(shù)的不同函數(shù)值，利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式。

解法4（對(duì)數(shù)式處理 同構(gòu)法2）由題知（ 恒成立.整理得 ，移項(xiàng)得 ，即 .令 g （ t ） （2 ，則不等式化為 恒成立.由 g （ t ） 單調(diào)遞增，則 恒成立，即 恒成立。

令 ，則 則 當(dāng) 0 lt; x lt; 1 時(shí)， ，當(dāng) x gt; 1 時(shí)， 則 故 a ？ 1

點(diǎn)評(píng)本解法進(jìn)行對(duì)數(shù)式變形處理，再對(duì)不等式移項(xiàng)，使不等式兩邊成為同一函數(shù)的不同函數(shù)值（構(gòu)造的函數(shù)不同于解法3），再利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式。

解法5（端點(diǎn)效應(yīng) 放縮法1）由題知，（ 恒成立，則 恒成立.令 ，由題知 g （ 1 ） ？ 0 ，得 令 h （ a ） = ，則 h （ a ） 在 R 上單調(diào)遞減.又 h （ 1 ） = 0 ，故（2 a ？ 1

下面證明 a ？ 1 時(shí) 恒成立。

由 a ？ 1 ，則

欲證 ，只需證 0，只需證

令 ，則 （e-1+x）（x-1），當(dāng)？？gt;1時(shí)，p'（x）gt;0，當(dāng)0 ，則 故 p （ x ） ≥ 0恒成立，則 恒成立.故 a 的范圍是 a ？ 1

點(diǎn)評(píng)本解法首先利用端點(diǎn)效應(yīng)由不等式恒成立得出參數(shù) 的范圍 a ？ 1 ，此時(shí) a ？ 1 是原不等式恒成立的必要條件，然后利用放縮法驗(yàn)證 a ？ 1 時(shí)原不等式恒成立，得出 a ？ 1 是原不等式恒成立的充分條件，故 a ？ 1 符合題意。

，由題知 0，得 a ？ 1

下面證明 a ？ 1 時(shí) g （ x ） ？ 0 恒成立．由 a ？ 1 則

欲證 ，只需證 0.設(shè) ，則 ，當(dāng) x gt; 0 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，則 r （ x ） 在 上單調(diào)遞減，在 （ 0 ， + ∞ ） 上單調(diào)遞增，則 r （ x ） ？ r （ 0 ） = 0 ，即

設(shè) ，則 1-？？當(dāng)0<！--？？<1時(shí)，t′（x）-->0，當(dāng)？？gt;1時(shí)， ，故 ，則 0，即 故 （2號(hào)

故 恒成立.故 的范圍是 a ？ 1

點(diǎn)評(píng)解法6思路與解法5相類似，不同在于由 a ？ 1 推導(dǎo)原不等式恒成立時(shí)，利用了3次放縮。

3.結(jié)語(yǔ)

以上主要是從四種常見(jiàn)角度對(duì)該聯(lián)考試題進(jìn)行探析，得出問(wèn)題的6種解法，為解決此類問(wèn)題提供一些解題思路與方向.對(duì)于不等式恒成立求參數(shù)問(wèn)題，除了以上四種角度外，通常還有分離參數(shù)、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思路.另外，在教學(xué)中積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多角度思考探索，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維。