構(gòu)造法在求解函數(shù)最值中的應(yīng)用

構(gòu)造法求函數(shù)最值是數(shù)學(xué)解題常用的一種方法，特別是當直接求解函數(shù)最值較為困難時，可以通過構(gòu)造新的函數(shù)、不等式和方程等方式，將原問題轉(zhuǎn)化為更容易處理的形式。本文將通過典型例題來說明如何運用構(gòu)造法求函數(shù)最值。

一、構(gòu)造常用函數(shù)

構(gòu)造二次函數(shù)法求帶根式的函數(shù)的最值，通過平方和換元等方式將問題轉(zhuǎn)化為與二次函數(shù)相關(guān)的問題，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)（如頂點公式、判別式等）來求解。

【例1】函數(shù) 的最小值是（

A.3 B.4 C.5 D.6

解析：第一步：換元。設(shè) ， t ≥ 0 ，則 ，

第二步：構(gòu)造新函數(shù)。則函數(shù) 等價于 ， t ≥ 0 ，

第三步：利用二次函數(shù)性質(zhì)求解最值。： 在 [ 0 ， + ∞ ） 上是增函數(shù)， 。∴函數(shù) 的最小值是3。故選： 。

二、構(gòu)造基本不等式

構(gòu)造基本不等式（如平方差和AM-GM不等式等）是求解函數(shù)最值的一種有效方法。在實際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)函數(shù)的具體形式靈活選擇構(gòu)造不等式的方式，并注意等號成立的條件。

【例2】設(shè)函數(shù) 的最大值為 M ，最小值為 ？m ，則 M+m=

A.0 B.1 C.2 D.4解析：第一步：化簡。由函數(shù) 第二步：構(gòu)造基本不等式。顯然 f （ 0 ） = 1 ，當 x ≠ 0 ， 第三步：利用“一正二定三相等”求最值。當 x gt; 0 時， ，當且僅當 ，即 x = 2 時，等號成立，則 ，故 1 gt; f （ x ） ≥ f （ 2 ） = 0 ；當 x lt; 0 時， ，當且僅當 即 x = - 2 時，等號成立，則 故 1 lt; f （ x ） ≤ f （ - 2 ） = 2 ；綜上可得， M = 2 ， m=0 ，則 M + m = 2 。故選：C。

三、構(gòu)造幾何距離求最值

構(gòu)造幾何距離來求函數(shù)最值是一種直觀且有效的方法，尤其適用于那些可以解釋為幾何量（如距離、面積和體積等）的函數(shù)。

【例3】函數(shù) 的最小值是（

A.10 B.11 C.12 D.13

解析： 表示點 C（ x， 0 ） 到點 與點 B （ 1 2 ， 3 ） 的距離之和，如圖1所示，作點 關(guān)于 x 軸的對稱點 ，連接 則|CA|+|CB|=|CA'|+|CB|≥|A'B|，即當點 C 為 與 x 軸交點時，代數(shù)式 取得最小值13。故選： D ○

四、導(dǎo)數(shù)不等式求最值

在處理不等式的恒成立問題時，可以通過分類討論或合理的代數(shù)變形，將問題進一步轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，然后結(jié)合圖像，通過構(gòu)造函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)來求解。同時，要注意構(gòu)造熟悉的函數(shù)，以便于求解。

【例4】已知大于1的正數(shù) 滿足 則正整數(shù) n 的最大值為（

A.7 B.8 C. 9 D.11解析：令 ，則 所以 f （ x ） 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，則 f （ x ） 有最大值 令 （xgt;1），則g（x）= 當 時，此題無解，所以 ， ，所以g（x）在 上單調(diào)遞減， 在 上單調(diào)遞增，則 g （ x ） 有最小值 若 成立，只需mx（x）≤8m 即 兩邊取對數(shù)可得：n+2≥（n-2）ln 當n=2時，等式成立，當n≥3時，有+2gt; ， 恒成立，則 φ （ x ） 在 [ 3 ， + ∞ ） 上單調(diào)遞減， 所以 φ （ x ） gt; 0 的最大正整數(shù)為9。故選C。

構(gòu)造法的運用通常基于函數(shù)的幾何意義或代數(shù)結(jié)構(gòu)，通過構(gòu)造與函數(shù)相關(guān)的幾何圖形、不等式或輔助函數(shù)等，可以使問題變得直觀易懂。這種方法能夠幫助我們理解函數(shù)的性質(zhì)，從而更容易找到函數(shù)的最值。